2023年安徽省合肥市蜀山区南岗中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年安徽省合肥市蜀山区南岗中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日时分，“神舟十五号”发射升空并完成对接后，“天宫”空间站将呈现舱盛况，包含“天和”核心舱、“问天”实验舱、“梦天”实验舱、“天舟五号”货运飞船、“神舟十四号”载人飞船、“神舟十五号”载人飞船组合体总质量将达到即，呈现级空间站的盛况其中数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的六角螺检，其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，，，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某班体育委员统计了全班名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，则在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  某快递公司每天上午：：为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量件与时间分之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为(    )
 

A. ： B. ： C. ： D. ：

8.  如图，以边长为的等边顶点为圆心，一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  因式分解______．

12.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围中，正整数值有        个

13.  如图，在中，，将绕点旋转至的位置，且点在的中点，点在反比例函数上，则的值为        ．

14.  如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧．
当点运动到点时，的长为        ；
点在线段上从点至点运动过程中，的最小值为        ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形每个小方格都是边长为的正方形图中是格点三角形，点，，的坐标分别是，，．
画出绕原点逆时针旋转得到的；
以点为位似中心，在第一象限内将放大为原来的倍，得到，画出；
内有一点，直接写出经过位似变换后点的对应点的坐标．
 

17.  本小题分
孙子算经是我国古代重要的数学著作，其中有如下问题：今有人盗库绢，不知所失几何，但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？大意是：有几个盗贼偷了仓库里的绢，不知道具体偷盗了多少匹绢，只听盗贼在草丛中分组时说：“每人分匹，会剩下匹；每人分匹，还差匹．”问有多少盗贼？多少匹绢？

18.  本小题分
观察下列等式：
；
；
；

写出        ；
猜想：        ；
由以上规律，计算的值．

19.  本小题分
开封清明上河图是依照北宋著名画家张择端的清明上河图建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁的高度，如图，在处用测角仪测得拂云阁顶端的仰角为，沿方向前进到达处，又测得拂云阁顶端的仰角为已知测角仪的高度为，测量点，与拂云阁的底部在同一水平线上，求拂云阁的高度结果精确到参考数据：，，．
 

20.  本小题分
如图，为的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点作，垂足为点，已知平分．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

21.  本小题分
某工厂进行厂长民意测评，抽取部分员工为其打分评定，其中有“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等次，将评定结果绘制成两幅不完整的统计图如：

本次抽取的员工总人数为        人；
补全条形统计图；
求扇形统计图中“合格”所对应的圆心角度数；
在“优秀”中有甲、乙、丙三人，现从中抽出两人，求刚好抽中甲、乙两人的概率．

22.  本小题分
通过以前的学习，我们知道：“如图，在正方形中，，则”．

某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
【问题探究】如图，在正方形中，点，，，分别在线段，，，上，且，试猜想        ；
【知识迁移】如图，在矩形中，，，点，，，分别在线段，，，上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；
【拓展应用】如图，在四边形中，，，，点，分别在线段，上，且，求的值．

23.  本小题分
已知：经过点，．
求函数的解析式；
平移抛物线使得新顶点为点．
当时，若，且在直线的右侧，两函数值都随的增大而增大，求的取值范围；
点在原抛物线上，新抛物线与轴交于点，当时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看，应为
，
故选：．
根据左视图是从左面看的到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从左面看的到的图形，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，故A选项正确，不符合题意；
又，
，
，故B选项不符合题意；
，
，
，
，
，，
，故C选项错误，符合题意；
，
，故D选项正确，不符合题意；
故选：．
依据平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，即可得出结论．
本题主要考查了平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图可知，锻炼小时的有人，所以在这组数中出现次为最多，所以众数是．
把数据从小到大排列，中位数是第位数，第位是，所以中位数是．
故选B．
根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．
此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一次函数的应用，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
分别求出甲、乙两仓库的快件数量件与时间分之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【解答】
解：设甲仓库的快件数量件与时间分之间的函数关系式为：，
根据题意得，解得，
，
设乙仓库的快件数量件与时间分之间的函数关系式为：，
根据题意得，解得，
，
联立，解得，
此刻的时间为：．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：由题意，以为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，
设切点为，连接，则．

在等边中，，，
．
在中，，


，
故选：．
作，由勾股定理求出，然后根据得出答案．
本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积扇形的面积是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，
，，
∽，
，
，
，
则的最小值为，
故选：．
以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据和相似，利用相似三角形的性质即可求出的最小值．
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作出高线构造出相似三角形．
 

10.【答案】 

【解析】解：图象开口向下，
，
对称轴为直线，
，
图象与轴的交点在轴的上方，
，
，
说法错误；
，
，
，
说法正确；
由图象可知点的对称点为，
当时，，
当时，，
，
说法错误，
抛物线与轴有两个交点，
，
，
说法正确；
当时，最大，
，
说法正确，
正确的为，
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且，
所以的取值范围为且．
的正整数值有：，，，共个．
故答案为：．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，如图所示：
，
根据旋转可知，，，，
点在的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
点坐标为，
点在反比例函数上，
，
故答案为：．
过点作轴于点，根据旋转的性质可得，，，根据点在的中点，可得，可得，进一步可得，根据，，求出，的长，得到点坐标，进一步可得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

14.【答案】  

【解析】解：如图所示，连接并延长至，使得，连接、，

在矩形中，对角线、相交于点，，，
，
是等边三角形，
，．
是等边三角形，
，，
，
≌，
，，
，
则是等边三角形，
，
，即，
点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动，
，，
，
，
又，，
，
是等边三角形，
，
当点运动到点时，点运动到点，则的长，
故答案为：．

由可知点在线段上从点至点运动过程中，运动到的中点时，的最小值为，
，，
，
．
故答案为：．
连接并延长至，使得，连接、，证明≌，进而得到，得出点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动，即可求解；
根据垂线段最短，得出从点至点运动过程中，运动到的中点时，的最小值为，进而勾股定理即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，得出点在线段上，从点至点运动，则在线段上运动是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
内有一点，
．
故答案为：． 

【解析】根据轴对称的性质即可画出图形；
根据位似图形的性质即可画出图形；
根据位似图形的性质可得答案．
本题主要考查了作图轴对称变换，位似变换等知识，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：设有个盗贼，有匹绢，
根据题意，得，
解得，
答：有个盗贼，有匹绢． 

【解析】设有个盗贼，有匹绢，根据“每人分匹，会剩下匹；每人分匹，还差匹”列二元一次方程组，求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：观察可知：
．
故答案为：．
观察等式规律可得：
．
故答案为：．
由可得，




．
观察其分数的分子分母规律，可写出第个等式；
根据规律写出第个等式；
根据可得第个等式的表达式，再利用裂项法求和即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，用裂项法求和是解本题的关键．
 

19.【答案】解：延长交于点，

由题意得：
，米，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
拂云阁的高度约为米． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：，米，米，设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：设．
，
，
，
，
，
负根已经舍去，
的半径为． 

【解析】根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形和角平分线的性质可证，从而利用平行线的性质可得，即可解答；
设利用勾股定理构建方程求解．
本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：本次抽取的员工总人数为：人，
故答案为：；
不合格的人数为：人，
补全条形统计图如下：

扇形统计图中“合格”所对应的圆心角度数为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中刚好抽中甲、乙两人的结果有种，
刚好抽中甲、乙两人的概率为．
由“良好”的人数除以所占百分比即可；
求出“不合格”的人数，补全条形统计图即可；
由乘以“合格”的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中刚好抽中甲、乙两人的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
如图，过点作交于点，作交的延长线于点，

四边形是正方形，
，，，，
，，
，
，
，
在和中，，，，
≌，
，即，
．
故答案为：；
如图，过点作交于点，作交的延长线于点，

，，
在长方形中，，，
，
，
，
∽，
，
，，
；
如图，过点作于点设交于点．

，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，，
．
过点作交于点，作交的延长线于点，利用正方形中，，，证明≌，根据全等三角形的性质即可得解；
过点作交于点，作交的延长线于点，利用在长方形中，，求证∽再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；
如图中，过点作于点设交于点证明∽，推出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
 

23.【答案】解：把点，代入中得：
，解得：，
二次函数的解析式为：；
抛物线的顶点坐标为，即点是原抛物线的顶点，
平移抛物线使得新顶点为点，，
抛物线向右平移了个单位，
，
，
，
在直线的右侧，两函数值都随的增大而增大，
；
把点的坐标代入中得：，
，
平移抛物线使得新顶点为点，
，
，
，
，
，
，
过点作轴于，则，

，
，
，
，
，
舍，，，
或． 

【解析】利用待定系数法可得二次函数的解析式；
根据三角形的面积公式可得，并由两函数值都随的增大而增大，可得结论；
利用两点的距离公式计算和，得，计算，作辅助线构建角的直角三角形，根据性质列方程可解答．
本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到平移的性质，配方法，解直角三角形，两点的距离，等腰三角形的性质，三角形的面积的计算等，其中利用两点的距离公式计算是解本题的关键．