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    2024年安徽省芜湖市鸠江区部分学校中考数学一模试卷(含详细答案解析)
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    2024年安徽省芜湖市鸠江区部分学校中考数学一模试卷(含详细答案解析)

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    这是一份2024年安徽省芜湖市鸠江区部分学校中考数学一模试卷(含详细答案解析),共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.计算2sin60∘的值为( )
    A. 4B. 2 2C. 4 33D. 3
    2.已知四个数a,b,c,d成比例,且a=3,b=2,c=4,那么d的值为( )
    A. 2B. 3C. 43D. 83
    3.如图所示的几何体,它的俯视图是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    4.若一元二次方程x2−2x+m2−4=0的一个根是3,则m的值为( )
    A. 1B. −1C. 1或−1D. 1或0
    5.如果点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=3−mx的图象上,且满足当x1>x2>0时y1A. m>3B. m<3C. m>−3D. m<−3
    6.如图所示,点A、B、C都在⊙O上,若∠ABO=20∘,∠ACO=30∘,则∠BOC=( )
    A. 100∘
    B. 110∘
    C. 125∘
    D. 130∘
    7.寒假期间,学校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择两位老师参加培训,则选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为( )
    A. 16B. 13C. 12D. 23
    8.如图,点A是⊙O上一点,点B是⊙O外一点,且OA⊥OB,BC与⊙O相切于点C,连接AC交OB于点D,若BC=3,OA=4,则弦AC的长为( )
    A. 16 55
    B. 8 55
    C. 6
    D. 8
    9.已知反比例函数y=kx(k≠0)在第二象限内的图象与一次函数y=ax+b的图象如图所示,则函数y=ax2−bx−k+1的图象可能为( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    10.如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,点E,F分别在AD,CD上,且BC=2CF,连接BE,BF,∠EBF=12∠ABC,连接AC交BE于点M,交BF于点N,则下列结论中错误的是( )
    A. ∠BEA+∠BFC=135∘B. CA⊥BF
    C. BN= 55ABD. AE=34AD
    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    11.二次函数y=2x2−6x+3的对称轴为直线______.
    12.已知扇形的圆心角为150∘,扇形的面积S=5π,则这个扇形的半径r=______.
    13.若点(2,−3)在反比例函数y=kx的图象上,则当y>−3时,x的取值范围为______.
    14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=3,BC=4,点D为AB上一点,点P在AC上,且CP=1,将CP绕点C在平面内旋转,点P的对应点为点Q,连接AQ,DQ.
    (1)当点D是AB的中点时,DQ的最小值为______;
    (2)当CD⊥AB,且点Q在直线CD上时,AQ的长为______.
    三、解答题:本题共9小题,共90分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题8分)
    2cs30∘−tan60∘+sin245∘.
    16.(本小题8分)
    如图,在平面直角坐标系中,A(0,1),B(2,2),C(1,3).
    (1)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90∘,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
    (2)以点O为位似中心,将△ABC放大2倍得到△DEF,画出△DEF;
    (3)若在△ABC内有一点P(a,b),则点P放大后的对应点的坐标是______.
    17.(本小题8分)
    如图,一次函数y=mx+n(m≠0)与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A(1,3),B(a,−2)两点.
    (1)求反比例函数和一次函数的表达式;
    (2)根据图像,直接写出满足mx+n≥kx的x的取值范围.
    18.(本小题8分)
    如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,CD⊥AB于点D.
    (1)求证:BC2=BD⋅AB;
    (2)若BD=2,AD=3,求CD的长.
    19.(本小题10分)
    如图,小明晚上散步,当他走到D处时看到路灯AB的顶部A的仰角为45∘.他继续向前走了2m到达F处,此时看到路灯AB的顶部A的仰角为60∘,若小明的身高CD=1.6m,请你计算路灯AB的高度.(参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73,结果精确到0.1m)
    20.(本小题10分)
    如图,在△ABC中,∠C=90∘,点D是AC上一点,且AD=BD,设BC=a,CD=b,BD=c,∠A=α.
    (1)分别计算tanα和tan2α;
    (2)根据(1)中的结果,用含tan2α的式子表示出tanα.
    21.(本小题12分)
    四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC.
    (1)如图1,若∠BAC=α,求∠ADC的度数;
    (2)如图2.连接BD交AC于点E.
    ①求证:AE2=AE⋅AB−BE⋅DE;
    ②若∠BAC=2∠DAC,AB=5,BC=6,求CD的长.
    22.(本小题12分)
    已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(3,0).
    (1)求该抛物线的解析式;
    (2)若该抛物线与y轴交于点C,求△ABC的面积;
    (3)当自变量x满足m≤x≤m+1(m≥12)时,此函数的最大值为p,最小值为q,求w=p+q的最小值,并求出对应的m的值.
    23.(本小题14分)
    已知在正方形ABCD中,AB=6,点E,F分别在边AD,CD上,且DE=DF,连接BE,BD.
    (1)如图1,连接AF交BD于点G,若CF=2DF,求证:BG=3DG;
    (2)如图2,连接EF,BF,若∠EBF=30∘,求EF的长;
    (3)如图3,连接BF,过点E作EM⊥BF,垂足为M,交BD于点N,求证:ENBE=DNBD.
    答案和解析
    1.【答案】C
    【解析】解:2sin60∘=2 32=43 3,
    故选:C.
    先代入特殊角的函数值、化简即可.
    本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算,掌握其运算法则是解决此题的关键.
    2.【答案】D
    【解析】解:根据题意得a:b=c:d,
    即3:2=4:d,
    解得d=83.
    故选:D.
    根据比的性质解答即可.
    本题考查了比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,利用成比例线段的定义得到a:b=c:d,然后根据比例的性质求d的值.
    3.【答案】C
    【解析】解:几何体的俯视图是:
    故选:C.
    根据画物体的三视图的口诀解答即可.
    本题考查简单几何体的三视图,熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键.
    4.【答案】C
    【解析】解:设方程的另一个根为x,
    ∵一元二次方程x2−2x+m2−4=0的两个根是3和x,
    ∴x+3=2,3x=m2−4,
    ∴x=−1,m2=1,
    ∴m=±1,
    故选:C.
    对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),若x1,x2是该方程的两个实数根,则x1+x2=−ba,x1x2=ca,设方程的另一个根为x,则x+3=2,3x=m2−4,据此求解即可.
    本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,正确记忆相关知识点是解题关键.
    5.【答案】B
    【解析】【分析】
    本题考查反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.利用反比例函数的性质,构建不等式即可解决问题;
    【解答】
    解:对于反比例函数y=3−mx的图象,当x1>x2>0时,y1∴3−m>0,
    ∴m<3,
    故选B.
    6.【答案】A
    【解析】解:过A作⊙O的直径,交⊙O于D.
    在△OAB中,OA=OB,
    则∠BOD=∠ABO+∠OAB=2×20∘=40∘,
    同理可得:∠COD=∠ACO+∠OAC=2×30∘=60∘,
    故∠BOC=∠BOD+∠COD=100∘.
    故选:A.
    过A、O作⊙O的直径AD,分别在等腰△OAB、等腰△OAC中,根据三角形外角的性质求出∠BOC=2∠ABO+2∠ACO.
    本题考查了圆周角定理,涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质,解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数.
    7.【答案】C
    【解析】解:画树状图得:
    ∵共有12种等可能的结果,选中甲老师的有6种情况,
    ∴选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为:612=12.
    故选:C.
    注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.
    本题考查的是用列表法或画树状图法求概率,注意概率=所求情况数与总情况数之比.
    8.【答案】A
    【解析】解:∵BC与⊙O相切于点C,
    ∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=90∘,
    又∵OA⊥OB,
    ∴∠AOB=90∘,
    ∴∠OAC+∠ODA=90∘,
    又∵OA=OC=4,
    ∴∠OAC=∠OCA,
    ∴∠ACB=∠ODA=∠BDC,
    ∴BD=BC=3,
    在Rt△OBC中,
    OB= BC2+OC2= 42+32=5,
    ∴OD=OB−BD=5−3=2,
    ∴AD= OD2+OA2= 22+42=2 5,
    过点O作OE⊥AC于点E,
    则∠AEO=∠AOD=90∘,AC=2AE,
    ∴cs∠OAD=AEOA=OAAD,即AE4=42 5,
    解得:AE=85 5,
    ∴AC=2AE=165 5,
    故选:A.
    根据切线的性质和垂直的定义得到∠ACB=∠ODA=∠BDC,即得到BD=BC,然后根据勾股定理得到OB、AD的长,然后根据cs∠OAD=AEOA=OAAD解题即可.
    本题考查切线的性质,等腰三角形的判定和性质,解直角三角形,解答本题的关键是熟练掌握勾股定理.
    9.【答案】B
    【解析】解:∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二象限,
    ∴k<0;
    又∵一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限,
    ∴a<0,b>0.
    ∴函数y=ax2−bx−k+1中,
    a<0,函数图象开口向下;
    k<0,即:−k+1>0,与y轴交于正半轴;
    a<0,b>0,即:−b<0,对称轴小于0,
    故选:B.
    根据反比例函数图象和一次函数函数的图象得到k<0;a<0;b>0,再根据二次函数a、c、−b2a的取值范围得到抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴,进行观察图象即可.
    本题考查了函数图象和性质,解题的关键是根据函数图象确定k、a和b的取值范围.
    10.【答案】D
    【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠ABC=∠BAD=∠BCF=90∘,
    ∴∠ABE+∠AEB=∠ABE+∠EBF+∠CBF=∠CBF+∠CFB=90∘,
    ∵∠EBF=12∠ABC=45∘,
    ∴∠ABE+∠CBF=45∘,
    ∵∠ABE+∠AEB+∠CBF+∠CFB=180∘,
    ∴∠BEA+∠BFC=135∘,故A正确,不符合题意;
    ∵BC=2CF,AB=2AD=2BC,
    ∴BCCF=ABBC=2,
    又∵∠ABC=∠BCF=90∘,
    ∴△ABC∽△BCF,
    ∴∠BAC=∠CBF,
    ∵∠ABF+∠CBF=90∘,
    ∴∠ABN+∠BAN=90∘,
    ∴∠BNA=90∘,即CA⊥BF,故B正确;
    在Rt△ABC中,AC= AB2+BC2= 5BC,
    ∵∠ANB=∠ABC=90∘,∠BAC=∠NAB,
    ∴△ABC∽△ANB,
    ∴BNAB=BCAC= 55,即BN= 55AB,故C正确;
    设CF=x,BC=2x,AB=4x,则BN=4 55x,AC=2 5x,
    ∴CN= BC2−BN2=2 55x,
    ∵∠BNM=90∘,∠MBN=45∘,
    ∴△BMN是等腰直角三角形,
    ∴MN=BN=4 55x,
    ∴CM=6 55x,
    ∴AM=4 55x,
    ∵AD//BC,
    ∴△AEM∽△CBM,
    ∴AEBC=AMCM=23,
    ∴AE=23BC=23AD,故D错误;
    故选:D.
    由矩形的性质得到∠EBF=12∠ABC=45∘,进而得到∠ABE+∠CBF=45∘,再由∠ABE+∠AEB+∠CBF+∠CFB=180∘,可得∠BEA+∠BFC=135∘,即可判断A;证明△ABC∽△BCF,得到∠BAC=∠CBF,进而可得∠BNA=90∘,即CA⊥BF,即可判断B;在Rt△ABC中,由勾股定理得AC= 5BC,证明△ABC∽△ANB,可得BNAB=BCAC= 55,即BN= 55AB,即可判断C;设CF=x,BC=2x,AB=4x,则BN=4 55x,AC=2 5x,CN=2 55x,证明△BMN是等腰直角三角形,得到MN=BN=4 55x,则CM=6 55x,则AM=4 55x,证明△AEM∽△CBM,得到AEBC=AMCM=23,即可判断D.
    本题主要考查了相似三角形的性质与判定,矩形的性质,勾股定理,等腰直角三角形的性质与判定,解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.
    11.【答案】x=32
    【解析】解:二次函数y=2x2−6x+3的对称轴为直线x=−−62×2=32,
    故答案为:x=32.
    根据对称轴方程x=−b2a解答即可.
    本题考查了二次函数的性质.二次函数性质的应用是解题的关键.
    12.【答案】2 3
    【解析】解:根据题意得150πr2360=5π,
    解得:r=2 3或r=−2 3(舍去),
    故答案为:2 3.
    根据扇形的面积公式解答即可.
    本题考查了扇形的面积公式,熟练运用扇形的面积公式nπr2360进行计算是解题的关键.
    13.【答案】x<0或x>2
    【解析】解:∵点(2,−3)在反比例函数y=kx的图象上,
    ∴k=2×(−3)=−6<0,
    ∴反比例函数图象经过第二、四象限,在每个象限内y随x增大而增大,
    ∴当y>−3时,x的取值范围为x<0或x>2,
    故答案为:x<0或x>2.
    先利用待定系数法求出k的值,再判断出反比例函数图象经过的象限和增减性即可得到答案.
    本题主要考查了求反比例函数解析式,反比例函数的增减性,正确记忆相关知识点是解题关键.
    14.【答案】32 1305或 3705
    【解析】解:(1)当点D是AB的中点时,如图所示,以C为圆心,以CP长为半径作圆C,交CD于点Q,则DQ为最小值,
    ∵∠ACB=90∘,AC=3,BC=4,
    ∴AB= AC2+BC2= 32+42=5,
    又∵D是AB的中点,
    ∴CD=12AB=52,
    又∵CQ=CP=1,
    ∴DQ=CD−CQ=52−1=32,
    故答案为:32;
    (2)如图:
    ∵CD⊥AB,
    ∴S△ACD=12AC⋅BC=12AB⋅CD,
    ∴CD=AC⋅BCAB=3×45=125,
    ∴AD= AC2−CD2= 32−(125)2=95,
    ∴点C、D、Q在同一条直线上,由旋转得:
    CQ=CP=CQ′=1,
    分两种情况:
    当点Q在CD上,
    在 Rt△ADO中,DQ=CD−CQ=125−1=75,
    ∴AQ= AD2+DQ2= (95)2+(75)2= 1305;
    当点Q在DC的延长线上,在 Rt△ADQ′中,DQ′=CD+CQ′=125+1=175,
    ∴AQ′= AD2+DQ′2= (95)2+(175)2= 3705,
    综上所述:当∠ADQ=90∘时,AQ的长为 1305或 3705,
    故答案为: 1305或 3705.
    (1)根据勾股定理得到AB长,当点Q在CD上时,DQ最小,计算即可;
    (2)现根据三角形的面积求出CD长,然后利用勾勾股定理求出AD长,分两种情况:当点Q在CD上,当点Q在DC的延长线上,利用勾股定理分别进行计算即可解答.
    本题考查勾股定理,旋转的性质,分两种情况进行讨论是解题的关键.
    15.【答案】解:2cs30∘−tan60∘+sin245∘
    =2× 32− 3+( 22)2
    = 3− 3+12
    =12.
    【解析】先根据特殊角的三角函数值化简、然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可.
    本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算等知识点,牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.
    16.【答案】(2a,2b)
    【解析】解:(1)如图1,△A1B1C1即为所作;
    (2)如图2,△DEF即为所作;
    (3)在△ABC内有一点P(a,b),则点P放大后的对应点的坐标是(2a,2b),
    故答案为:(2a,2b).
    (1)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1,然后连接即可得到△A1B1C1;
    (2)先根据位似中心的位置以及放大的倍数,画出原三角形各顶点的对应顶点D、E、F,再顺次连接各顶点,得到△DEF,
    (3)根据△DEF结合位似的性质即可得点P放大后的对应点的坐标.
    本题主要考查了位似变换与旋转变换,解决问题的关键是先作出图形各顶点的对应顶点,再连接各顶点得到新的图形.
    17.【答案】解:(1)∵A(1,3)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上,
    ∴k=1×3=3,
    ∴反比例函数的解析式为y=3x;
    又B(a,−2)在反比例函数y=3x的图象上,
    ∴−2a=3,
    解得,a=−32,
    ∴B(−32,−2),
    把A(1,3),B(−32,−2)代入y=mx+n(m≠0)得:
    m+n=3−32m+n=−2,
    解得,m=2n=1,
    ∴一次函数解析式为y=2x+1;
    (2)∵A(1,3),B(−32,−2)
    ∴由图象得,当−2≤x<0或x≥1时,一次函数y=2x+1的图象在反比例函数y=3x的图象上或上方,
    ∴不等式mx+n≥kx的x的取值范围为−2≤x<0或x≥1.
    【解析】(1)把A(1,3)代入y=kx(k≠0)求出k=3,再把B(a,−2)代入y=3x求出a=−32,得B(−32,−2),再把A(1,3),B(−32,−2)代入y=mx+n(m≠0),求出m,n的值即可;
    (2)根据图象和A,B两点坐标可得出不等式mx+n≥kx的x的取值范围.
    本题考查反比例函数的图象和性质,能一次函数以及待定系数法求函数的关系式是解题的关键.
    18.【答案】(1)证明:∵∠ACB=90∘,CD⊥AB,
    ∴∠BCD+∠B=90∘,∠A+∠B=90∘,
    ∴∠A=∠BCD,
    ∵∠B=∠B,
    ∴△BCD∽△BAC,
    ∴BCBA=BDBC,
    即BC2=BD⋅AB.
    (2)解:∵∠ACB=90∘,CD⊥AB,
    ∴∠BCD+∠B=90∘,∠A+∠B=90∘,∠BCD+∠ACD=90∘,
    ∴∠A=∠BCD,∠B=∠ACD,
    ∴△BCD∽△CAD,
    ∴CDAD=BDCD,
    即CD2=BD⋅AD,
    ∴CD= 2×3= 6.
    【解析】(1)证明△BCD∽△BAC即可;
    (2)利用相似的性质进行计算即可.
    本题考查相似三角形的判定和性质,正确记忆相关知识点是解题关键.
    19.【答案】解:连接CE并延长交AB于点G,设AB=xm,
    则CD=EF=BG=1.6m,CE=DF=2m,∠AGC=90∘,
    在Rt△ACG中,∠ACG=45∘,
    ∴CG=AG=(x−1.6)m,
    在Rt△AEG中,∠AEG=60∘,
    ∵tan∠AEG=AGEG,
    ∴AG=EG⋅tan∠AEG,即x−1.6= 3(x−1.6−2),
    解得:x≈6.5,
    ∴路灯AB的高度为6.5m.

    【解析】连接CE并延长交AB于点G,设AB=xm,在Rt△ACG中,CG=AG=(x−1.6)m,然后根据在Rt△AEG中,tan∠AEG=AGEG列方程解题即可.
    本题考查解直角三角形-仰角俯角问题,作辅助线构造直角三角形是解题的关键.
    20.【答案】解:(1)∵AD=BD,BD=c,
    ∴AC=AD+DC=b+c,
    ∴tanα=BCAC=ab+c;
    tan2α=BCCD=ab;
    (2)∵∠C=90∘,
    ∴c= a2+b2,
    又∵tan2α=BCCD=ab,
    ∴a=b⋅tan2α,
    ∴tanα=ab+c=b⋅tan2αb+ a2+b2=b⋅tan2αb+ b2⋅tan22α+b2
    =b⋅tan2αb+b tan22α+1
    =tan2α⋅( tan22α+1−1)( tan22α+1+1)( tan22α+1−1)
    =tan2α⋅( tan22α+1−1)tan22α
    = tan22α+1−1tan2α.
    【解析】(1)根据正切的定义解题即可;
    (2)根据勾股定理可得c= a2+b2,根据tan2α=BCCD=ab可得a=b⋅tan2α,代入(1)中tanα=BCAC=ab+c,整理化简即可解题.
    本题主要考查正切函数的定义及勾股定理解三角形,熟练掌握正切函数的定义是解题关键.
    21.【答案】(1)解:∵AB=AC,若∠BAC=α.
    ∴∠B=∠ACB=180∘−α2,
    ∵四边形ABCD内接于⊙O,
    ∴∠ADC=180∘−∠B=180∘−180∘−α2=90∘+12α;
    (2)①证明:∵∠ADB=∠ACB,∠CAD=∠CBD,
    ∴△ADE∽△BCE,
    ∴AEBE=DECE,
    ∴AE⋅CE=BE⋅DE,
    ∴AE⋅(AC−AE)=AE⋅AC−AE2=BE⋅DE,
    ∵AB=AC,
    ∴AE⋅AB−AE2=BE⋅DE,
    AE2=AE⋅AB−BE⋅DE;
    ②解:设∠BAC=2∠DAC=2α,则∠DAC=∠DBC=α,
    ∵AB=AC=5,
    ∴∠ABC=∠ACB=180∘−2α2=90∘−α,
    ∴∠ABE=∠ABC−∠DBC=90∘−α−α=90∘−2α,
    在△AEB中∠AEB=180∘−∠CAB−∠ABD=180∘−2α−(90∘−2α)=90∘,
    ∴AC⊥BD,
    ∵BE2=BC2−CE2=AB2−AE2,
    ∴62−(5−AE)2=52−AE2,
    ∴AE=75,CE=185,
    ∴BE= AB2−AE2=245,
    由①知AE⋅CE=BE⋅DE,DE=75×185245=2120,
    ∴CD= DE2+CE2= (2120)2+(185)2=154.
    【解析】(1)根据等腰三角形的性质及圆的内接四边形的性质即可;
    (2)①先证明△ADE∽△BCE,得AE⋅CE=BE⋅DE,再根据AE⋅(AC−AE)=AE⋅AC−AE2=BE⋅DE即可得出结论;②设∠BAC=2∠DAC=2α,则∠DAC=∠DBC=α,先证明AC⊥BD,再根据勾股定理求出AE,BE,CE的长,由①知AE⋅CE=BE⋅DE,求出DE的长,再根据勾股定理即可.
    本题考查了圆的有关性质定理,相似三角形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是本题的关键.
    22.【答案】解:(1)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(3,0),
    1−b+c=09+3b+c=0,
    解得:b=−2c=−3,
    该抛物线的解析式为y=x2−2x−3;
    (2)x=0时y=−3,
    ∴C(0,−3),
    ∵AB=4,
    ∴S△ABC=12×4×3=6;
    (3)当12≤m<1时,
    x=m+1时,此函数的最大值为p=(m+1)2−2(m+1)−3=m2−4,
    x=1时,此函数的最小值为q=1−2−3=−4,
    ∴w=p+q=m2−4−4=m2−8,
    m=12时,w=p+q的最小值为−314,
    当m≥1时,
    x=m+1时,此函数的最大值为p=(m+1)2−2(m+1)−3=m2−4,
    x=m时,此函数的最小值为q=m2−2m−3,
    ∴w=p+q=m2−4+m2−2m−3=2m2−2m−7,
    m=1时,w=p+q的最小值为−7,
    综上所述:
    ∵−314<−7,
    m=12时,w=p+q有最小值为−314.
    【解析】(1)根据待定系数法求抛物线的解析式;
    (2)求出点C的坐标,再求△ABC的面积即可;
    (3)分两种情况当12≤m<1时,当m≥1时讨论即可.
    本题考查了二次函数图象的性质,熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答本题的关键.对于二次函数y=ax2+k(a,k为常数,a≠0),当a>0时,抛物线开口向上,在对称轴的左侧y随x的增大而减小,在对称轴的右侧y随x的增大而增大,此时函数有最小值;当a<0时,抛物线开口向下,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y随x的增大而减小,此时函数有最大值.其顶点坐标是(0,k),对称轴为y轴.
    23.【答案】(1)证明:∵ABCD是正方形,
    ∴AB=CD,AB//CD,
    ∴∠GDF=∠ABG,∠GFD=∠BAG,
    ∴△DFG∽△BAG,
    ∴BGDG=ABDF,
    又∵CF=2DF,
    ∴AB=CD=3DF,
    ∴BGDG=ABDF=3DFDF=3,即BG=3DG;
    (2)解:∵ABCD是正方形,
    ∴∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD=45∘,
    又∵DE=DF,BD=BD,
    ∴△DEB≌△DFB,
    ∴∠DBE=∠DBF=12∠EBF=15∘,BD⊥EF,BE=BF,
    ∴∠ABE=∠ABD−∠EBD=45∘−15∘=30∘,
    ∴AE=AB⋅tan∠ABE=6× 33=2 3,
    ∴DE=DF=AD−AE=6−2 3,
    ∴EF= 2DE= 2(6−2 3)=6 2−2 6;
    (3)证明:连接EF交BD于点H,如图3,
    由(2)可知BD⊥EF,BE=BF,
    ∴∠HEN+∠ENH=∠NBM+∠BNM=90∘,
    ∴∠HEN=∠NBM,
    又∵∠EHN=∠BHF=90∘,
    ∴△ENH∽△BFH,
    ∴ENBF=EHBH=NHFH,即ENBF=EH+NHBH+FH,
    又∵DE=DF,∠EDB=45∘,
    ∴EH=HF=DH,
    ∴ENBF=EH+NHBH+FH=DH+HNBH+DH=DNBD,
    又∵BF=BE,
    ∴ENBE=DNBD.
    【解析】(1)根据正方形的性质证明△DFG∽△BAG即可解题;
    (2)根据正方形的性质得到△DEB≌△DFB,然后推导出∠ABE=30∘,根据三角函数得到AE=AB⋅tan∠ABE=6× 33=2 3,进而求出EF的长;
    (3)连接EF交BD于点H,推导△ENH∽△BFH,即可得到ENBF=EHBH=NHFH,即ENBF=EH+NHBH+FH,根据EH=HF=DH和BF=BE等量代换即可解题.
    本题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,作辅助线构造相似三角形是解题的关键.
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