2024年安徽省名校之约中考数学第一次联考试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年安徽省名校之约中考数学第一次联考试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算1−(−3)的结果是( )
A. −2B. 4C. −4D. 2
2.一个长方体的左视图、主视图及相关数据如图所示，则其俯视图的面积为( )
A. 6
B. 8
C. 12
D. 24
3.下列运算正确的是( )
A. 2a⋅3a=6a2B. 4a−3a=1C. a+a=a2D. a3÷(−a2)=a
4.据《安徽经济新闻网》2024年1月10日报道：2024年伊始，合肥高新区传来好消息，南岗科技成果加速器北区已经正式开工建设.总投资约16.9亿元，占地面积约179亩，总建筑面积约24.7万平方米.其中数据16.9亿用科学记数法表示为( )
A. 1.69×10B. 1.69×108C. 1.69×109D. 1.69×1010
5.如图，AB//CD，点E为直线AB上方一点，连接BD，DE，BE.若DE⊥CD，BE=DE，∠BDC=25∘，则∠ABE的度数是( )
A. 125∘
B. 130∘
C. 135∘
D. 140∘
6.不等式组−x+3<2xx+22≤4−x的解集，在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，以正方形纸片ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径画弧，得到扇形纸片BAD，用这个纸片制作一个无底的圆锥.若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为( )
A. 14
B. 13
C. 23
D. 1
8.无论x取何实数时，二次函数y=x2−(2m+1)x+m2的值始终为正数，则m的取值范围是( )
A. m>14B. m<14C. m>−14D. m<−14
9.2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，…，依次类推.抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，…，依次类推.小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为( )
A. 16B. 14C. 38D. 12
10.如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAE=60∘，DE为∠ADC的角平分线，点F为DE上一动点，点G为CF的中点，连接AG，则AG的最小值是( )
A. 2B. 2 3C. 4D. 4 3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若估算 125− 45的值在整数n和(n+1)之间，则n=______.
12.若2，3，6，a，b这五个数据的方差是3，则4，5，8，a+2，b+2这五个数据的方差是______.
13.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A，B，与x轴交于点C(3,0)，与y轴交于点D(0,2).若AD=AB=BC，则k=______.
14.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)，交y轴的负半轴于C，顶点为D.
(1)当△ABD是等腰直角三角形时，点D的坐标为______；
(2)当△ABC是直角三角形时，a的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：(−12)−1−| 2−2|+(π+1)0−(−1)2024.
16.(本小题8分)
春节期间，某商店用21000元购进一批纯牛奶，很快售完；第二次购进时，每箱的进价提高了5%，同样用21000元购进的数量比第一次少了20箱.求第一次购进每箱纯牛奶的进价.
17.(本小题8分)
在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)在所给网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
(2)作出△ABC绕点C顺时针旋转90∘后的图形△A2B2C.
18.(本小题8分)
定义：a，b，m为实数，若a+b=m，则称a与b是关于m2的对称数.
(1)2与4是关于______的对称数，7与______是关于3的对称数；
(2)若a=−2x2+3(x2+x)−4，且a与b是关于−1的对称数，试用含有x的代数式表示b.
19.(本小题10分)
数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动.他们选择测量一座砖塔AB的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为45∘，再从C点出发沿斜坡走2 10m到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为30∘.若斜坡CF的坡比i=1：3，且点B，C，E在同一水平线上.
(1)求点D到水平线BE的距离；
(2)求砖塔AB的高度(结果保留根号).
20.(本小题10分)
如图，已知点P为⊙O外一点，点A为⊙O上一点，直线PA与⊙O的另一个交点为点B，AC是⊙O的直径，∠PAC的平分线AD交⊙O于点D，连接CD并延长交直线PA于点M，连接OD.
(1)求证：OD//BM；
(2)若tan∠ACD=12，⊙O的直径为4，求AB的长度.
21.(本小题12分)
为了迎接中考体育测试，学校想了解九年级学生的准备情况，随机抽取了部分学生的检测成绩进行调查，并将调查结果绘制成如图的条形统计图和扇形统计图，其中：A等级表示检测分数为57分∼60分，B等级表示检测分数为53分∼56分，C等级表示检测分数为49分∼52分，D等级表示检测分数为48分及以下.请你结合图中信息解答下列问题：
(1)样本中B等级的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是______；
(2)把条形统计图补充完整；
(3)已知该校九年级的学生有600人，根据样本估计全校九年级学生D等级的人数；
(4)根据抽样调查的结果，为学校提一个合理的建议.
22.(本小题12分)
问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，CD是边AB上的高，点E为AC上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC于点F.
猜想与证明：
(1)如图1，当点E为边AC的中点时，试判断点F是否为边BC的中点，并说明理由；
(2)如图2，连接EF，试判断△DEF与△ABC是否相似，并说明理由；
问题解决：
(3)如图3，当CE=CF时，试求线段CF的长.
23.(本小题14分)
已知抛物线y=a(x+2)(x−4)(a为常数，且a<0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，经过点B的直线y=12x+b与抛物线的另一交点为点D，与y轴的交点为点E.
(1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若DE=BE，试确定a的值；
(3)如图3，在(1)的情形下，连接AC，BC，点P为抛物线在第一象限内的点，连接BP交AC于点Q，当S△APQ−S△BCQ取最大值时，试求点P的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1−(−3)
=1+3
=4，
故选：B.
根据有理数的减法法则计算即可．
本题考查了有理数的减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：a−b=a+(−b).
2.【答案】C
【解析】解：由图可得：俯视图为长为4，宽为3的长方形，
∴其俯视图的面积为3×4=12，
故选：C.
根据俯视图的长与主视图的长相等，俯视图的宽与左视图的长相等，即可得出俯视图的长和宽，即可得解．
本题考查了三视图，正确记忆相关内容是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、2a⋅3a=6a2，故原选项计算正确，符合题意；
B、4a−3a=a，故原选项计算错误，不符合题意；
C、a+a=2a，故原选项计算错误，不符合题意；
D、a3÷(−a2)=−a，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：A.
根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可．
本题考查了单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：16.9亿=1690000000=1.69×109.
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，据此解答即可．
本题考查科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD，∠BDC=25∘，
∴∠ABD=180∘−∠BDC=155∘，
∵DE⊥CD，
∴∠EDC=90∘，
∴∠BDE=∠EDC−∠BDC=65∘，
∵BE=DE，
∴∠EBD=∠BDE=65∘，
∴∠ABE=360∘−∠EBD−∠ADB=140∘.
故选：D.
由两直线平行同旁内角互补得出∠ABD=155∘，由等边对等角求出∠EBD=∠BDE=65∘，再由∠ABE=360∘−∠EBD−∠ADB，计算即可得出答案．
本题考查了平行线的性质关键是掌握等边对等角、几何图中角度的计算．
6.【答案】B
【解析】解：{−x+3<2x①x+22⩽4−x②，
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：1在数轴上表示如图所示：
，
故选：B.
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，
由题意得：2πr=90×1×π180，
解得：r=14，
故选：A.
根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，求出半径即可．
本题考查了圆锥的计算，掌握这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由题知，因为二次函数y=x2−(2m+1)x+m2的值始终为正数，且a=1>0，
所以[−(2m+1)]2−4×m2<0，
解得，m<−14.
故选：D.
二次函数值始终为正数，则其开口向上且与x轴没有交点，据此可解决问题．
本题主要考查二次函数图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和数形结合思想的运用．
9.【答案】C
【解析】解：列表得：
由表格可得，共有16种等可能出现的结果，其中小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的情况有6种，
∴小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率=616=38，
故选：C.
列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是掌握概率的求法：概率等于所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】B
【解析】解：如图所示：
当点F与点D重合时，点G在点G1处，此时DG1=CG1，
当点F与点E重合时，点G在点G2处，此时CG2=EG2，
∴G1G2为△CDE的中位线，
∴G1G2//DE，且G1G2=12DE，
∵点G为CF的中点，
∴GG1为△CDF的中位线，
∴GG1//DF，GG1=12DF，
∴点G在G1G2上运动，当AG⊥G1G2时，AG的值最小，
∵在▱ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAE=60∘，
∴AB//CD，CD=AB=4，
∴∠ADC=180∘−∠DAE=120∘，DG1=CG1=AD=2，
∴∠DAG1=∠DG1A=180∘−∠ADG12=30∘，
∵DE为∠ADC的角平分线，
∴∠CDE=12∠ADC=60∘，
∴∠CG1G2=∠CDE=60∘，
∴∠AG1G2=180∘−∠CG1G2−∠AG1D=90∘，即AG1⊥G1G2，
∴AG的最小值为AG1，
∵DE//G1G2，
∴DE⊥AG1，
∵AD=DG1，∠ADE=60∘，
∴AG1=2AD⋅sin60∘=2×2× 32=2 3，
故选：B.
当点F与点D重合时，点G在点G1处，此时DG1=CG1，当点F与点E重合时，点G在点G2处，此时CG2=EG2，由三角形中位线定理得出点G在G1G2上运动，当AG⊥G1G2时，AG的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出∠DAG1=∠DG1A=30∘，求出∠AG1G2=90∘得出AG的最小值为AG1，求出AG1的长即可得解．
本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵ 125− 45=5 5−3 5=2 5，
又∵(2 5)2=20,16<20<25，
即42<20<52，
∴4<2 5<5，
又∵ 125− 45的值在整数n和(n+1)之间，
∴n=4.
故答案为：4.
先化简，然后用平方法估算2 5的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，熟练掌握有理数大小比较方法是关键．
12.【答案】3
【解析】解：由题意知，数据4，5，8，a+2，b+2这五个数据是将原数据分别加2所得，
∴新数据的波动幅度与原数据一致，
∴这五个数据的方差是3，
故答案为：3.
根据每个数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即可得出答案．
本题主要考查方差的意义，如果数据x1、x2、……、xn的方差是S2，那么：①一组新数据x1+b、x2+b、……、xn+b的方差仍是S2(b是常数)；②一组新数据ax1、ax2、……、axn的方差是a2S2，标准差是|a|S(a是常数)；③一组新数据ax1+b、ax2+b、……、axn+b的方差是a2S2，标准差是|a|.
13.【答案】43
【解析】解：∵C(3,0)，D(0,2)，
∴OC=3，OD=2，
如图，作AE⊥x轴于E，
，
则∠AEC=∠DOC=90∘，
∴AE//OD，
∴△ACE∽△DCO，
∴AEOD=ACCD=CEOC，
∵AD=AB=BC，
∴ACCD=23，
∴AE=23OD=43，CE=23OC=2，
∴OE=OC−CE=3−2=1，
∴A(1,43)，
∴k=1×43=43，
故答案为：43.
由题意得出OC=3，OD=2，作AE⊥x轴于E，则∠AEC=∠DOC=90∘，得出AE//OD，进而得出△ACE∽△DCO，由相似三角形的性质得出AEOD=ACCD=CEOC，求出A(1,43)，再代入反比例函数即可得出答案．
本考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
14.【答案】(1,−2) 33
【解析】解：(1)∵A(−1,0)，B(3,0)，
∴OA=1，OB=3，
∴AB=4，
设函数的对称轴与x轴的交点为E，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DE=AE=BE=2，
∴D点坐标为(1,−2)，
故答案为：(1,−2)；
(2)∵CO⊥AB，AC⊥BC，
∴∠ACB=∠COB=90∘，
∴∠ACO+∠OAC=∠BAC+∠ABC=90∘，
∴∠ACO=∠ABC，
∴△OAC∽△OCB，
∴OC2=OA×OB=3，
∵C点在y轴的负半轴上，
∴c=− 3，
将点A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx−3中，
∴a−b− 3=09a+3b− 3=0，
解得a= 33b=−23 3，
故答案为： 33.
(1)设函数的对称轴与x轴的交点为E，根据题意可得DE=AE=BE=2，由此求D点坐标即可；
(2)先证明△OAC∽△OCB，可得OC2=OA×OB=3，求出c的值，再用待定系数法求函数的解析式即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】解：(−12)−1−| 2−2|+(π+1)0−(−1)2024
=−2−(2− 2)+1−1
=−2−2+ 2+1−1
=−4+ 2.
【解析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
16.【答案】解：设第一次购进每箱纯牛奶的进价为x元，则第二次购进每箱纯牛奶的进价为(1+5%)x，
由题意得：21000x−20=21000(1+5%)x，
解得：x=50，
经检验，x=50是分式方程的解，且符合题意；
∴第一次购进每箱纯牛奶的进价为50元．
【解析】设第一次购进每箱纯牛奶的进价为x元，则第二次购进每箱纯牛奶的进价为(1+5%)x，根据“同样用21000元购进的数量比第一次少了20箱”，列出分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点A1的坐标为(6,−6).
(2)如图，△A2B2C即为所求．

【解析】(1)根据位似的性质作图，即可得出答案．
(2)根据旋转的性质作图即可．
本题考查作图-旋转变换、位似变换，熟练掌握旋转的性质、位似的性质是解答本题的关键．
18.【答案】3−1
【解析】解：(1)∵2+4=6，6÷2=3，
∴2与4是关于3的对称数，
又3×2−7=−1，
∴7与−1是关于3的对称数．
故答案为：3；−1；
(2)根据题意得，−2x2+3(x2+x)−4+b=−1×2，
解得，b=−x2−3x+2.
(1)运用对称数的定义进行解答即可；
(2)运用对称数的定义列出方程求解即可．
本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键．
19.【答案】解：(1)如图1，作DG⊥BE于G，则∠DGC=90∘，
∵斜坡CF的坡比i=1：3，
∴GDCG=13，
设GD=xm，则CG=3xm，
由题意得：CD=2 10m，CD2=GD2+CG2，
∴x2+(3x)2=(2 10)，
解得：x=2，
∴GD=2m，
∴点D到水平线BE的距离为2m；
(2)如图2，作DH⊥AB于H，
则∠DGB=∠DHB=∠HBG=90∘，
∴四边形DGBH为矩形，
∴DH=BG，BH=GD，
设AB=ym，则BC=AB=ym，
∴BG=BC+CG=(6+y)m，AH=AB−BH=(y−2)m，
∴tan∠ADH=AHDH，
∴y−26+y= 33，
解得：y=(6+4 3)，
∴AB=(6+4 3)m，
∴砖塔AB的高度为(6+4 3)m.
【解析】(1)作DG⊥BE于G，则∠DGC=90∘，根据斜坡CF的坡比i=1：3，CD=2 10m，结合勾股定理求出GD的长即可得解；
(2)作DH⊥AB于H，则四边形DGBH为矩形，设AB=ym，则BC=AB=ym，则BG=(6+y)m，AH=(y−2)m，根据tan∠ADH=AHDH，求解即可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AD平分∠PAC，
∴∠MAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠MAD=∠ODA，
∴OD//BM；
(2)解：如图，连接BC，
，
∵AC为⊙O的直径，⊙O的直径为4，
∴∠ADC=∠ABC=90∘，AC=4，
∵tan∠ACD=12，
∴tan∠ACD=ADCD=12，
令AD=x，则CD=2x，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
∴x2+(2x)2=42，
解得：x=4 55，
∴AD=4 55，CD=8 55，
∵OD//BM，
∴∠M=∠ODC，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠M=∠OCD，
∴AM=AC=4，
∵∠ADC=90∘，
∴CM=2CD=16 55，
∵BC2=CM2−(AM+AB)2，BC2=AC2−AB2，
∴AC2−AB2=CM2−(AM+AB)2，即42−AB2=(16 55)2−(4+AB)2，
解得：AB=125.
【解析】(1)由角平分线的定义得出∠MAD=∠CAD，由等角对等边得出∠OAD=∠ODA，从而得出∠MAD=∠ODA，即可得证；
(2)连接BC，由圆周角定理得出∠ADC=∠ABC=90∘，由tan∠ACD=12结合勾股定理得出AD=4 55，CD=8 55，求出AM=AC=4，CM=16 55，再结合勾股定理得出AC2−AB2=CM2−(AM+AB)2，求解即可得出答案．
本题考查了角平分线的定义、等边对等角、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
21.【答案】72∘
【解析】解：(1)样本中B等级的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是360∘×(1−44%−28%−8%)=72∘，
故答案为：72∘；
(2)本次抽取的总人数为：44÷44%=100(人)，
故样本中B等级的人数为：100−44−8−28=20(人)，
补全条形统计图如图所示：；
(3)600×28%=168(人)，
∴全校九年级学生D等级的人数为168人；
(4)由扇形统计图可得：A等级的人数所占的比例为44%，不到一半，D等级的人数所占比例28%，故应该合理加强学生的训练．
(1)用360∘乘以样本中B等级的人数所占的比例即可得出答案；
(2)先求出样本中B等级的人数，再补全统计图即可；
(3)用600乘以样本中D等级所占的比例即可；
(4)结合题中的数据提出建议即可．
本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，补全条形统计图、求扇形统计图圆心角度数、由样本估计总体，灵活运用所给数据是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)点F是边BC的中点，理由：
在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∵CD是边AB上的高，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=6×810=245，
在Rt△BCD中，BD= BC2−CD2= 82−(245)2=325，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90∘，
又∠ACB=∠ACD+∠BCD=90∘，
∴∠ACD=∠B，
∵DE⊥DF，
∴∠EDC+∠CDF=90∘，
∵CD⊥AB，
∴∠CDF+∠BDF=90∘，
∴∠EDC=∠FDB，
∴△CED∽△BFD，
∴CEBF=CDBD，
∵E点是AC的中点，
∴CE=12AC=12×6=3，
∴3BF=245325=34，
解得，BF=4，
∴CF=BC−BF=8−4=4，
∴BF=CF，即点F是BC边的中点；
(2)由(1)知△CED∽△BFD，
∴DEDF=CDBD=245325=34，
又CACB=68=34，
∴DEDF=CACB，
∴DECA=DFCB，
又∠EDF=∠ACB=90∘，
∴△DEF∽△ABC；
(3)由(1)知△CED∽△BFD，
∴CEBF=CDBD=34，
∴BF=43CE；
又CE=CF，CF+BF=BC，
∴CF+43CF=8，
解得，CF=247，
即线段CF的长为247.
【解析】(1)由勾股定理求出AB=10，由面积求出CD=245，再由勾股定理求出BD=325，证明△CDE∽△BDF，得出CEBF=CDBD，求出BF=4，CF=BC−BF=4，故可得点F是BC的中点；
(2)由(1)知△CDE∽△BDF得DEDF=34，又CACB=34，可得DEDF=CACB，即DECA=DFCB，且∠EDF=∠ACB=90∘，从而可证△EDF∽△ACB；
(3)由(1)得CEBF=CDBD=34，求出BF=43CE，且CF=CE，由CF+BF=8，代入BF=43CE，从而可求出CF的长．
本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23.【答案】解：(1)在y=a(x+2)(x−4)中，令y=0，则a(x+2)(x−4)=0，
解得：x1=−2，x2=4，
∴A(4,0)，B(−2,0)，
将B(−2,0)代入y=12x+b得：12×(−2)+b=0，
解得：b=1，
∴y=12x+1，
∵点D的横坐标为3，
∴当x=3时，y=12×3+1=52，
∴D(3,52)，
将D(3,52)代入抛物线解析式得：a(3+2)×(3−4)=52，
解得：a=−12，
∴y=−12(x+2)(x−4)=−12x2+x+4；
(2)由(1)得：B(−2,0)，y=12x+1，
设点D的坐标为(m,n)，
∵BE=DE，
∴E为BD的中点，
∵E在y轴上，
∴−2+m2=0，
∴m=2，
在y=12x+1中，当x=2时，y=12×2+1=2，
∴D(2,2)，
将D(2,2)代入抛物线解析式得：a(2+2)×(2−4)=2，
解得：a=−14；
(3)由(1)知：y=−12x2+x+4，A(4,0)，B(−2,0)，
∴AB=4−(−2)=6，
在y=−12x2+x+4中，当x=0时，y=4，
∴C(0,4)，
∴OC=4，
设P(p,−12p2+p+4)(0∴S△APQ−S△BCQ
=(S△APQ+S△ABQ)−(S△BCQ+S△ABQ)
=S△ABP−S△ABC
=12AB⋅yP−12AB⋅OC
=12×6×(−12p2+p+4)−12×6×4
=−32p2+3p+12−12
=−32p2+3p
=−32(p2−2p)
=−32(p−1)2+32，
∵−32<0，
∴当p=1时，S△APQ−S△BCQ的值最大，此时P(1,92).
【解析】(1)令y=0，则a(x+2)(x−4)=0，求出A(4,0)，B(−2,0)，将B(−2,0)代入一次函数求出b=1，从而得出点D的坐标，再将D的坐标代入二次函数即可得解；
(2)由(1)得：B(−2,0)，y=12x+1，设点D的坐标为(m,n)，由DE=BE得出点D的横坐标为2，代入一次函数解析式得出点D的坐标，再将D的坐标代入二次函数即可得解；
(3)由(1)知：y=−12x2+x+4，A(4,0)，B(−2,0)，得出AB=6，求出点C的坐标得出OC=4，根据S△APQ−S△BCQ=(S△APQ+S△ABQ)−(S△BCQ+S△ABQ)=S△ABP−S△ABC，得出关系式，根据二次函数的性质即可得出答案．
本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合-面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．10
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