2023-2024学年湖北省荆门市京山市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省荆门市京山市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若 5−a在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )
A. a>5B. a<5C. a≥5D. a≤5
2.下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是( )
A. 3，3，5B. 4，5，6C. 6，8，10D. 13，14，15
3.若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是( )
A. 60°B. 90°C. 120°D. 45°
4.化简 (−5)2的结果是( )
A. 5B. ±5C. −5D. 25
5.如图，矩形ABCD中，AB=3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为( )
A. 3B. 6C. 3 3D. 6 3
6.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 8B. 13C. 1 2D. 15
7.如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD平分∠BAC，AD⊥BF于点D，点E为BC的中点，连接DE，则DE的长是( )
A. 0.5
B. 0.75
C. 1
D. 2
8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )
A. 9B. 6C. 4D. 3
9.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD/​/BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A. 6种B. 5种C. 4种D. 3种
10.如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合.若原矩形的长宽之比为3：1，则AEBF的值为( )
A. 12
B. 13
C. 34
D. 45
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写一个比3小的无理数______．
12.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是______．
13.如图，从一个大正方形中截去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为______．
14.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为______．
15.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中：①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC>2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF.一定成立的是______(只填序号)．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.计算：
(1)2 12−6 13+3 48
(2) 27× 50÷ 6
四、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图，小明为了测得学校旗杆AB的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点距离12m，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截BP，量得多出部分长度为4m，请你帮他计算出旗杆的高度．
18.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．
19.(本小题8分)
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建两条小路AC和BD．
(1)求AC和BD的长；
(2)求菱形花坛ABCD的面积．
20.(本小题8分)
如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)∠BCD是直角吗？为什么？
21.(本小题8分)
已知正六边形ABCDEF，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示画图结果用实线表示．
(1)在图1中，画出一个以BD为边的等边三角形；
(2)在图2中，画出一个以CD为边的矩形；
(3)在图3中，画出一个以BC为边的菱形；
(4)在图4中，画出一个以AB为边的平行四边形(非矩形、非菱形)．
22.(本小题10分)
阅读材料：
我国南宋数学家秦九韶(约1202−1261)在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为：S= 14[a2b2−(a2+b2−c22)2]…①(其中S为三直形的面积，m、b、c为三角形的三边长)．
而古希腊的几何学家海伦(Hern，约公元50年)，在《度量》中也有求三角形面积的“海伦公式”：S= p(p−a)(p−b)(p−c)…②(其中S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长，p为半周长，即p=a+b+c2).
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦一秦九韶公式”．
解答问题：
(1)若在△ABC中，已知AB=5，BC=6，CA=7，试分别运用公式①和公式②计算△ABC的面积；
(2)请你写出由公式①推导出公式②的过程；
(3)计算(1)中△ABC的BC边上的高．
23.(本小题11分)
已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．
(1)如图1，连接BD．
①请你探究AE与BD之间的关系，并证明你的结论；
②求证：AE2+AD2=2AC2．
(2)如图2，若AE=2，AC=2 5，点F是AD的中点，求CF的长．
24.(本小题12分)
如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交边DC的延长线于点F．
(1)如图1，求证：CE=CF；
(2)如图2，若∠ABC=90°，G是EF的中点，分别连结CG，BG，DG，求证：DG⊥BG；
(3)如图3，若∠ABC=120°，四边形CFGE为平行四边形，分别连结DB，DG，试判断△BDG的形状并证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】
解：由题意，得5−a≥0，
解得a≤5，
故选D．
2.【答案】C
【解析】解：A、32+32≠52，故不能组成直角三角形，不符合题意；
B、42+52≠62，故不能组成直角三角形，不符合题意；
C、62+82=102，故能组成直角三角形，符合题意；
D、(15)2+(14)2≠(13)2，故不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】A
【解析】解：设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，
则x+2x=180，
解得：x=60，
∴其中较小的内角是：60°．
故选：A．
首先设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，由平行四边形的邻角互补，即可得方程x+2x=180，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补．
4.【答案】A
【解析】解：原式= 25=5；
故选：A．
先计算出被开方的值，根据二次根式的意义解答．
本题主要考查了根据二次根式的意义化简，二次根式 a2规律总结：当a≥0时， a2=a；当a≤0时， a2=−a．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
根据矩形的性质推出AC=BD，OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，求出OA=OB，求出等边三角形AOB，推出OB=AB=3，即可求出答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=3，
∵OB=12BD，
∴BD=6．
故选B．
6.【答案】D
【解析】解：根据二次根式的定义， 8、 13和1 2均不是最简二次根式， 15是最简二次根式，
∴ABC不符合题意，D符合题意．
故选：D．
被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．据此判断即可．
本题考查最简二次根式和分母有理化，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BF，AB=3，
∴点D是BF的中点，且AB=AF=3．
∵AC=5，
∴FC=AC−AF=5−3=2．
又∵点E为BC的中点，
∴DE是△BFC的中位线，
∴DE=12FC=12×2=1．
故选：C．
利用等腰三角形的“三线合一”性质推知D点是BF的中点，AB=AF=3；由此推知DE是△BFC的中位线，由三角形中位线定理推知：DE=12FC．
本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是判定△ABF是等腰三角形．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，本题属于基础题型．
由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形面积的和列出等式，即可求出小正方形的边长．
【解答】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，
∴4×12ab+(a−b)2=25，
∴(a−b)2=25−16=9，
∵a>b，
∴a−b=3，即中间小正方形的边长为3．
故选D．
9.【答案】C
【解析】解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：C．
根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
10.【答案】D
【解析】解：如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合，
∴ED′=BE，∠D′EF=∠BEF，
∵AD′//BC′，
∴∠D′EF=∠EFB，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF，
∵原矩形的长宽之比为3：1，
∴设AD′=BC′=3x，AB=x，
∴AE=3x−ED′=3x−BE，
∵AE2+AB2=BE2，
∴(3x−BE)2+x2=BE2，
解得：BE=53x，
∴BF=BE=53x，
∴AEBF=43x53x=45，
故选：D．
根据折叠的性质得到ED′=BE，∠D′EF=∠BEF，根据平行线的性质得到∠D′EF=∠EFB，求得BE=BF，设AD′=BC′=3x，AB=x，根据搞定了得到BE=53x，于是得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
11.【答案】 2(答案不唯一)
【解析】解：写出一个比3小的无理数是 2(答案不唯一)．
故答案为： 2(答案不唯一)．
根据无理数的定义写出一个比3小的无理数即可．
此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
12.【答案】16
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=4，
∴菱形ABCD的周长是：4×4=16．
故答案为：16．
由四边形ABCD是菱形，即可得AB=BC=CD=AD，又由∠BAD=60°，BD=4，即可证得△ABD是等边三角形，即可求得菱形的边长，继而求得菱形ABCD的周长．
此题考查了菱形的性质与等边三角形的判定与性质．注意菱形的四条边都相等，注意数形结合思想的应用．
13.【答案】12 10cm2
【解析】解：如图所示：由题意可得：AB= 24=2 6(cm)，
BC=BE= 15(cm)，
故两个阴影部分面积和为：2(2 6× 15)=12 10(cm2)，
故答案为：12 10cm2．
根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．
14.【答案】8
【解析】解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D−S正方形C=S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B=S正方形D−S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴S正方形B+4=18−6，
∴S正方形B=8．
故答案为：8．
根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D−S正方形C=S正方形E解得即可．
本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
15.【答案】①②④
【解析】解：在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，
∴AF=DF=AB=CD，AD//BC，
∴∠DFC=∠DCF，∠DFC=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=12∠BCD，①结论成立；
如图，延长EF、CD交于点M，
∵AB/​/CD，
∴∠AEF=∠M，
在△AEF和△DMF中，
∠AEF=∠M∠AFE=∠DFMAF=DF，
∴△AEF≌△DMF(AAS)，
∴EF=FM，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵AB/​/CD，
∴∠AEC+∠ECD=180°，
∴∠ECD=90°，
在Rt△ECM中，点F是斜边EM的中点，
∴CF=12EM=EF，②结论成立；
∵EF=FM，
∴S△CEF=S△CMF，
∵BE∴S△BCE∵S△CME=S△CEF+S△CMF=2S△CEF，
∴S△BEC<2S△CEF，③结论不成立；
设∠CEF=x，
∵EF=CF，
∴∠ECF=∠CEF=x，
∴∠DCF=∠ECD−∠ECF=90°−x，∠CFE=180°−2x，
∴∠DFC=90°−x，
∴∠DFE=∠CFE+DFC=180°−2x+90°−x=270°−3x=3(90°−x)，
∵∠AEF=∠AEC−∠CEF=90°−x，
∴∠DFE=3∠AEF，④结论成立；
∴一定成立的是①②④，
故答案为：①②④
根据平行四边形的性质，即可判断①结论；延长EF、CD交于点M，证明△AEF≌△DMF(AAS)，得到EF=FM，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可判断②结论；根据等高三角形面积比等于底边之比，即可判断③结论；设∠CEF=x，根据等边对等角的性质，三角形内角和定理表示出各角，即可判断④结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等高三角形的面积，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识点，找出角度之间的数量关系是解题关键．
16.【答案】解：(1)原式=4 3−2 3+12 3
=14 3；
(2)原式= 27×50×16
=15．
【解析】(1)先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
(2)根据二次根式的乘除法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17.【答案】解：设旗杆高x米，
在Rt△ABC中，由勾股定理，
(x+4)2=x2+122
解得：x=16．
答：旗杆高16米．
【解析】根据题意列出已知条件，再根据勾股定理求得旗杆的高度．
考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
18.【答案】证明：在▱ABCD中，DC/​/AB，DC=AB，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EB//FD，EB=FD，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得出AB=CD，BE/​/DF，证出BE=DF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=5cm，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2OB，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=5cm，
∴∠ABO=12∠ABC=30°，
∴OB= 32AB=5 32(cm)，
∴BD=2OB=5 3cm；
(2)菱形花坛ABCD的面积=12AC⋅BD=12×5×5 3=25 32(cm2).
【解析】(1)根据菱形的性质得到AB=BC=5cm，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2OB，根据等边三角形的性质得到AC=AB=5cm，根据直角三角形的性质即可得到结论；
(2)根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和，直角三角形的性质，菱形面积的计算，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)四边形ABCD的面积=5×5−12×1×5−12×2×4−12×1×4−1−12×1×2=14.5；
(2)∠BCD是直角，理由如下：
连接BD，
∵BC2=22+42=20，CD2=12+22=5，BD2=32+42=25，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，
即∠BCD是直角．
【解析】(1)利用割补法可得四边形ABCD的面积；
(2)根据勾股定理的逆定理可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形和四边形的面积，掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图1中，△BDF即为所求；

(2)如图2中，矩形ACDF即为所求；
(3)如图3中，菱形ANCO即为所求；
(4)如图4中，平行四边形ABHD即为所求．
【解析】(1)根据等边三角形的判定作出图形；
(2)根据矩形的判定作出图形；
(3)连接AD，CF交于点O，四边形ABCO即为所求；
(4)延长BC，ED交于点H，四边形ABHD即为所求．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
22.【答案】解：(1)设a=5，b=6，c=7，
由公式①得：S= 14[25×36−(25+36−492)2]= 9×24=6 6，
由公式②得：p=5+6+72=9，S= 9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=6 6；
(2)由平方差公式，①中根号内的式子可化为14(ab+a2+b2−c22)(ab−a2+b2−c22)，
通分，得：116(2ab+a2+b2−c2)(2ab−a2−b2+c2)，
由完全平方公式，得：116[(a+b)2−c2][c2−(a−b)2]，
由平方差公式，得：116(a+b+c)(a+b−c)(c−a+b)(c+a−b)③，
由p=a+b+c2，得2p=a+b+c，
∴116×2p×(2p−2c)(2p−2a)(2p−2b)=18p×(2p−2c)(2p−2a)(2p−2b)，
代入③得：S= 14[a2b2−(a2+b2−c22)2]= p(p−a)(p−b)(p−c)；
(3)如图，过点A作AD⊥BC于D，

S△ABC=12×BC×AD=6 6，
∵BC=6，
∴AD=2 6，
即△ABC的BC边上的高是2 6．
【解析】(1)根据阅读材料分别代入即可求解；
(2)根据平方差公式和完全平方公式即可推导；
(3)根据三角形的面积公式可解答．
本题考查了二次根式的应用，平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟练应用公式，计算量大．
23.【答案】(1)①解：AE=BD，AE⊥BD．
证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，
∴∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，∠CEA=∠CDE=45°，∠CAB=∠CBA=45°，AB2=2AC2，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
CE=CD∠ECA=∠DCBAC=BC，
∴△ECA≌△DCB(SAS)，
∴AE=BD，∠CEA=∠CDB=45°，
∴∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°，
∴AE⊥BD；
②证明：∵△ADB是直角三角形，∠ADB=90°，
∴AD2+BD2=AB2，
∴AD2+AE2=AB2，
∴AE2+AD2=2AC2；
(2)解：过点C作CH⊥DE于H，

∵AC2+BC2=2AC2，AE2+AD2=AB2，AE=2，AC=2 5，
∴AD=6，
∴DE=AE+AD=8，
∵点F是AD的中点，
∴AF=DF=3，
∵△ECD都是等腰直角三角形，CH⊥DE，DE=8，
∴CH=DH=EH=4，
∴HF=DH−DF=1，
∴CF= CH2+HF2= 42+12= 17．
【解析】(1)①由“SAS”可证△ECA≌△DCB，可得AE=BD；
②证出∠CEA=∠CDB=45°，由勾股定理可求解；
(2)由勾股定理可求AD的长，由等腰直角三角形的性质可得CH=DH=EH=4，可求HF的长，由勾股定理可求CF的长．
本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AD//BC，
∴∠F=∠BAF，∠CEF=∠DAF，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠F=∠CEF，
∴CE=CF；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠BCF=90°，
∵G是EF的中点，
∴CG=EG=FG，
∴△CEG和△CFG都是等腰直角三角形，
∴∠ECG=∠F=45°，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAF=45°，
∴△DAF是等腰直角三角形，
∴DA=DF，
∴BC=DF，
∴△BCG≌△DGF(SAS)，
∴∠BGC=∠DGF，
∴∠BGC−∠DGC=∠DGF−∠DGC=∠CGF=90°，
∴DG⊥BG；
(3)解：△BDG是等边三角形，理由如下：
如图3，延长AB、FG交于点H，连接DH，

∵FG/​/CE，CE/​/AD，
∴FH//BC//AD，
∵AH//DF，
∴四边形AHFD是平行四边形，
∵∠DFA=∠FAB=∠DAF，
∴DA=DF，
∴四边形AHFD是菱形，
∴FD=FH，AD=AH，
∵∠ABC=120°，
∴∠DFH=∠DAH=60°，
∴△FDH和△ADH都是等边三角形，
∴∠DFG=∠DHB=∠FDH=60°，FD=HD，
∵四边形BCFH是平行四边形，
∴BH=CF，
∵FG=CE，CE=CF，
∴FG=BH，
在△DFG和△DHB中，
FG=BH∠GFD=∠BHDFD=HD，
∴△DFG≌△DHB(SAS)，
∴∠FDG=∠HDB，DG=DB，
∴∠BDG=∠HDB+∠HDG=∠FDG+∠HDG=∠FDH=60°，
∴△BDG是等边三角形．
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得AB/​/CD，AD//BC，所以∠F=∠BAF，∠CEF=∠DAF，由AF是∠BAD的平分线得∠BAF=∠DAF，所以∠F=∠CEF，得CE=CF；
(2)首先证明四边形ABCD是矩形，得AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，然后证明△CEG和△CFG都是等腰直角三角形，△DAF是等腰直角三角形，可以证明△BCG≌△DGF(SAS)，得∠BGC=∠DGF，然后利用角的和差即可解决问题；
(3)延长AB、FG交于点H，连接DH，可证得四边形AHFD是平行四边形，四边形AHFD是菱形，推出△FDH和△ADH都是等边三角形，再证明△DFG≌△DHB(SAS)，得出DB=DG，∠FDG=∠HDB，进而证得结论．
此题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．