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2023-2024学年湖北省黄冈市蕲春县八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖北省黄冈市蕲春县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若式子 a−1有意义，则a的取值范围是( )
A. a>1B. a<1C. a≥1D. a≤1
2.以下列线段为边，能组成直角三角形的是( )
A. 6cm，12cm，14cmB. 54cm，1cm，23cm
C. 1.5cm，2cm，2.5cmD. 2cm，3cm，5cm
3.下列计算正确的有( )
A. 2+ 3= 5B. 2 3− 3=2C. 2× 3= 6D. 12=2 2
4.如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A. 5+1B. 5−1C. − 5+1D. − 5−1
5.一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是( )
A. 88°，108°，88°B. 88°，104°，108°
C. 88°，92°，92°D. 88°，92°，88°
6.下列三个命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③相等的两个实数的平方也相等．它们的逆命题成立的个数是( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
7.如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是( )
A. AE=CF
B. BE=FD
C. BF=DE
D. ∠1=∠2
8.如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m.如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动( )
A. 7m
B. 8m
C. 9m
D. 10m
9.若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是( )
A. 5cmB. 8cmC. 12cmD. 16cm
10.已知，如图，△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，且∠ADB=2∠C，P是BC上任一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，下列结论：①△DBC是等腰三角形；②∠C=30°；③PE+PF=AB；④PE2+AF2=BP2，其中正确的结论是( )
A. ①②B. ①③④C. ①④D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(− 5)2= ．
12.三个正方形的面积如图所示，则字母B所代表的正方形的面积是______．
13.若最简二次根式 b2+2b+2与 3+2b是同类根式，则b的值是______．
14.在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠A=50°，则∠C=______．
15.如图，圆柱形容器杯高16cm，底面周长20cm，在离杯底3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从A处爬到B处的蜂蜜最短距离为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.(1)已知x=12( 5+ 3)，y=12( 5− 3)，求xy+yx的值
(2)y= 1−8x+ 8x−1+12，求代数式 xy+yx+2− xy+yx−2．
四、解答题：本题共8小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 27× 50÷ 6；
(2)3 48−9 13+3 12．
18.(本小题9分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)求△ABC的周长；
(2)求证：∠ABC=90°；
(3)若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为______．
19.(本小题8分)
如图，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)若BE：CF：DG=2：3： 13，求证：∠BOC=90°．
20.(本小题8分)
为了了解学生在一年中的课外阅读量，八(1)班对八年级800名学生采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查的结果有四种情况：A.10本以下；B.10−15本；C.16−20本；D.20本以上，根据调查结果统计整理并绘制了如图所示的统计图及统计表：
(1)这次调查中一共抽查了______名学生．
(2)表中x= ______，y= ______．
(3)在扇形统计图中，C部分所对应的扇形的圆心角是______度.
(4)根据抽样调查的结果，请估计八年级学生中一年阅读课外书20本以上的学生人数为______人.
21.(本小题5分)
一块试验田的形状如图，已知：∠ABC=90°，AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m.求这块试验田的面积．
22.(本小题8分)
已知，如图，▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线，BE，CF相交于点O．
(1)求证：BE⊥CF．
(2)试判断AF与DE有何数量关系、并说明理由．
23.(本小题9分)
材料阅读；
小明偶然发现线段AB的端点A的坐标为(1,2)，端点B的坐标为(3,4)，则线段AB中点的坐标为(2,3)，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为(x1+x22,y1+y22).
知识运用：
如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4,3)，则点M的坐标为______．
能力拓展：
在直角坐标系中，有A(−1,2)、B(3,4)、C(1,4)三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
24.(本小题12分)
在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，直线DE分别与AC，BC交于点D，E，点P是直线DE上一动点，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CQ，连接PQ．
(1)若∠CDE=45°，根据条件解答下列问题：
①如图1，当点P与点D重合时，直接写出AP与BQ的数量关系；
②如图2，当点P与点D不重合时，①中结论仍然成立吗？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
(2)若∠CDE=30°，如图3，CD=2 3，AD=2，连接BQ，当BQ最小时，求BQDE的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得：a−1≥0，
解得：a≥1，
故选：C．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理，逐项判定即可．
【解答】
解：A.62+122≠142，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B.(23)2+12≠(54)2，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
+22=2.52，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确；
D.22+32≠52，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误．
故选C．
3.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不能合并，所以A选项错误；
B、原式=2 3，所以B选项错误；
C、原式= 2×3= 6，所以C选项正确；
D、原式= 22，所以D选项错误．
故选C．
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得： 12+22= 5，
∴数轴上点A所表示的数是 5−1，
∴a= 5−1；故选：B．
由勾股定理得出 12+22= 5，得出数轴上点A所表示的数是 5−1，即可得出结果．
本题考查了勾股定理、实数与数轴的关系；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】【解答】
解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不是；
当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不是；
当三个内角度数依次是88°，92°，92°，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角，故C错，D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．
故选：D．
【分析】
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，根据所给的三个角的度数可以求出第四个角，然后根据平行四边形的判定方法验证即可．
此题主要考查平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．注意角的对应的位置关系，并不是有两组角相等的四边形就是平行四边形，易错选C．
6.【答案】B
【解析】解：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立；
②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；
③相等的两个实数的平方也相等的逆命题是两个实数的平方相等，这两个数相等，不成立；
故选：B．
写出各个命题的逆命题，判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别判断即可．
【解答】
解：A、当AE=CF，无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BE=FD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项错误；
C、当BF=ED，
∵BE=BF−EF，DF=ED−EF，
∴BE=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项错误；
D、当∠1=∠2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
∠1=∠2AB=CD∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，故此选项错误，
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：梯子顶端距离墙角地距离为 252−72=24m，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为 252−(24−4)2=15m，
15m−7m=8m．
故选：B．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
9.【答案】B
【解析】解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8−3<边长<8+3，即5<边长<11．
只有选项B在此范围内，故选B．
平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断．
本题主要考查了平行四边形对角线互相平分这一性质，此类求三角形第三边的范围的题目，解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，再求解．
10.【答案】B
【解析】解：在△BCD中，∠ADB=∠C+∠DBC，
∵∠ADB=2∠C，
∴∠C=∠DBC，
∴DC=DB，
∴△DBC是等腰三角形，故①正确；
无法说明∠C=30°，故②错误；
连接PD，则S△BCD=12BD⋅PE+12DC⋅PF=12DC⋅AB，
∴PE+PF=AB，故③正确；
过点B作BG//AC交FP的延长线于G，
则∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，
∴∠PBG=∠DBC，四边形ABGF是矩形，
∴AF=BG，
在△BPE和△BPG中，
∠PBG=∠DBC∠G=∠BEFPB=PB，
∴△BPE≌△BPG(AAS)，
∴BG=BE，
∴AF=BE，
在Rt△PBE中，PE2+BE2=BP2，
即PE2+AF2=BP2，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：B．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADB=∠C+∠DBC，然后求出∠C=∠DBC，再根据等角对等边可得DC=DB，从而判断①正确；没有条件说明∠C的度数，判断出②错误；连接PD，利用△BCD的面积列式求解即可得到PE+PF=AB，判断出③正确；过点B作BG//AC交FP的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，然后求出四边形ABGF是矩形，根据矩形的对边相等可得AF=BG，根据然后利用“角角边”证明△BPE和△BPG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=BE，再利用勾股定理列式求解即可判断④正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出矩形和全等三角形是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解：原式=(− 5)2=5．
故答案为：5．
根据二次根式的基本性质进行解答即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
12.【答案】144
【解析】解：如图，根据勾股定理我们可以得出：
a2+b2=c2
a2=25，c2=169
b2=169−25=144
因此B的面积是144．
故答案为：144．
在本题中，外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．
本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用．只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了．
13.【答案】1
【解析】【分析】
本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．依据同类二次根式的定义可知b2+2b+2=3+2b，从而可求得b的值．
【解答】
解：∵最简二次根式 b2+2b+2与 3+2b是同类根式，
∴b2+2b+2=3+2b．
整理得：b2=1．
解得：b=±1.
当b=−1时， b2+2b+2=1， 3+2b=1不合题意．
故答案为1．
14.【答案】50°
【解析】解：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，
∴∠A=50°，
∴∠C=50°，
故答案为50°
证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题；
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
15.【答案】5 13
【解析】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
在直角△A′DB中，由勾股定理得
A′B= A′D2+DB2=5 13 221(cm)．
故答案为：5 13．
将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
16.【答案】解：(1)∵x=12( 5+ 3)，y=12( 5− 3)，
∴x+y= 5，xy=12，
∴xy+yx=x2+y2xy
=(x+y)2−2xyxy
=( 5)2−2×1212
=5−112
=8；
(2)∵1−8x≥0且8x−1≥0，
∴x=18，
当x=18时，y=12，
则原式= x2+y2+2xyxy− x2+y2−2xyxy
= (x+y)2xy− (x−y)2xy
=x+y xy−y−x xy
=2x xy
=2×18 18×12
=1414
=1．
【解析】(1)根据x、y计算出x+y、xy的值，再将其代入到原式变形后的式子(x+y)2−2xyxy即可；
(2)二次根式的意义得出x的值，继而可得y的值，代入到原式变形后的式子2x xy即可得．
本题主要考查二次根式的化简求值及二次根式有意义的条件，熟练根据二次根式的性质及运算法则化简各式是关键．
17.【答案】解：(1) 27× 50÷ 6
=3 3×5 2÷ 6
=15 6÷ 6
=15；
(2)3 48−9 13+3 12
=12 3−9×13 3+6 3
=12 3−3 3+6 3
=15 3．
【解析】(1)利用二次根式的乘法法则求值即可；
(2)先化简各二次根式，再合并．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解决本题的关键．
18.【答案】2
【解析】解：(1)AB= 42+22=2 5，BC= 22+12= 5，AC= 32+42=5，
△ABC的周长=2 5+ 5+5=3 5+5，
(2)∵AC2=25，AB2=20，BC2=5，
∴AC2=AB2+BC2，
∴∠ABC=90°．
(3)过B作BP⊥AC，
∵△ABC的面积=12AB⋅BC=12AC⋅BP，
即12×2 5× 5=12×5⋅BP，
解得BP=2，
故答案为：2
(1)运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长．
(2)运用勾股定理的逆定理求得AC2=AB2+BC2，得出∠ABC=90°．
(3)过B作BP⊥AC，解答即可．
本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵D是AB的中点，G是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG//BC，DG=12BC，
同理得：EF是△OBC的中位线，
∴EF//BC，EF=12BC，
∴DG=EF，DG//EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
(2)∵BE：CF：DG=2：3： 13，
∴设BE=2x，则CF=3x，DG= 13x，
∴OE=2x，OF=3x，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF= 13x，
∴OE2+OF2=EF2，
∴∠EOF=90°，
即∠BOC=90°．
【解析】(1)由三角形中位线定理得DG//BC，DG=12BC，EF//BC，EF=12BC，则DG=BC，DE//BC，即可得出结论；
(2)设BE=2x，CF=3x，DG= 13x，再证OE2+OF2=EF2，然后根据勾股定理的逆定理得∠EOF=90°，即可得出结论．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】200 60 80 144 160
【解析】解：(1)20÷10%=200(人)，
即在这次调查中一共抽查了200名学生，
故答案为：200；
(2)x=200×30%=60，
y=200−20−60−40=80，
故答案为：60，80；
(3)360×80200=144°，
C部分所对应的扇形的圆心角是144度，
故答案为：144；
(4)800×40200=160(人)．
九年级学生一年阅读课外书20本以上的学生人数大约为160人．
故答案为：160．
(1)利用A部分的人数÷A部分人数所占百分比即可算出本次问卷调查共抽取的学生数；
(2)x=抽查的学生总数×B部分的学生所占百分比，y=抽查的学生总数−A部分的人数−B部分的人数−D部分的人数；
(3)C部分所对应的扇形的圆心角的度数=360°×所占百分比；
(4)利用样本估计总体的方法，用800人×调查的学生中一年阅读课外书20本以上的学生人数所占百分比．
此题主要考查了扇形统计图、频数分布表以及样本估计总体，关键是正确从扇形统计图和表中得到所用信息．
21.【答案】解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得：AC=5，
又AD=12，CD=13，
∴AD2=122=144，AD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ACD为直角三角形，∠CAD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅AD=36．
故试验田面积为36m2．
【解析】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠BCD)=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BE⊥CF．
(2)解：AF=DE，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得CD=DF，
又∵AB=CD，
∴AE=DF，
∴AF=DE．
【解析】(1)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义推出∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠BCD)=90°，即可得出结论；
(2)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义推出AB=AE=CD=DF，从而推出结论．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟记平行四边形的性质，角平分线的定义是解题的关键．
23.【答案】解：知识运用：
(2,32)；
能力拓展：
解：有三种情况：①当AB为对角线时，
∵A(−1,2)，B(3,4)，C(1,4)，
∴BC=2，
∴AD=2，
∴D点坐标为(1,2)；
②当BC为对角线时，
∵A(−1,2)，B(3,4)，C(1,4)，
∴D点坐标为(5,6)．
③当AC为对角线时，
∵A(−1,2)，B(3,4)，C(1,4)，
∴D点坐标为：(−3,2)，
综上所述，符合要求的点D的坐标为(1,2)或(−3,2)或(5,6)．
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形性质等相关知识，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法．
知识运用：由矩形的性质得出OM=EM，M为OE的中点，由线段中点坐标公式即可得出结果；
能力拓展：有三种情况：①当AB为对角线时，②当BC为对角线时，③当AC为对角线时，由平行四边形的性质即可得出结果．
【解答】
知识运用：
解：∵矩形ONEF的对角线相交于点M，
∴OM=EM，M为OE的中点，
∵O为坐标原点，点E的坐标为(4,3)，
∴点M的坐标为(0+42,0+32)，
即点M的坐标为(2,32)；
能力拓展：见答案．
24.【答案】解：(1)①AP=BQ，理由如下：
由旋转得：CP=CQ，即CD=CE，
∵AC=BC，
∴CD+AD=CE+BE，
∴AD=BE，
即AP=BQ；
②①中结论仍成立，理由如下：
由旋转得：CP=CQ，∠PCQ=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACP+∠PCB=90°，
∵∠PCQ=90°，
∴∠PCB+∠BCQ=90°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵AC=BC，∠ACP=∠BCQ，C=CQ，
∴△APC≌△BQC(SAS)，
∴AP=BQ；
(2)解：如图3，连接AP，
由旋转得：CP=CQ，∠PCQ=90°，
∴∠ACP+∠ACQ=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACQ+∠QCB=90°，
∴∠ACP=∠QCB，
∵AC=BC，∠ACP=∠QCB，CP=CQ，
∴△APC≌△BQC(SAS)，
∴AP=BQ，
∴当AP取最小值时，BQ的值最小，
当AP⊥DE时，AP的值最小，
∵∠CDE=30°，
∴∠ADP=30°，
在Rt△APD中，
sin∠ADP=APAD=12，
∴AD=2AP，
在Rt△CDE中，tan∠CDE=CECD= 33，sin∠CDE=CEDE=12，
∴CDCE= 3，
∵CD=2 3，AD=2，
∴CDAD= 3，
∴CE=AD，
∴2APDE=12，
∴APDE=14，
∴BQDE=14．
【解析】(1)①利用等式的性质可得答案；
②利用SAS证明△APC≌△BQC，得AP=BQ；
(2)连接AP，同理可证△APC≌△BQC，得AP=BQ，当AP⊥DE时，AP的值最小，再利用含30°角的直角三角形的性质进行线段之间的转化，从而解决问题．
本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，证明△APC≌△BQC是解题的关键．课外阅读情况
A
B
C
D
频数
20
x
y
40
1.若式子 a−1有意义，则a的取值范围是( )
A. a>1B. a<1C. a≥1D. a≤1
2.以下列线段为边，能组成直角三角形的是( )
A. 6cm，12cm，14cmB. 54cm，1cm，23cm
C. 1.5cm，2cm，2.5cmD. 2cm，3cm，5cm
3.下列计算正确的有( )
A. 2+ 3= 5B. 2 3− 3=2C. 2× 3= 6D. 12=2 2
4.如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A. 5+1B. 5−1C. − 5+1D. − 5−1
5.一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是( )
A. 88°，108°，88°B. 88°，104°，108°
C. 88°，92°，92°D. 88°，92°，88°
6.下列三个命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③相等的两个实数的平方也相等．它们的逆命题成立的个数是( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
7.如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是( )
A. AE=CF
B. BE=FD
C. BF=DE
D. ∠1=∠2
8.如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m.如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动( )
A. 7m
B. 8m
C. 9m
D. 10m
9.若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是( )
A. 5cmB. 8cmC. 12cmD. 16cm
10.已知，如图，△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，且∠ADB=2∠C，P是BC上任一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，下列结论：①△DBC是等腰三角形；②∠C=30°；③PE+PF=AB；④PE2+AF2=BP2，其中正确的结论是( )
A. ①②B. ①③④C. ①④D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(− 5)2= ．
12.三个正方形的面积如图所示，则字母B所代表的正方形的面积是______．
13.若最简二次根式 b2+2b+2与 3+2b是同类根式，则b的值是______．
14.在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠A=50°，则∠C=______．
15.如图，圆柱形容器杯高16cm，底面周长20cm，在离杯底3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从A处爬到B处的蜂蜜最短距离为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.(1)已知x=12( 5+ 3)，y=12( 5− 3)，求xy+yx的值
(2)y= 1−8x+ 8x−1+12，求代数式 xy+yx+2− xy+yx−2．
四、解答题：本题共8小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 27× 50÷ 6；
(2)3 48−9 13+3 12．
18.(本小题9分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)求△ABC的周长；
(2)求证：∠ABC=90°；
(3)若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为______．
19.(本小题8分)
如图，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)若BE：CF：DG=2：3： 13，求证：∠BOC=90°．
20.(本小题8分)
为了了解学生在一年中的课外阅读量，八(1)班对八年级800名学生采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查的结果有四种情况：A.10本以下；B.10−15本；C.16−20本；D.20本以上，根据调查结果统计整理并绘制了如图所示的统计图及统计表：
(1)这次调查中一共抽查了______名学生．
(2)表中x= ______，y= ______．
(3)在扇形统计图中，C部分所对应的扇形的圆心角是______度.
(4)根据抽样调查的结果，请估计八年级学生中一年阅读课外书20本以上的学生人数为______人.
21.(本小题5分)
一块试验田的形状如图，已知：∠ABC=90°，AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m.求这块试验田的面积．
22.(本小题8分)
已知，如图，▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线，BE，CF相交于点O．
(1)求证：BE⊥CF．
(2)试判断AF与DE有何数量关系、并说明理由．
23.(本小题9分)
材料阅读；
小明偶然发现线段AB的端点A的坐标为(1,2)，端点B的坐标为(3,4)，则线段AB中点的坐标为(2,3)，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为(x1+x22,y1+y22).
知识运用：
如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4,3)，则点M的坐标为______．
能力拓展：
在直角坐标系中，有A(−1,2)、B(3,4)、C(1,4)三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
24.(本小题12分)
在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，直线DE分别与AC，BC交于点D，E，点P是直线DE上一动点，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CQ，连接PQ．
(1)若∠CDE=45°，根据条件解答下列问题：
①如图1，当点P与点D重合时，直接写出AP与BQ的数量关系；
②如图2，当点P与点D不重合时，①中结论仍然成立吗？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
(2)若∠CDE=30°，如图3，CD=2 3，AD=2，连接BQ，当BQ最小时，求BQDE的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得：a−1≥0，
解得：a≥1，
故选：C．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理，逐项判定即可．
【解答】
解：A.62+122≠142，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B.(23)2+12≠(54)2，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
+22=2.52，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确；
D.22+32≠52，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误．
故选C．
3.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不能合并，所以A选项错误；
B、原式=2 3，所以B选项错误；
C、原式= 2×3= 6，所以C选项正确；
D、原式= 22，所以D选项错误．
故选C．
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得： 12+22= 5，
∴数轴上点A所表示的数是 5−1，
∴a= 5−1；故选：B．
由勾股定理得出 12+22= 5，得出数轴上点A所表示的数是 5−1，即可得出结果．
本题考查了勾股定理、实数与数轴的关系；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】【解答】
解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不是；
当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不是；
当三个内角度数依次是88°，92°，92°，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角，故C错，D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．
故选：D．
【分析】
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，根据所给的三个角的度数可以求出第四个角，然后根据平行四边形的判定方法验证即可．
此题主要考查平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．注意角的对应的位置关系，并不是有两组角相等的四边形就是平行四边形，易错选C．
6.【答案】B
【解析】解：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立；
②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；
③相等的两个实数的平方也相等的逆命题是两个实数的平方相等，这两个数相等，不成立；
故选：B．
写出各个命题的逆命题，判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别判断即可．
【解答】
解：A、当AE=CF，无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BE=FD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项错误；
C、当BF=ED，
∵BE=BF−EF，DF=ED−EF，
∴BE=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项错误；
D、当∠1=∠2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
∠1=∠2AB=CD∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，故此选项错误，
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：梯子顶端距离墙角地距离为 252−72=24m，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为 252−(24−4)2=15m，
15m−7m=8m．
故选：B．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
9.【答案】B
【解析】解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8−3<边长<8+3，即5<边长<11．
只有选项B在此范围内，故选B．
平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断．
本题主要考查了平行四边形对角线互相平分这一性质，此类求三角形第三边的范围的题目，解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，再求解．
10.【答案】B
【解析】解：在△BCD中，∠ADB=∠C+∠DBC，
∵∠ADB=2∠C，
∴∠C=∠DBC，
∴DC=DB，
∴△DBC是等腰三角形，故①正确；
无法说明∠C=30°，故②错误；
连接PD，则S△BCD=12BD⋅PE+12DC⋅PF=12DC⋅AB，
∴PE+PF=AB，故③正确；
过点B作BG//AC交FP的延长线于G，
则∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，
∴∠PBG=∠DBC，四边形ABGF是矩形，
∴AF=BG，
在△BPE和△BPG中，
∠PBG=∠DBC∠G=∠BEFPB=PB，
∴△BPE≌△BPG(AAS)，
∴BG=BE，
∴AF=BE，
在Rt△PBE中，PE2+BE2=BP2，
即PE2+AF2=BP2，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：B．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADB=∠C+∠DBC，然后求出∠C=∠DBC，再根据等角对等边可得DC=DB，从而判断①正确；没有条件说明∠C的度数，判断出②错误；连接PD，利用△BCD的面积列式求解即可得到PE+PF=AB，判断出③正确；过点B作BG//AC交FP的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，然后求出四边形ABGF是矩形，根据矩形的对边相等可得AF=BG，根据然后利用“角角边”证明△BPE和△BPG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=BE，再利用勾股定理列式求解即可判断④正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出矩形和全等三角形是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解：原式=(− 5)2=5．
故答案为：5．
根据二次根式的基本性质进行解答即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
12.【答案】144
【解析】解：如图，根据勾股定理我们可以得出：
a2+b2=c2
a2=25，c2=169
b2=169−25=144
因此B的面积是144．
故答案为：144．
在本题中，外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．
本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用．只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了．
13.【答案】1
【解析】【分析】
本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．依据同类二次根式的定义可知b2+2b+2=3+2b，从而可求得b的值．
【解答】
解：∵最简二次根式 b2+2b+2与 3+2b是同类根式，
∴b2+2b+2=3+2b．
整理得：b2=1．
解得：b=±1.
当b=−1时， b2+2b+2=1， 3+2b=1不合题意．
故答案为1．
14.【答案】50°
【解析】解：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，
∴∠A=50°，
∴∠C=50°，
故答案为50°
证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题；
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
15.【答案】5 13
【解析】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
在直角△A′DB中，由勾股定理得
A′B= A′D2+DB2=5 13 221(cm)．
故答案为：5 13．
将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
16.【答案】解：(1)∵x=12( 5+ 3)，y=12( 5− 3)，
∴x+y= 5，xy=12，
∴xy+yx=x2+y2xy
=(x+y)2−2xyxy
=( 5)2−2×1212
=5−112
=8；
(2)∵1−8x≥0且8x−1≥0，
∴x=18，
当x=18时，y=12，
则原式= x2+y2+2xyxy− x2+y2−2xyxy
= (x+y)2xy− (x−y)2xy
=x+y xy−y−x xy
=2x xy
=2×18 18×12
=1414
=1．
【解析】(1)根据x、y计算出x+y、xy的值，再将其代入到原式变形后的式子(x+y)2−2xyxy即可；
(2)二次根式的意义得出x的值，继而可得y的值，代入到原式变形后的式子2x xy即可得．
本题主要考查二次根式的化简求值及二次根式有意义的条件，熟练根据二次根式的性质及运算法则化简各式是关键．
17.【答案】解：(1) 27× 50÷ 6
=3 3×5 2÷ 6
=15 6÷ 6
=15；
(2)3 48−9 13+3 12
=12 3−9×13 3+6 3
=12 3−3 3+6 3
=15 3．
【解析】(1)利用二次根式的乘法法则求值即可；
(2)先化简各二次根式，再合并．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解决本题的关键．
18.【答案】2
【解析】解：(1)AB= 42+22=2 5，BC= 22+12= 5，AC= 32+42=5，
△ABC的周长=2 5+ 5+5=3 5+5，
(2)∵AC2=25，AB2=20，BC2=5，
∴AC2=AB2+BC2，
∴∠ABC=90°．
(3)过B作BP⊥AC，
∵△ABC的面积=12AB⋅BC=12AC⋅BP，
即12×2 5× 5=12×5⋅BP，
解得BP=2，
故答案为：2
(1)运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长．
(2)运用勾股定理的逆定理求得AC2=AB2+BC2，得出∠ABC=90°．
(3)过B作BP⊥AC，解答即可．
本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵D是AB的中点，G是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG//BC，DG=12BC，
同理得：EF是△OBC的中位线，
∴EF//BC，EF=12BC，
∴DG=EF，DG//EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
(2)∵BE：CF：DG=2：3： 13，
∴设BE=2x，则CF=3x，DG= 13x，
∴OE=2x，OF=3x，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF= 13x，
∴OE2+OF2=EF2，
∴∠EOF=90°，
即∠BOC=90°．
【解析】(1)由三角形中位线定理得DG//BC，DG=12BC，EF//BC，EF=12BC，则DG=BC，DE//BC，即可得出结论；
(2)设BE=2x，CF=3x，DG= 13x，再证OE2+OF2=EF2，然后根据勾股定理的逆定理得∠EOF=90°，即可得出结论．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】200 60 80 144 160
【解析】解：(1)20÷10%=200(人)，
即在这次调查中一共抽查了200名学生，
故答案为：200；
(2)x=200×30%=60，
y=200−20−60−40=80，
故答案为：60，80；
(3)360×80200=144°，
C部分所对应的扇形的圆心角是144度，
故答案为：144；
(4)800×40200=160(人)．
九年级学生一年阅读课外书20本以上的学生人数大约为160人．
故答案为：160．
(1)利用A部分的人数÷A部分人数所占百分比即可算出本次问卷调查共抽取的学生数；
(2)x=抽查的学生总数×B部分的学生所占百分比，y=抽查的学生总数−A部分的人数−B部分的人数−D部分的人数；
(3)C部分所对应的扇形的圆心角的度数=360°×所占百分比；
(4)利用样本估计总体的方法，用800人×调查的学生中一年阅读课外书20本以上的学生人数所占百分比．
此题主要考查了扇形统计图、频数分布表以及样本估计总体，关键是正确从扇形统计图和表中得到所用信息．
21.【答案】解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得：AC=5，
又AD=12，CD=13，
∴AD2=122=144，AD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ACD为直角三角形，∠CAD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅AD=36．
故试验田面积为36m2．
【解析】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠BCD)=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BE⊥CF．
(2)解：AF=DE，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得CD=DF，
又∵AB=CD，
∴AE=DF，
∴AF=DE．
【解析】(1)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义推出∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠BCD)=90°，即可得出结论；
(2)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义推出AB=AE=CD=DF，从而推出结论．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟记平行四边形的性质，角平分线的定义是解题的关键．
23.【答案】解：知识运用：
(2,32)；
能力拓展：
解：有三种情况：①当AB为对角线时，
∵A(−1,2)，B(3,4)，C(1,4)，
∴BC=2，
∴AD=2，
∴D点坐标为(1,2)；
②当BC为对角线时，
∵A(−1,2)，B(3,4)，C(1,4)，
∴D点坐标为(5,6)．
③当AC为对角线时，
∵A(−1,2)，B(3,4)，C(1,4)，
∴D点坐标为：(−3,2)，
综上所述，符合要求的点D的坐标为(1,2)或(−3,2)或(5,6)．
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形性质等相关知识，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法．
知识运用：由矩形的性质得出OM=EM，M为OE的中点，由线段中点坐标公式即可得出结果；
能力拓展：有三种情况：①当AB为对角线时，②当BC为对角线时，③当AC为对角线时，由平行四边形的性质即可得出结果．
【解答】
知识运用：
解：∵矩形ONEF的对角线相交于点M，
∴OM=EM，M为OE的中点，
∵O为坐标原点，点E的坐标为(4,3)，
∴点M的坐标为(0+42,0+32)，
即点M的坐标为(2,32)；
能力拓展：见答案．
24.【答案】解：(1)①AP=BQ，理由如下：
由旋转得：CP=CQ，即CD=CE，
∵AC=BC，
∴CD+AD=CE+BE，
∴AD=BE，
即AP=BQ；
②①中结论仍成立，理由如下：
由旋转得：CP=CQ，∠PCQ=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACP+∠PCB=90°，
∵∠PCQ=90°，
∴∠PCB+∠BCQ=90°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵AC=BC，∠ACP=∠BCQ，C=CQ，
∴△APC≌△BQC(SAS)，
∴AP=BQ；
(2)解：如图3，连接AP，
由旋转得：CP=CQ，∠PCQ=90°，
∴∠ACP+∠ACQ=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACQ+∠QCB=90°，
∴∠ACP=∠QCB，
∵AC=BC，∠ACP=∠QCB，CP=CQ，
∴△APC≌△BQC(SAS)，
∴AP=BQ，
∴当AP取最小值时，BQ的值最小，
当AP⊥DE时，AP的值最小，
∵∠CDE=30°，
∴∠ADP=30°，
在Rt△APD中，
sin∠ADP=APAD=12，
∴AD=2AP，
在Rt△CDE中，tan∠CDE=CECD= 33，sin∠CDE=CEDE=12，
∴CDCE= 3，
∵CD=2 3，AD=2，
∴CDAD= 3，
∴CE=AD，
∴2APDE=12，
∴APDE=14，
∴BQDE=14．
【解析】(1)①利用等式的性质可得答案；
②利用SAS证明△APC≌△BQC，得AP=BQ；
(2)连接AP，同理可证△APC≌△BQC，得AP=BQ，当AP⊥DE时，AP的值最小，再利用含30°角的直角三角形的性质进行线段之间的转化，从而解决问题．
本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，证明△APC≌△BQC是解题的关键．课外阅读情况
A
B
C
D
频数
20
x
y
40
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