湖北省荆门市京山市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质以及有意义的条件是解题的关键．
2. 下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A. 3，3，5B. 4，5，6C. 6，8，10D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
故选：C．
3. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得，，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴较小的内角为，
故选： ．
4. 化简的结果是( )
A. 5B. -5C. ±5D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】根据开平方的运算法则计算即可．
【详解】解：==5，
故选：A．
【点睛】本题考查了开平方运算，关键是掌握基本的运算法则．
5. 矩形ABCD中,AB=3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质推出AC=BD，OA=OC=AC，OD=OB=BD，求出OA=OB，求出等边三角形AOB，推出OB=AB=3，即可求出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，OD=OB=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=3，
∵OB=BD，
∴BD=6．
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式满足的条件是解题关键．根据最简二次根式的被开方数是整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可．
【详解】解：A、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、二次根式在分母位置，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意，
故选：D
7. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD平分∠BAC，AD⊥BF于点D，点E为BC的中点，连接DE，则DE的长是（ ）
A. 0.5B. 0.75C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先证明再证明是的中位线，从而可得结论.
【详解】解： AD平分∠BAC，AD⊥BF于点D，AB＝3，AC＝5，





点E为BC的中点，
故选：
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，三角形中位线的性质，掌握三角形的中位线定理是解题的关键.
8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A. 9B. 6C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
或（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
9. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
【详解】①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形．
故选B．
10. 如图，将矩形沿折叠后点与重合.若原矩形的长宽之比为,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据折叠的性质得到ED′＝BE，∠D′EF＝∠BEF，根据平行线的性质得到∠D′EF＝∠EFB，求得BE＝BF，设AD′＝BC′＝3x，AB＝x，根据勾股定理得到BE＝x，于是得到结论．
【详解】如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合，
∴ED′＝BE，∠D′EF＝∠BEF，
∵AD′∥BC′，
∴∠D′EF＝∠EFB，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
∵原矩形的长宽之比为3：1，
∴设AD′＝BC′＝3x，AB＝x，
∴AE＝3x−ED′＝3x−BE，
∵AE2＋AB2＝BE2，
∴（3x−BE）2＋x2＝BE2，
解得：BE＝x，
∴BF＝BE＝x，AE＝3x−BE=x
∴＝=，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 写出一个比3小的正无理数______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了实数大小的比较，根据实数大小比较法则计算即可，解题的关键是理解正无理数的概念．
【详解】解：是无理数，且，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如图，在菱形中，，则菱形的周长是_____________.
【答案】16
【解析】
【分析】由四边形是菱形，即可得，又由，即可证得是等边三角形，即可求得菱形的边长，继而求得菱形的周长．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴ ，
∴菱形的周长是：．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了菱形性质，解题关键是得出是等边三角形，求出菱形的边长．
13. 如图，从一个大正方形裁去面积为15cm²和24cm²的两个小正方形，则留下的部分的面积为____________cm².
【答案】
【解析】
【分析】先求出两个小正方形的边长，再根据长方形的面积公式即可得．
【详解】由题意得，两个小正方形的边长分别为，
由长方形的面积公式得：留下部分的面积为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的几何应用，依据正方形的面积求出长方形的长与宽是解题关键．
14. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可．
【详解】解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C，
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴S正方形B+4=18-6，
∴S正方形B=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
15. 如图，在中，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中：①；②；③；④．一定成立的是______．（只填序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，即可判断①结论；延长、交于点，证明，得到，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可判断②结论；根据等高三角形面积比等于底边之比，即可判断③结论；设，根据等边对等角的性质，三角形内角和定理表示出各角，即可判断④结论．
【详解】解：在中，是的中点，
，，
，,
,
，①结论成立；
如图，延长、交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
,
，
，
，
，
在中，点是斜边的中点，
，②结论成立；
，
,
，
,
，
，③结论不成立；
设，
，
,
，，
，
，
，
，④结论成立；
一定成立的是①②④，
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等高三角形的面积，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识点，找出角度之间的数量关系是解题关键．
三、解答题（本题共8小题，共72分）
16. 计算
【答案】（1）；（2）15
【解析】
【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算．
【详解】解：（1）原式=
=；
（2）原式=
=
=15
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17. 如图，小明为了测得学校旗杆的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面点，此时，点到杆底点距离，他又将旗绳拉直到杆底部点，此时，绳子多出一截，量得多出部分长度为，请你帮他计算出旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为米．
【解析】
【分析】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，根据题意列出已知条件，再根据勾股定理求得旗杆的高度，从实际问题中整理出直角三角形模型是解题的关键．
【详解】解：设旗杆的高度为米，则，
在中，由勾股定理可得：
，
整理得：，
解得：，
答：旗杆的高度为米．
18. 如图，在中，点、分别是、的中点． 求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．在中，根据平行四边形的性质可得，，根据中点的定义得出，根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形．
【详解】证明：在中，，．
点，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形．
19. 如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建两条小路和．
（1）求和的长；
（2）求菱形花坛的面积．
【答案】（1）；
（2）菱形花坛的面积是．
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质是解题的关键．
（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得菱形的对角线平分一组对角线可得根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得再利用勾股定理列式求出，然后求出即可；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【小问1详解】
解：∵花坛是菱形，
，
中，
，
．
【小问2详解】
解：
∴菱形花坛的面积是．
20. 如图，每个小正方形的边长都为1

（1）求四边形面积与周长；
（2）是直角吗？
【答案】（1），
（2）是，理由如下
【解析】
【分析】（1）用四边形所在的矩形减去周围三角形面积得出答案，利用勾股定理可以得出四边形的周长；
（2）连接，求得的长，根据、、三边长之间的关系可得出结果．
【小问1详解】
解：四边形的面积为：，
根据勾股定理可得：，
，
，
，
四边形的周长为：；
小问2详解】
解：是直角，理由如下：
连接如图所示：

由（1）可得，
，
根据勾股定理得，
可以得到，
故是直角．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理得逆定理，正确应用勾股定理是解题的关键．
21. 已知正六边形，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中，画出一个以BD为边的等边三角形；
（2）在图2中，画出一个以CD为边的矩形；
（3）在图3中，画出一个以BC为边的菱形；
（4）在图4中，画出一个以AB为边的平行四边形（非矩形、非菱形）．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）见解析；
（4）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图，正六边形的性质，掌握正六边形的性质是解题的关键．
（1）连接，利用正六形的性质可得为等边三角形；
（2）连接，利用正六形的性质可得四边形为矩形；
（3）连接交于点，四边形为菱形；
（4）延长交于点，连接，四边形为平行四边形．
【小问1详解】
解：连接，如图1，
在正六边形中，，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴就是所求的等边三角形．
【小问2详解】
解：连接，如图2，
在正六边形中，，，，
∴，
∴，
同理可得；，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴四边形为所求的矩形．
【小问3详解】
解：连接交于点，如图3，
∵多边形正六边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵
∴四边形为菱形，
∴四边形为所求的菱形．
【小问4详解】
解：延长交于点，连接，如图：
由（2）知，正六边形中，，
即，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形为所求的平行四边形．
22. 阅读材料：
我国南宋数学家秦九韶（约1202—1261）在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S=．①（其中为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长）．而古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在《度量》中也有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长，为半周长，即）．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”．
解答问题：
（1）若在中，已知，试分别运用公式①和公式②计算的面积；
（2）请你写出由公式①推导出公式②的过程；
（3）计算（1）中的BC边上的高．
【答案】（1）的面积为；
（2）见解析； （3）的边上的高为．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，三角形面积的海伦公式的用法，培养了学生的推理和计算能力．
（1）代入计算即可；
（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算；
（3）设的边上的高为，得到，即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，即，
∴公式①：
，
公式②：，
．
【小问2详解】
证明：
，
∵，
∴原式
，
∴．
【小问3详解】
解：设的边上的高为，
∴，
∵，
∴，
∴的边上的高为．
23. 已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上．
（1）如图1，连接．
①请你探究与之间的关系，并证明你的结论；
②求证：．
（2）如图2，若，点F是的中点，求的长．
【答案】（1）①，理由见解析；②证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
（1）先得到，再证明即可得出答案；
由可证，可得，由勾股定理可求解；
（2）由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得可求的长，由勾股定理可求的长．
【小问1详解】
解：①，理由如下：
∵，
∴，
又∵
∴，
∴；
②∵和都是等腰直角三角形， ，
∴，
，
∴，
在和中，
，
，
是直角三角形，
．
【小问2详解】
解：过点作于，如图：
∵点是的中点，
是等腰直角三角形，
．
24. 如图，在中，的平分线交边于点，交边的延长线于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若是的中点，分别连结，求证：；
（3）如图3，若，四边形为平行四边形，分别连结，试判断的形状并证明．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）是等边三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由四边形是平行四边形得，所以， ， 由是的平分线得，所以， 得；
（2）首先证明四边形是矩形，得，然后证明和都是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，可以证明 ，得，然后利用角的和差即可解决问题；
（3）延长交于点，连接，可证得四边形是平行四边形，四边形是菱形，推出和都是等边三角形，再证明，得出 ，进而证得结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴， ，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形， ，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：是等边三角形， 理由如下：
如图， 延长交于点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．