湖北省荆门市京山市2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份湖北省荆门市京山市2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省荆门市京山市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15
3．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（　　）

A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
4．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（　　）
A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位
B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位
C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位
D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
5．某区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手，加强对教师队伍建设的投入，计划从今年起三年共投入3640万元，已知今年已投入1000万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．1000（1+x）2＝3640
B．1000（x2+1）＝3640
C．1000+1000x+1000x2＝3640
D．1000（1+x）+1000（x+1）2＝2640
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（　　）

A．32° B．64° C．77° D．87°
8．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜ B．k＜且k≠0
C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
9．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
10．如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn﹣2m的值是（　　）
A．16 B．14 C．10 D．6
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．关于x的一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是2，则另一个根为　 　．
12．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是：　 　．
13．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　 　小分支．
14．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2＝b﹣bx的解是　 　．
15．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是　 　．

16．下列关于二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数）的结论：
①该函数的图象与函数y＝﹣x2+2mx的图象的对称轴相同；
②该函数的图象与x轴有交点时，m＞1；
③该函数的图象的顶点在函数y＝﹣x2+1的图象上；
④点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的图象上．若x1＜x2，x1+x2＜2m，则y1＜y2．
其中正确的结论是　 　（填写序号）．
三、解答题（本题共8小题，共72分）
17．解方程：
（1）x2﹣8x+1＝0；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
18．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上．求证：DC平分∠ADE．

19．如图：要设计一本书的封面，封面长40cm，宽30cm．正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周边衬所占面积是封面面积的，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求上下边衬的宽．

20．如图，利用函数y＝x2﹣4x+3的图象，直接回答：
（1）方程x2﹣4x+3＝0的解是　 　；
（2）当x　 　时，y随x的增大而减小；
（3）当x满足　 　时，函数值大于0；
（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是　 　．

21．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．
22．如图，⊙O的半径为1，A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状：　 　；
（2）试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论．

23．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
24．已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a与x轴交于A、B两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．
（1）若S△ABC＝5，求a的值；
（2）若a＝1，过点P作直线垂直于x轴，交BC于点Q，求线段PQ的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）直线AP交y轴于点M，直线BP交y轴于点N，求的值．



参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
解：选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A、B、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
解：∵x2﹣8x﹣1＝0，
∴x2﹣8x＝1，
∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
3．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（　　）

A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，
连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，
解得x＝13，
CD＝2x＝2×13＝26（寸）．
故选：D．

【点评】此题是一道古代问题，其实质是垂径定理和勾股定理．通过此题，可知我国古代的数学已发展到很高的水平．
4．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（　　）
A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位
B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位
C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位
D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
【分析】先利用顶点式得到抛物线y＝（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况．
解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），而点（3，﹣2）先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点（0，0），
抛物线y＝（x﹣3）2﹣2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线y＝x2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．某区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手，加强对教师队伍建设的投入，计划从今年起三年共投入3640万元，已知今年已投入1000万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．1000（1+x）2＝3640
B．1000（x2+1）＝3640
C．1000+1000x+1000x2＝3640
D．1000（1+x）+1000（x+1）2＝2640
【分析】根据今年投资额+明年投资额+后年投资额＝3640可得方程．
解：根据题意，可得方程：1000+1000（1+x）+1000（x+1）2＝3640，
即1000（1+x）+1000（x+1）2＝2640，
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据题意得到相等关系．
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（　　）

A．32° B．64° C．77° D．87°
【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC＝AC′，又因为∠CAC′＝90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．
解：由旋转的性质可知，AC＝AC′，
∵∠CAC′＝90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A＝45°．
∵∠CC′B′＝32°，
∴∠C′B′A＝∠C′CA+∠CC′B′＝45°+32°＝77°，
∵∠B＝∠C′B′A，
∴∠B＝77°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
8．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜ B．k＜且k≠0
C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，以及二次根式有意义的条件，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，Δ＝2k+1﹣4k＞0，
∴≤k＜，且k≠0．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了一元一次不等式的解法二次根式有意义的条件．
9．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】分别计算出自变量为﹣2、1、3对应的函数值，根据a＞0即可得到y1、y2、y3的大小关系．
解：当x＝﹣2时，y1＝4a+4a+1＝8a+1，
当x＝1时，y2＝a﹣2a+1＝﹣a+1，
当x＝3时，y3＝9a﹣6a+1＝3a+1，
∵a＞0，
∴8a＞3a＞﹣a，
∴8a+1＞3a+1＞﹣a+1，
∴y1＞y3＞y2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
10．如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn﹣2m的值是（　　）
A．16 B．14 C．10 D．6
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到n2+n＝4，即n2＝﹣n+4，依此可得2n2﹣mn﹣2m＝2（﹣n+4）﹣mn﹣2m＝﹣2（m+n）﹣mn+8，然后根据根与系数的关系得到m+n＝﹣1，mn＝﹣4，再利用整体代入的方法计算．
解：∵n是一元二次方程x2+x＝4的根，
∴n2+n＝4，即n2＝﹣n+4，
∵m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣4，
∴2n2﹣mn﹣2m＝2（﹣n+4）﹣mn﹣2m＝﹣2（m+n）﹣mn+8＝2+4+8＝14．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．关于x的一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是2，则另一个根为　﹣2　．
【分析】已知方程的一次项系数为0，利用两根之和公式即可求出另一根的值．
解：设方程的另一根为β，则2+β＝0；
解得β＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．
12．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是：　（﹣3，2）　．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　9个　小分支．
【分析】等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目＝91，把相关数值代入计算即可．
解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91，
解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去），
∴每个支干长出9个小分支．
故答案为：9个．
【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键．
14．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2＝b﹣bx的解是　x1＝1，x2＝5　．
【分析】利用抛物线的对称性得到直线x＝2，即﹣＝2，所以b＝﹣4a，然后把b＝﹣4a代入方程a（x﹣1）2＝b﹣bx得到（x﹣1）2﹣4（x﹣1）＝0，然后解方程即可．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，即﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵a（x﹣1）2＝b﹣bx，
∴a（x﹣1）2＝﹣b（x﹣1）＝4a（x﹣1），
∴（x﹣1）2﹣4（x﹣1）＝0，解得x1＝1，x2＝5，
即关于x的一元二次方程a（x﹣1）2＝b﹣bx的解为x1＝1，x2＝5．
故答案为x1＝1，x2＝5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
15．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是　60°或120°　．

【分析】连接OB，则AB＝OA＝OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC＝60°，∠AD′C＝120°，据此可得出结论．
解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB＝OA＝OB＝BC，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，∠AD′C＝120°．
故答案为：60°或120°．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
16．下列关于二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数）的结论：
①该函数的图象与函数y＝﹣x2+2mx的图象的对称轴相同；
②该函数的图象与x轴有交点时，m＞1；
③该函数的图象的顶点在函数y＝﹣x2+1的图象上；
④点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的图象上．若x1＜x2，x1+x2＜2m，则y1＜y2．
其中正确的结论是　①③　（填写序号）．
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
解：①∵二次函数y＝x2﹣2mx+1的对称轴为直线x＝﹣＝m，二次函数y＝﹣x2+2mx的对称轴为直线x＝﹣＝m，故结论①正确；
②∵函数的图象与x轴有交点，则△＝（﹣2m）2﹣4×1×1＝4m2﹣4≥0，
∴m≥1或m≤﹣1，故结论②错误；
③∵y＝x2﹣2mx+1＝（x﹣m）2+1﹣m2，
∴顶点为（m，﹣m2+1），
∴该函数的图象的顶点在函数y＝﹣x2+1的图象上，故结论③正确；
④∵x1+x2＜2m，
∴＜m，
∵二次函数y＝x2﹣2mx+1的对称轴为直线x＝m
∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离
∵x1＜x2，且a＝1＞0
∴y1＞y2
故结论④错误；
故答案为①③．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共8小题，共72分）
17．解方程：
（1）x2﹣8x+1＝0；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
解：（1）∵x2﹣8x+1＝0，
∴x2﹣8x＝﹣1，
则x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15，
∴x﹣4＝±，
∴x1＝4+，x2＝4﹣；
（2）∵x（2x﹣5）＝4x﹣10，
∴x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
则（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
∴2x﹣5＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上．求证：DC平分∠ADE．

【分析】利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】证明：由旋转可知，△ABC≌△DEC，
∴∠A＝∠CDE，AC＝DC，
∴∠A＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠CDE，即DC平分∠ADE．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．如图：要设计一本书的封面，封面长40cm，宽30cm．正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周边衬所占面积是封面面积的，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求上下边衬的宽．

【分析】由条件知道中间矩形的长宽比是4：3，设中间的矩形的长为4x，宽为3x．根据封面的面积关系建立方程求出其解即可．
解：∵封面长40cm，宽30cm，
∴封面的长宽比为：4：3．
设中间的矩形的长为4xcm，宽为3x次cm，由题意，得
40×30﹣4x×3x＝40×30×，
解得：x＝±，
∵x＝﹣不符合题意，舍去，
∴x＝．
∴上下边衬为：（40﹣4×）÷2＝5cm．
答：上下边衬的宽为5cm．
【点评】本题考查了比例问题的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据矩形的面积公式建立方程是关键．
20．如图，利用函数y＝x2﹣4x+3的图象，直接回答：
（1）方程x2﹣4x+3＝0的解是　x1＝1，x2＝3　；
（2）当x　＜2　时，y随x的增大而减小；
（3）当x满足　x＜1或x＞3　时，函数值大于0；
（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是　﹣1≤y＜8　．

【分析】（1）根据函数图象，可以得到方程x2﹣4x+3＝0的解；
（2）根据函数图象，可以写出当x为何值时y随x的增大而减小；
（3）根据函数图象可以写出，当x为何值时，函数值大于0；
（4）根据函数图象和二次函数的性质，可以得到当0＜x＜5时，y的取值范围．
解：（1）由图象可得，
当y＝0时，x＝1或x＝3，
故方程x2﹣4x+3＝0的解是x1＝1，x2＝3，
故答案为：x1＝1，x2＝3；
（2）由图象可得，
当y＝0时，x＜＝2时，y随x的增大而减小，
故答案为：＜2；
（3）由图象可得，
当x＜1或x＞3时，函数值大于0，
故答案为：x＜1或x＞3；
（4）由图象可得，
函数y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线x＝＝2，当x＝2时，该函数取得最小值﹣1，
∴当0＜x＜5时，x＝2取得最小值﹣1，x＝5时y的值为8，
即当0＜x＜5时，y的取值范围是﹣1≤y＜8，
故答案为：﹣1≤y＜8．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝1﹣2k、x1•x2＝k2﹣1，将其代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1•x2中，解之即可得出k的值．
解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0，
解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．

（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝1﹣2k，x1•x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1•x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）＝16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12＝0，
解得：k＝﹣2或k＝6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出Δ＝﹣4k+5≥0；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22＝16+x1x2，找出关于k的一元二次方程．
22．如图，⊙O的半径为1，A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状：　等边三角形　；
（2）试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得．
解：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）在PC上截取PD＝AP，如图，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．
又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝AP，
∴CP＝BP+AP．

【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．
23．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）理解每个房间的房价每增加x元，则减少房间间，则可以得到y与x之间的关系；
（2）每个房间订住后每间的利润是房价减去20元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润；
（3）求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及x的范围即可求解．
解：（1）由题意得：
y＝50﹣，且10≤x≤160，且x为10的正整数倍．
（2）w＝（180﹣20+x）（50﹣），即w＝﹣x2+34x+8000；
（3）w＝﹣x2+34x+8000＝﹣（x﹣170）2+10890
抛物线的对称轴是：直线x＝170，抛物线的开口向下，当x＜170时，w随x的增大而增大，
但10≤x≤160，因而当x＝160时，即房价是340元时，利润最大，
此时一天订住的房间数是：50﹣＝34间，
最大利润是：34×（340﹣20）＝10880元．
答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元．
【点评】本题是二次函数的应用，特别容易出现的错误是在求最值时不考虑x的范围，直接求顶点坐标．
24．已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a与x轴交于A、B两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．
（1）若S△ABC＝5，求a的值；
（2）若a＝1，过点P作直线垂直于x轴，交BC于点Q，求线段PQ的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）直线AP交y轴于点M，直线BP交y轴于点N，求的值．

【分析】（1）S△ABC＝×AB×OC＝×5×4a＝5，解得：a＝，即可求解；
（2）设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点Q（x，x﹣4），则PQ＝x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣x2+4x，即可求解；
（3）直线PB的表达式为：y＝a（m﹣4）x+a（m﹣4），故OM＝﹣a（m﹣4），同理ON＝4a（m+1），即可求解．
解：y＝ax2﹣3ax﹣4a与x轴交于AB两点（A左B右），与y轴交于点C，则点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣4a），
（1）S△ABC＝×AB×OC＝×5×4a＝5，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）a＝1，抛物线表达式为：y＝x2﹣3x﹣4，
将点B（4，0）、C（0，﹣4）的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝x﹣4，
设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点Q（x，x﹣4），

则PQ＝x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故PQ有最大值4，此时x＝2，
∴点P（2，﹣6）；
（3）点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣4a），
设点P（m，am2﹣3am﹣4a），
将点P、B的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线PB的表达式为：y＝a（m﹣4）x+a（m﹣4），
故OM＝﹣a（m﹣4），
同理ON＝4a（m+1），
则＝＝5．
【点评】主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．