2022-2023学年湖北省荆门市京山市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省荆门市京山市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若二次根式 a−1在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )
A. a>1B. a≥1C. a=1D. a≤1
2. 如图，一根木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断之前的高度是( )
A. 5m
B. 6m
C. 7m
D. 8m
3. 下列各式中属于最简二次根式的是( )
A. 12B. 1.2C. 30D. 12
4. 在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是( )
A. 1：2：3：4B. 1：2：2：1C. 1：1：2：2D. 2：1：2：1
5. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为( )
A. 10°
B. 12.5°
C. 15°
D. 20°
6. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H.则DH=( )
A. 6
B. 245
C. 485
D. 5
7. 已知 a2=1，(− 2)2=b，则 (a+b)2=( )
A. 1B. 3C. 1或3D. −1或−3
8. 如图，圆柱的底面半径是40，高为30π，一只蚂蚁在圆柱的侧面爬行，请问蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是( )
A. 50πB. 50C. 500πD. 500
9. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )
A. 1B. 2021C. 2020D. 2019
10. 如图，在矩形ABCD中，AD= 2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，过D作AE的垂线，垂足为点H，连接BH并延长，交CD于点F，连接DE交BF于点O，则下列结论：①△ABE≌△AHD；②∠AED=∠CED；③BH=FH；④CD=FH；⑤BC−CF=HE，其中正确的有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知n是正整数， 24n是整数，求n的最小值为______．
12. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC+BD=36，AB=11，则△OCD的周长为______ ．
13. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=6，AD=8，则四边形ABOM的周长为______．
14. 若a+1a= 10，则a−1a= ______ ．
15. 如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN.若∠NEC=36°，则∠FMN=______°.
16. 如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)( 45+ 18)−( 8− 125)；
(2)2 12× 34÷5 2．
18. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AD、BC分别相交于点E、F，求证：OE=OF．
19. (本小题8.0分)
已知x= 3+1，y= 3−1，求下列各式的值：
(1)x2+2xy+y2；
(2)x2−y2．
20. (本小题8.0分)
我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”(注：丈，尺是长度单位，1丈=10尺，1尺=13米)这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是多少米？请你用所学知识解答这个问题．
21. (本小题8.0分)
仅用无刻度直尺完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.保留作图痕迹，不写作法．

(1)如图1，已知四边形ABCD为平行四边形，在AD上画点M，使直线MP平分平行四边形ABCD的周长和面积；
(2)如图2，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请你在图中画出∠AOB的平分线；
(3)如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，点E为AD上一点，请在AB上画点G，使AG=AE；
(4)如图4，已知四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，∠ABC=90°，连接BD，点P为BD上的一点，请以AP为边画一个菱形．
22. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=5 2．
(1)求△BCD的面积；
(2)求BD的长．
23. (本小题10.0分)
如图1，在矩形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A落在BD上的M点处，点F在BC上，将△CDF沿DF折叠，使点C落在BD上的N处．
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若AB=6.BC=8，求FN的长；
(3)如图2，若点E是AD的中点，点G是CD的中点，连BG，将△ABE沿BE折叠，使点A落在BG上的H点处，则ABAD的值是______ (请直接写出结果)．
24. (本小题12.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=20cm，BC=26cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AD向点D运动；同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿BC向点B运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设P、Q运动时间为t秒，回答下列问题：

(1)求t为何值时，四边形PQBA是矩形？
(2)求t为何值时，PQ=CD？
(3)是否存在t的值，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件可得a−1≥0，再解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：a−1≥0，
解得：a≥1，
故选：B．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
【解答】
∵一棵垂直于地面的大树在离地面3m处折断，树的顶端落在离树杆底部4m处，
∴折断的部分长为 32+42=5m，
∴折断前高度为5+3=8m．
故选D．
3.【答案】C
【解析】解：A、 12=2 3，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 1.2= 305，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 30不能化简，是最简二次根式，符合题意；
D、 12= 22，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：
(1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)，如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，
即∠A和∠C的数相等，∠B和∠D的数相等，且∠B+∠C=∠A+∠D，
故选D．
根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，根据以上结论即可选出答案．
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
又∵△ADE是正三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∴△ABE是等腰三角形，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°．
故选：C．
由于四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形，由此可以得到AB=AE，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解．
此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，同时也利用了三角形的内角和，解题首先利用正方形和等边三角形的性质证明等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB= 32+42=5，
则AD=5，
∵S菱形ABCD=12⋅AC⋅BD，
S菱形ABCD=DH⋅AB，
∴DH⋅5=12×6×8，
∴DH=245．
故选：B．
先根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB=5，然后根据菱形的面积公式得到12⋅AC⋅BD=DH⋅AB，再解关于DH的方程．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
7.【答案】C
【解析】解：∵ a2=1，(− 2)2=b，
∴|a|=1，b=2，
∴a=±1，b=2，
当a=1，b=2时， (a+b)2=|a+b|=|1+2|=3；
当a=−1，b=2时， (a+b)2=|a+b|=|−1+2|=1；
故选：C．
由 a2=1，(− 2)2=b，求出a=±1，b=2，再由 (a+b)2=|a+b|即可得到答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，
则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
AC=12×2×40π=40π，∠C=90°，BC=30π，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2=50π．
故选：A．
沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．
本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出AB的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．
9.【答案】B
【解析】解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，
故选：B．
根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=DC，AD//BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE=∠DAH=45°，
∴△ABE和△ADH是等腰直角三角形，
∴AE= 2AB，AD= 2AH，
∵AD= 2AB=AH，
∴AD=AE，AB=AH=DH=DC，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠AED=∠CED，
∴②正确；
在△ABE和△AHD中，
∠BAE=∠DAE∠ABE=∠AHD=90°AE=AD，
∴△ABE≌△AHD(AAS)，故①正确；
∴BE=DH，
∵AB=AH，
∵∠AHB=12(180°−45°)=67.5°，
∴∠OHE=∠AHB=67.5°，
∴∠DHO=90°−67.5°=22.5°，
∵∠EBH=90°−67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
∠EBH=∠OHDBE=DH∠AEB=∠HDF=45°，
∴△BEH≌△HDF(ASA)，
∴BH=HF，故③正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴CD≠HF，故④错误；
过H作HK⊥BC于K，

可知KC=12BC，HK=KE，HE=EC，
∴12BC=KE+EC，
又KE=HK=12FC，HE=EC，
∴12BC=HK+HE，BC=2HK+2HE=FC+2HE，故⑤不正确；
综上所示，正确的有：①②③，
故选：B．
根据矩形的性质得到∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=DC，AD//BC，求得∠ADE=∠CED，推出△ABE和△ADH是等腰直角三角形，求得AE= 2AB，AD= 2AH，于是得到∠AED=∠CED，可证结论②；根据全等三角形的判定定理得到△ABE≌△AHD(AAS)，可证结论①；由全等三角形的性质得到BE=DH，由等腰三角形的性质得到∠OHE=∠AHN=67.5°，推出∠EBH=∠OHD，根据全等三角形的性质得到BH=HF，可证结论③；推出△ABH不是等边三角形，得到AB≠BH，于是得到CD≠HF，可证结论④；过H作HK⊥BC于K，得到KC=12BC，HK=KE，求得HE=EC，推出12BC=HK+HE，BC=2HK+2HE=FC+2HE，可证结论⑤．
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
11.【答案】6
【解析】解：∵ 24n= 22×6n，
又∵n是正整数， 24n是整数，
∴n的最小值是6，
故答案为：6．
先求出24=22×6n，再根据已知条件得出答案即可．
本题考查了算术平方根的定义，能正确分解质因数是解此题的关键．
12.【答案】29
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，AB=CD=11，
∴△OCD的周长=CO+DO+CD=12(AC+BD)+CD=18+11=29，
故答案为：29．
由平行四边形的性质可得AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，AB=CD=11，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
13.【答案】18
【解析】
【分析】
本题考查的是矩形的性质、、直角三角形斜边中线性质、三角形中位线定理等知识．
根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形的中位线定理求出BO、OM、AM即可解决问题．
【解答】
解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴AD=BC=8，OA=OC，AB=CD=6，∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=10，
∵AO=OC，
∴BO=12AC=5，
∵AO=OC，M是AD的中点，
∴OM=12CD=3，AM=4，
∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=18．
故答案为18．
14.【答案】± 6
【解析】解：∵a+1a= 10，
∴(a+1a)2=10，
∴(a−1a)2=6，
∴a−1a=± 6，
故答案为± 6．
根据式子(a+1a)2=(a−1a)2+4进行计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值，掌握完全平方公式的变形以及二次根式的化简是解题的关键．
15.【答案】117
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∵将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，
∴∠F=∠A=90°，∠FEN=∠C=90°，∠DNM=∠ENM，
∵∠NEC=36°，
∴∠ENC=54°，
∴∠ENM=12(180°−∠ENC)=12×(180°−54°)=63°，
∴∠FMN=360°−90°−90°−63°=117°，
故答案为：117．
根据正方形的性质得到∠A=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠F=∠A=90°，∠FEN=∠C=90°，∠DNM=∠ENM，根据平角的定义得到∠ENM=12(180°−∠ENC)=12×(180°−54°)=63°，根据四边形的内角和即可得到结论．
本题考查了角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键．
16.【答案】10，2 73，4 13
【解析】
【分析】
此题主要考查了图形的剪拼以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．利用等腰三角形的性质，进而重新组合得出平行四边形，进而利用勾股定理求出对角线的长．
【解答】
解：如图：
，
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=10，BC=12，
∴BD=DC=6，
∴由勾股定理得：AD=8，
如图①所示：
可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10，
如图②所示：AD=8，
连接BC，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，
∵∠CAD=∠ADE=∠E=90°，
∴四边形ADEC是矩形，
∴DE=AC，CE=AD=8，
∵AC=BD，
∴BE=2BD=12，
则由勾股定理得：BC=4 13，
如图③所示：BD=6，
同法可证四边形AEBD是矩形，
可得：AE=6，EC=2BE=16，
故AC= 62+162=2 73，
故答案为10或2 73或4 13．
17.【答案】解：(1)( 45+ 18)−( 8− 125)
=3 5+3 2−2 2+5 5
=8 5+ 2；
(2)2 12× 34÷5 2
=2 12×3÷24×5
=3 210．
【解析】(1)先化简，同时去括号，然后再合并同类二次根式即可；
(2)根据二次根式乘除运算计算，然后合并同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】证明：∵ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
∠EAO=∠FCO∠AEO=∠CFOOE=OF
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴OE=OF．
【解析】要证明线段相等，只需证明两条线段所在的两个三角形全等即可．
运用了平行四边形的对角线互相平分以及平行四边形的对边平行．
19.【答案】解：(1)x2+2xy+y2
=(x+y)2
=( 3+1+ 3−1)2
=(2 3)2
=12；
(2)x2−y2
=(x+y)(x−y)
=( 3+1+ 3−1)×[ 3+1−( 3−1)]
=2 3×2
=4 3．
【解析】(1)先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
(2)先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+52=(x+1)2，
解得：x=12，12×13=4米
答：水池里水的深度是4米．
【解析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图1，直线EF即为所求；

(2)如图2，射线OG即为所求；

(3)如图3，点G即为所求作．

(4)如图4，如图，四边形ATCP即为所求作．

【解析】(1)如图1，连接AC，BD交于点O，过点O，P作直线OP，交AD于M，则直线MP平分平行四边形ABCD的周长和面积；
(2)如图2，连接AB，EF交于点G，作射线OG，则OG平分∠AOB；
(3)如图3，连接BE，AC交于点O，连接DO延长DO交AB于点G，点G即为所求作；
(4)如图4，连接CP延长CP交AD于点E，连接AC交BD于点O，连接EO，延长EO交BC于F，连接AF交BD于点T，连接CT即可．
本题是仅用无刻度直尺完成的作图题，考查了平行四边形，矩形，菱形、正方形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：

则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC2=AB2+BC2=25，
∴AC=5，
∵AD=5 2，CD=5，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
在△ABC和△CMD中
∠ACB=∠CDM∠ABC=∠MAC=CD=5
∴△ABC≌△CMD(AAS)，
∴CM=AB=3，DM=BC=4，
∴△BCD的面积=12BC⋅DM=12×4×4=8，
(2)∵CM=3，BC=4，
∴BM=BC+CM=7，
∴BD= BM2+DM2= 72+42= 65．
【解析】(1)作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC≌△CMD，由全等三角形的性质求出CM=AB=3，DM=BC=4，得出BM=BC+CM=7，进而利用三角形的面积公式解答；
(2)由勾股定理求出BD即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．
23.【答案】 22
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠ABD=∠CDB，
由折叠性质可知，∠EBD=12∠ABD，∠FDB=12∠CDB，
∴∠EBD=∠FDB，
∴BE//FD，又DE//BF，
∴四边形BEFD是平行四边形；
(2)解：在Rt△BCD中，BD= CD2+BC2= 62+82=10，
设CF=x，则BF=8−x，
由折叠的性质可知，DN=CD=6，FN=CF=x，∠FND=90°，
∴BN=BD−DN=4，
在Rt△BNF中，BF2=FN2+BN2，即(8−x)2=x2+42，
解得，x=3，即FN=3；
(3)解：连接EG，
设AB=CD=a，AD=BC=b，
则AE=ED=12b，DG=GC=12a，
由折叠的性质可知，AE=EH=DE，∠EHG=∠A=90°，BH=AB=a，
∴∠EHG=∠D，
在Rt△EHG和Rt△EDG中，
EH=EDEG=EG，
∴Rt△EHG≌Rt△EDG(HL)
∴GH=DG=12a，
∴BG=BH+GH=32a，
在Rt△BCG中，BG2=BC2+CG2，即(32a)2=b2+(12a)2，
整理得，2a2=b2，
∴ABAD=ab= 22，
故答案为： 22．
(1)根据矩形的性质得到∠ABD=∠CDB，根据折叠性质、等量代换得到∠EBD=∠FDB，得到BE//FD，根据平行四边形的判定定理证明即可；
(2)根据折叠性质、勾股定理列式计算，得到答案；
(3)连接EG，证明Rt△EHG≌Rt△EDG，得到GH=DG=12a，根据勾股定理列式计算即可．
本题考查的是矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图：

∵AD//BC，∠B=90°，
∴要使四边形PQBA是矩形，只需AP=BQ，即t=26−3t，
解得t=132；
(2)若PQ=CD，分两种情况：
①当四边形PQCD是平行四边形时，PQ=CD.如图：

由PD=CQ得20−t=3t，解得：t=5，
即当t=5时，四边形PQCD是平行四边形，PQ=CD；
②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ=CD.如图：

设运动时间为t秒，则有AP=tcm，CQ=3tcm，
∴BQ=26−3t，
作作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则有NC=BC−AD=26−20=6，
∵梯形PQCD为等腰梯形，
∴NC=QM=6，
∴BM=(26−3t)+6=32−3t，
由AP=BM得t=32−3t，
解得t=8，
∴t=8时，四边形PQCD为等腰梯形，PQ=CD．
综上，当t=5或t=8时，PQ=CD．
(3)解：存在，理由如下：
①若CD=DQ，过D作DH⊥BC于H，如图：

∵AD//BC，∠B=90°，DH⊥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∴DH=AB=8，BH=AD=20，CH=BC−BH=26−20=6(cm)，
∵CD=DQ，DH⊥BC，
∴CQ=2CH=12，
∴3t=12，
∴t=4；
②若CD=CQ，如图：

在Rt△CDH中，DH=AB=8，CH=6，
∴CD=10，
由CD=CQ得：3t=10，
∴t=103；
③若DQ=CQ，过D作DH⊥BC于H，如图：

在Rt△DQH中，QH=CQ−CH=3t−6，DH=8，DQ=CQ=3t，
由勾股定理得：(3t−6)2+82=(3t)2，
解得：t=259；
综上所述，存在t的值，使得△DQC是等腰三角形，t的值为：4或103或259．
【解析】(1)由AD//BC，∠B=90°，可得：四边形PQBA是矩形，只需AP=BQ，即得t=26−3t，解得：t=132；
(2)根据PQ=CD，有两种情况：①若四边形PQCD为平行四边形，由PD=CQ可得方程20−t=3t；②若四边形PQCD为等腰梯形，作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则有NC=BC−AD=26−20=6，由AP=BM得t=32−3t，解此方程即可求得答案；
(3)①若CD=DQ，过D作DH⊥BC于H，由CH=6，得CQ=2CH=12，即可得t=4，②若CD=CQ，即3t=10，即得t=103，③若DQ=CQ，过D作DH⊥BC于H，在Rt△DQH中，由勾股定理得：(3t−6)2+82=(3t)2，即解得t=259．
本题主要考查动点问题，涉及平行四边形、矩形、等腰三角形、勾股定理定理等知识，解题的关键是熟悉平行四边形、矩形、等腰三角形的判定定理，灵活运用勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．