2023-2024学年湖北省荆门市钟祥二中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省荆门市钟祥二中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若一个三角形的两边长分别为2cm，7cm，则它的第三边的长可能是( )
A. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 9cm
3.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF/​/BC交AB于点E，交AC于点F.若AB=12，AC=8，BC=13，则△AEF的周长是( )
A. 15
B. 18
C. 20
D. 22
4.如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC=20°，∠C=38°，则∠BAD=( )
A. 58°
B. 64°
C. 62°
D. 56°
5.在△ABC中，AC=7，BC边上的中线AD把△ABC分成周长差为5的两个三角形，则AB的长为( )
A. 2B. 19C. 2或19D. 2或12
6.如图，∠AOB=70°，点M，N分别在OA，OB上运动(不与点O重合)，ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数( )
A. 变大
B. 变小
C. 等于55°
D. 等于35°
7.如图，在△ABC中，AB=AC，点D为线段BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE=∠B=40°，DE交线段AC于点E，下列结论：
①∠DEC=∠BDA；
②若AB=DC，则AD=DE；
③当DE⊥AC时，则D为BC中点；
④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD=40°；
正确的有_____个.( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是( )
A. 5
B. 6
C. 8
D. 9
9.如图，已知∠ABC=120°，BD平分∠ABC，∠DAC=60°，若AB=2，BC=3，则BD的长是( )
A. 4.5
B. 5
C. 5.5
D. 6
10.如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点(不与P，Q重合)，再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当BC⊥BQ时，△ABC的周长最小．其中一定正确的有( )
A. ①②③
B. ②③④
C. ③④⑤
D. ②③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则∠C等于______度．
12.如图所示，∠A=20°，则∠B+∠C+∠D+∠E=______°.
13.如图，BD是△ABC的中线，G是BD上的一点，且BG=2GD，连接AG，若△ABC的面积为6，则图中阴影部分的面积是______ ．
14.在△ABC中，∠A=36°，当∠C=______，△ABC为等腰三角形．
15.一张△ABC纸片，点M、N分别是AB、AC上的点，若沿直线MN折叠后，点A落在AC边的下面A′的位置，如图所示，则∠1，∠2，∠A之间的数量关系式是______ ．
16.在△ABC中，AB=AC=10，AD是△ABC的角平分线，E在AB的垂直平分线上，AE：EC=3：2，F为AD上的动点，则EF+CF的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图AE=BD，AC=DF，BC=EF，求证：∠A=∠D．
18.(本小题8分)
在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A(−5,2)，B(−3,1)，C(−1,5)，请按要求解答下列问题：
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标为(______，______)；
(2)平行于y轴的直线l经过(1,0)，画出△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2，并直接写出A2(______，______)，B2(______，______)，C2(______，______)；
(3)仅用无刻度直尺作出△ABC的角平分线BD，保留画图痕迹(不写画法)．
19.(本小题8分)
已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
(1)求证：∠ABD=∠ACD；
(2)试问：DE和DF相等吗？说明理由．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
21.(本小题8分)
在等边△ABC中，D为边AC的中点，点N在边BC的延长线上，且∠MDN=120°．
(1)如图1，点M在边AB上，求证：DM=DN；
(2)如图2，点M在边AB的延长线上，试探究BM，BN与等边△ABC边长BC的数量关系．
22.(本小题10分)
如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E．
(1)若∠ACE=20°，求∠CED的度数；
(2)若AE=1，CE=4.求AD的长．
23.(本小题10分)
如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAE的度数；
(3)求证：CD=2BF+DE．
24.(本小题12分)
已知：在平面直角坐标系中，A(a,0)为x轴负半轴上一点，B(0,b)为y轴负半轴上一点，连接AB．
(1)若|a+5|+ (2b+10)=0，求∠OAB的度数；
(2)如图1，若点A的坐标为(−2,0)，以B为顶点，AB为腰向右作等腰Rt△ABC，点C纵坐标为c，求b−c的值；
(3)如图2，若A、B分别在x、y轴负半轴上运动，且OA=OB，OD⊥AB于点D，以OB为边向右作等边△OBE，连接AE交OD于点F，试问：在A、B两点的运动过程中，式子AE−OFAF的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得7−2【解答】
解：设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得：
7−2解得：5故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：∵EF/​/BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=EB，
同理可证得DF=FC，
∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=20，
即△AEF的周长为20，
故选：C．
利用平行线的性质和角平分线的定义可得到∠EBD=∠EDB，所以可得ED=EB，同理可得DF=FC，所以△AEF的周长即为AB+AC，可得出答案．
本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到ED=EB，DF=FC是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：因为BD是∠ABC的角平分线，
所以∠ABD=∠CBD=12∠ABC，
由AD⊥BD，得∠ADB=90°，
在△ABD中，∠BAD=180°−90°−∠ABD=90°−12∠ABC，
因为在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC=180°，
把∠DAC=20°，∠C=38°代入，
得∠ABC+38°+(90°−12∠ABC)+20°=12∠ABC+148°=180°，
那么∠ABC=64°，
所以∠BAD=90°−12×64°=58°，
故选：A．
因为BD是∠ABC的角平分线，所以∠ABD=∠CBD=12∠ABC，由AD⊥BD，得∠ADB=90°，则∠BAD=90°−12∠ABC，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC=180°，即可作答
本题考查了三角形内角和为180°以及角平分线的定义，难度较小．
5.【答案】D
【解析】解：∵AD为BC边的中线，
∴BD=CD．
①当△ABD的周长大时，
△ABD与△ADC的周长差=(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB−AC．
∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC=7，
∴AB−7=5，解得AB=12．
②当△ADC的周长大时，
△ADC与△ABD的周长差=(AC+AD+CD)−(AB+AD+BD)=AC−AB．
∵△ABD与△ADC的周长差为5，AC=7，
∴7−AB=5，解得AB=2．
故AB=2或12．
故选：D．
分两种情形：当△ABD的周长大时，当△ADC的周长大时，分别求解即可
本题考查三角形的中线，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
6.【答案】D
【解析】解：∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，
∴∠EMN=12∠AMN，∠MNF=12∠MNO，
根据外角的定义：
∠AMN=∠AOB+∠MNO，
∴∠AMN=12∠AOB+12MNO，
∵∠AOB=70°，
∴∠EMN=12×70°+∠MNF=35°+∠MNF，
根据外角的定义：∠EMN=∠F+∠MNF，
∴∠F=35°，
故选：D．
根据角平分线的性质可知∠EMN=12∠AMN，∠MNF=12∠LMNO，根据外角的定义：∠AMN=∠AOB+∠MNO，即∠EMN=35°+∠MNF，∠EMN=∠F+∠MNF，可得∠F的度数．
本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练应用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解答本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：①∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠B=∠ADE=40°，
∴∠BAD=∠CDE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴由三角形内角和定理知：∠DEC=∠BDA，故①正确；
②∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
由①知：∠DEC=∠BDA，
∵AB=DC，
∴△ABD≌△DCE(AAS)，
∴AD=DE，故②正确；
③∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠CDE=50°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴D为BC中点，故③正确；
④∵∠C=40°，
∴∠AED>40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE=DE或AD=DE，
当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=40°，
∵∠BAC=180°−40°−40°=100°，
∴∠BAD=60°，
当AD=DE时，∠DAE=∠DEA=70°，
∴∠BAD=30°，
故④不正确．
∴正确的有①②③，共3个，
故选：C．
①根据三角形外角的性质即可得到∠BAD=∠CDE；
②当△ABD≌△DCE时，BD=CE；
③根据DE⊥AC，得∠CDE=50°，根据等腰三角形的性质得到D为BC中点；
④根据三角形外角的性质得到∠AED>40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD=60°或30°．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图：
分三种情况：
当BA=BC时，以点B为圆心，BA长为半径作圆，点C1，C2，C3即为所求；
当AB=AC时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，点C4，C5，C6，C7，C8即为所求；
当CA=CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，
综上所述：满足条件的格点C的个数是8，
故选：C．
分三种情况：当BA=BC时，当AB=AC时，当CA=CB时，然后进行分析即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：在CB的延长线上取点E，使BE=AB，连接AE，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABE=180°−∠ABC=60°，
∵BE=AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=AB，∠BAE=∠E=60°，
∵∠DAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠EAC=∠BAC+∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=12∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠E，
∴△ABD≌△AEC(ASA)，
∴BD=CE，
∵CE=BE+BC=AB+BC=3+2=5，
∴BD=5，
故选：B．
在CB的延长线上取点E，使BE=AB，连接AE，则可证得△ABE为等边三角形，再结合条件可证明△ABD≌△AEC，可得BD=CE，再利用线段的和差可求得CE，则可求得BD．
本题主要考查等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，构造等边三角形△ABE再证△ABD≌△AEC(ASA)是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵点A为PQ上一动点(不与P，Q重合)，∠ABC=60°，
∴∠ABP与∠PCQ不一定相等，故①不正确；
∵△PQB和△ABC都为等边三角形，
∴PQ=QB=PB，AB=CB=AC，∠Q=∠QBP=∠ABC=∠60°，
∴∠QBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=60°，
∴∠QBA=∠PBC，
∴△QBA≌△PBC(SAS)，
∴AQ=PC，∠Q=∠BPC=∠QBP=60°，
∴PC//QB，PB=PQ=PA+AQ=PA+PC，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，AB最小，
∴当BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，故⑤正确．
故选：D．
根据点A为PQ上一动点(不与P，Q重合)，∠ABC=60°，可知∠ABP与∠PCQ不一定相等，可判断①；证明出△QBA≌△PBC(SAS)，可得PC//QB，PB=PQ=PA+AQ=PA+PC，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，AB最小，即可判断⑤．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和最短路线问题，判断出△QBA≌△PBC是解本题的关键．
11.【答案】36
【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B=2∠C，
∴5∠C=180°，
∴∠C=36°，
故答案为：36．
根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠A=∠B=2∠C代入得出5∠C=180°，求出即可．
本题考查了解一元一次方程，三角形内角和定理的应用，能得出关于∠C的方程是解此题的关键．
12.【答案】200
【解析】解：如图，
∵∠A=20°，
∴∠1+∠2=180°−20°=160°，
∵∠B+∠C+∠1=180°，∠D+∠E+∠2=180°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E=360°−(∠1+∠2)=360°−160°=200°，
故答案为：200．
先根据三角形的内角和定理可得∠1+∠2=180°−∠A，再根据两个三角形的内角和为360°可得结论．
本题考查了三角形内角和定理，能求出∠1+∠2的度数是解此题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：∵BD是△ABC的中线，△ABC的面积为6，
∴S△ABD=12S△ABC=3，
∵BG=2GD，
∴BG=23BD，
∴S△ABG=23S△ABD=2，
即图中阴影部分的面积是2．
故答案为：2．
根据BD是△ABC的中线，可得S△ABD=12S△ABC=3，再由BG=2GD，可得BG=23BD，即可求解．
本题考查三角形的面积问题．其中根据三角形的中线的性质进行解答是解决本题的关键．
14.【答案】72°，36°，108°
【解析】解：①当AB=AC时，
∵∠A=36°，
∴∠C=∠B=72°．
②当CA=CB时，
∵∠A=∠B=36°，
∴∠C=108°．
③当BA=BC时，
∴∠C=∠A=36°，
综上所述，∠C的值为72°或108°或36°，
故答案为：72°，36°，108°．
分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题
本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题．
15.【答案】∠1=2∠A+∠2
【解析】解：如图，
由折叠得：∠A=∠A′，
∵∠1是△MDA的外角，
∴∠1=∠A+∠MDA，
同理：∠MDA=∠2+∠A′，
∴∠1=∠A+∠2+∠A′，
即：∠1=2∠A+∠2，
故答案为：∠1=2∠A+∠2．
两次利用三角形内角和定理的推论，即三角形的一个外角等于与它不相邻的开个内角的和，可以得到∠1、∠2、∠A之间的关系．
本题主要考查三角形内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°．
16.【答案】6
【解析】解：如图，连接BE，BF．
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴FC=FB，
∵E在AB的垂直平分线上，
∴EA=EB，
∴EF+CF=EF+BF≥BE，
∴EF+CF的最小值为AE的长，
∵AE：EC=3：2，
∴可以假设AE=3k，EC=2k，
∵AE+EC≥AC，
∴5k≥10，
∴k≥2，
∴AE的最小值为6，
∴EF+CF的值的最小值为6，
故答案为6．
如图，连接BE，BF.首先证明EF+CF的最小值为AE的长，求出AE的最小值即可解决问题．
本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考填空题中的压轴题．
17.【答案】证明：∵AE=BD，
∴AE+BE=DB+BE，
即AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠A=∠D．
【解析】先证明AB=DE，再根据“SSS”证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的性质得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18.【答案】−5 2 8 2 6 1 4 5
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，A1(−5,2)；
故答案为−5，2；
(2)如图，△A2B2C2为所作，A2(8,2)，B2(6,1)，C2(4,5)；
故答案为8，2；6，1；4，5；
(3)如图，BD为所作．
(1)利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)根据网格特点和对称的性质，分别作出A、B、C关于直线l的对称点A2、B2、C2，然后写出它们的坐标；
(3)把AB绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接BE交AC于D．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
19.【答案】(1)证明：连接AD，

在△ACD和△ABD中，
AC=ABCD=BDAD=AD，
∴△ACD≌△ABD(SSS)，
∴∠ABD=∠ACD；
(2)解：DF=DE，理由如下：
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠DCF=∠DBE，
在△DCF和△DBE中，
∠F=∠E=90°∠DCF=∠DBEDC=DB，
∴△DCF≌△DBE(AAS)，
∴DF=DE．
【解析】(1)连接AD，由“SSS”可证△ACD≌△ABD，可得结论；
(2)由“AAS”可证△DCF≌△DBE，可得DE=DF．
本题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△CEF中
BE=CF∠ABC=∠ACBBD=CE，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
(2)解：如图所示：
∵△DBE≌△CEF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=12(180°−40°)=70°
∴∠1+∠2=110°
∴∠3+∠2=110°
∴∠DEF=70°．

【解析】本题考查了等腰三角形的判定和性质的运用，三角形内角和定理的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
(1)由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE.利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
(2)根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
21.【答案】(1)证明：如图1，作DE/​/BC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC=12AC，
∵DE/​/BC，
∴∠AED=∠B=∠ADE=∠ACB=60°，
∴△ADE为等边三角形．
∴AE=DE=AD，
∴DE=DC，
∵∠MDN=∠EDC=120°，
∴∠EDM=∠CDN，
在△DCN和△DEM中，
∠DCN=∠DEMDE=DC∠EDM=∠CDN，
∴△DCN≌△DEM(ASA)，
∴DN=DM．
(2)解：如图2，作DE/​/BC交AB于E，

由(1)同理可证△DEM≌△DCN，
∴EM=CN，
∴BN−BM=BC+CN−EM+BE=BC+BE=32BC．
【解析】(1)作DE/​/BC交AB于E，证明△DCN≌△DEM(ASA)，由全等三角形的性质得出DN=DM．
(2)作DE/​/BC交AB于E，由(1)同理可证△DEM≌△DCN，得出EM=CN，则可得出BN−BM=32BC．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，证明△DCN≌△DEM是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，CB=CA，
∵∠ACE=20°，
∴∠ECB=60°−20°=40°，
由翻折的性质可知，CB=CD，∠ECB=∠ECD=40°，
∴CA=CD，∠ACD=40°−20°=20°，
∴∠CAD=∠D=80°，
∵∠DAC=∠CED+∠ACE，
∴∠CED=80°−20°=60°．
(2)过点C作CT⊥DE于T.设∠ECA=α，则∠ECB=∠ECD=60°−α，
∴∠ACD=60°−2α，
∵CA=CD，
∴∠CAD=12(180°−60°+2α)=60°+α，
∵∠DAC=∠E+∠ACE，
∴∠E=60°+α−α=60°，
∵CT⊥AD，CA=CD，
∴AT=DT，
∴∠ECT=30°，
∴ET=12EC=2，
∴AT=DT−AE=2−1=1，
∴AD=2AT=2．
【解析】(1)求出∠CAD，再利用三角形的外角的性质解决问题即可；
(2)过点C作CT⊥DE于T.设∠ECA=α，则∠ECB=∠ECD=60°−α，首先证明∠E=60°，求出ET，AT，可得结论．
本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质解直角三角形等知识，解题的关键是证明∠E=60°，构造直角三角形解决问题．
23.【答案】证明：(1)∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
即△ABC≌△ADE；
(2)∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由(1)知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；
(3)延长BF到G，使得FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
BF=GF∠AFB=∠AFGAF=AF，
∴△AFB≌△AFG(SAS)，
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45°，
在△CGA和△CDA中，
∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDAAG=AD，
∴△CGA≌△CDA(AAS)，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
(1)根据题意和题目中的条件可以找出△BAC≌△DAE的条件；
(2)根据(1)中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
(3)根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
24.【答案】解：(1)∵|a+5|+ 2b+10=0，
∴a=−5，b=−5，
∴点A(−5,0)，点B(0,−5)，
∴OA=OB=5，
又∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°；
(2)如图，过点C作CE⊥OB于E，

∴∠CEB=∠AOB=∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°=∠ABO+∠BAO，
∴∠BAO=∠CBE，
又∵AB=BC，
∴△ABO≌△BEC(AAS)，
∴AO=BE，
∵点A的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(0,b)，点C纵坐标为c，
∴OA=BE=2，OB=−b，OE=−c，
∵OB−OE=BE，
∴−b−(−c)=2，
∴b−c=−2；
(3)AE−OFAF的值不变，理由如下：
如图2，在AE上截取EN=OF，连接BN，

∵△OBE是等边三角形，
∴OB=BE=OE，∠EOB=∠OEB=∠OBE=60°，
∵AO=OB，OD⊥AB，∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠BOD=45°=∠OAB=∠OBA，AO=BO=OE=BE，∠AOE=150°，
∴∠OAE=∠OEA=15°，
∴∠BEN=45°=∠AOF，∠BAE=30°，
又∵AO=BE，OF=EN，
∴△AOF≌△BEN(SAS)，
∴∠EBN=∠OAE=15°，AF=BN，
∴∠ABN=∠ABO+∠OBE−∠EBN=90°，
∵∠BAE=30°，
∴AN=2BN=2AF，
∵AE−EN=AN，
∴AE−OF=2AF，
∴AE−OFAF=2．
【解析】(1)由非负性可求a=−5，b=−5，可得OA=OB=5，可求解；
(2)由“AAS”可证△ABO≌△BEC，可得AO=BE，由线段的和差关系可求解；
(3)由“SAS”可证△AOF≌△BEN，可得∠EBN=∠OAE=15°，AF=BN，由直角三角形的性质可得AN=2BN=2AF，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．