2023-2024学年湖北省内地西藏班（校）九校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省内地西藏班（校）九校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若式子 x−4有意义，则x的取值范围是( )
A. x<4B. x>4C. x≤4D. x≥4
2.下列各式中，属于最简二次根式的是( )
A. a2B. 12C. 5D. 53
3.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1，1， 3B. 1， 3，2C. 2，3，4D. 5，6，7
4.下列说法错误的是
( )
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
5.如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠A=125°，则∠1=( )
A. 125°
B. 65°
C. 55°
D. 45°
6.下列选项中的运算正确的是( )
A. 3+ 7= 10B. 65−35=3C. 2× 5= 10D. 8÷ 2=4
7.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是( )
A. ∠ABD=∠CBD
B. ∠BAD=2∠ABC
C. OB=OD
D. OD=AD
8.在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴距离为3，到原点距离为5，则点M的坐标是( )
A. (3,−4)B. (4,−3)C. (−4,3)D. (−3,4)
9.如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为( )
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm
10.如图，点P是以A为圆心，AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数( )
A. −2B. −2.2C. − 10D. − 10+1
11.如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为( )
A. 1.8米
B. 2米
C. 2.5米
D. 2.7米
12.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC=8，BD=6，则EF的最小值为( )
A. 3B. 2C. 125D. 52
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.计算： 12× 2 3= ______．
14.如图所示， (a−b)2−|a|= ______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点.若BD=8，则AD= ______．
16.已知 6n是整数，则正整数n的最小值为______．
17.如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB=5，P点位于圆周顶面13处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为______．
18.观察分析下列数据：0，− 3， 6，−3，2 3，− 15，3 2，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是______ (结果需化简)．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)( 3+2)( 3−2)；
(2) 2( 8+ 2)．
20.(本小题6分)
在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)若AB=15，AC=12，求BC的长．
(2)若AB=6，∠A=30°，求BC的长．
21.(本小题6分)
先化简，再求值：(a2−2a+1a2−a+a2−4a2+2a)÷2a，从−2≤a≤1中选择一个你最喜欢的整数代入计算．
22.(本小题6分)
如图，在矩形ABCD中，点E，F在BC上，且BE=CF，连接AE，DF.求证：△ABE≌△DCF．
23.(本小题6分)
如图，从一个大正方形中裁去面积为12cm2和15cm2的两个小正方形，求留下部分的面积．
24.(本小题8分)
如图，点E、F在线段BC上，AB=CD，BE=CF且∠B=∠C．
(1)求证：△ABF≌△DCE；
(2)请猜想四边形AEDF的形状，并加以证明．
25.(本小题6分)
如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF=DE，AF与DE相交于点G.求证：矩形ABCD为正方形．
26.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DE/​/AB，DF/​/AC．
(1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
(2)若∠BAC=90°，且AD=2 2，求四边形AFDE的面积．
27.(本小题12分)
在▱ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．
(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是______；
(3)如图③，在(2)的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是______；
(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵式子 x−4有意义，
∴x−4≥0，
解得x≥4．
故选：D．
根据二次根式中的被开方数是非负数得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
2.【答案】C
【解析】解：A、 a2=|a|，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 12=2 3，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 5是最简二次根式，符合题意；
D、 53= 153，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
根据最简二次根式的定义：二次根式的被开方式中不含分母，并且不含有能开得尽方的因式，进行判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵12+12≠( 3)2，∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵12+( 3)2=22，∴能构成三角形，符合题意；
C、∵22+32≠42，∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵52+62≠72，∴不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；
故选：D．
根据平行四边形的判定定理进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠A=125°，
∴∠1=180°−∠BCD=55°．
故选：C．
根据平行四边形的性质可得∠BCD=∠A，再根据补角定义即可得∠1的度数．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
6.【答案】C
【解析】解：A、 3+ 7= 3+ 7≠ 10，故选项A不符合题意；
B、65−35=516−513≠3，故选项B不符合题意；
C、 2× 5= 10，故选项C符合题意；
D、 8÷ 2=2，故选项D不符合题意；
故选：C．
根据分数指数幂和实数的计算顺序和法则计算即可．
本题考查的是分数指数幂和实数的计算，熟练掌握其运算顺序和法则是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
故选：C．
由平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由题意画图如下：
MA⊥x轴于点A，连接MO，
∵点M到x轴距离为3，到原点距离为5，
∴MA=3，MO=5，
∴AO= MO2−MA2=4，
∴M的坐标是(−4,3)．
故选：C．
根据题意画出图形，利用勾股定理算出AO，再根据横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离，即可得到点M的坐标．
本题考查第二象限坐标的特点、勾股定理、以及点到坐标轴的距离，熟记点的坐标特征是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm
∴OA=OC=12AC=5cm，OB=OD=12BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴AD= OA2−OD2=4cm．
故选A．
由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA=OC，OB=OD，又由∠ODA=90°，根据勾股定理，即可求得AD的长．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
10.【答案】D
【解析】解：在直角三角形ABO中AB= 32+12= 10，
AP=AB= 10，
OP=AP−OA= 10−1，
点P表示的数为：−( 10−1)=− 10+1，
故选：D．
用勾股定理求出AB的长度，用圆的半径求出AP的长，减去OA得OP的长即可．
本题考查的是实数与数轴，解题的关键是掌握勾股定理和数轴上点的特点．
11.【答案】D
【解析】解：如图，由题意可知，AE=2.4米，BE=0.7米，CD=1.5米，AB=BC，
由勾股定理得，AB= AE2+BE2= 2．42+0．72=2.5(米)，
∴BC=2.5米，
∴BD= BC2−CD2= 2．52−1．52=2(米)，
∴DE=BD+DE=2.7米，
即小巷的宽度为2.7米，
故选：D．
根据题意由勾股定理得出AB的长即可得出BC的长，再根据勾股定理求出BD的长即可得出结果．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=12×8=4，OB=OD=12BD=12×6=3，
在Rt△AOB中，AB= OA2+OB2= 42+32=5，
如图所示，连接OP，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF=OP，
当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，
∵S△AOB=12OA⋅OB=12AB⋅OP，
∴OP=OA⋅OBAB=4×35=125，
∴EF的最小值为125，
故选：C．
根据菱形的性质，可证四边形OEPF是矩形，如图所示，连接OP，则EF=OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，再根据等面积法求高即可求解．
本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质，等面积法求三角形的高的计算方法是解题的关键．
13.【答案】2 2
【解析】解： 12× 2 3= 12×23= 8=2 2，
故答案为：2 2．
根据二次根式的乘除法法则计算．
本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
14.【答案】2a−b
【解析】解：由数轴可得：a−b>0，a<0，
故原式=a−b−(−a)=a−b+a=2a−b．
故答案为：2a−b．
直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a−b>0，a<0，再化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
15.【答案】8
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，BD=8，
∴AC=2BD=16，AD=CD=12AC，
∴AD=8．
故答案为：8．
根据直角三角形的性质得出AC=2BD，再由D是AC的中点即可得出结论．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：∵ 6n是整数，且n为正整数，
∴6n是一个为正的完全平方数，
∴正整数n的最小值为6，
故答案为：6．
根据被开方数是平方数，那么二次根式的值为整数进行判断即可．
本题主要考查二次根式的化简，理解“被开方数是平方数，那么二次根式的值为整数”是解题的关键．
17.【答案】13+ 61
【解析】解：如图，
根据题意，AB=CD=5，AC=BD=362=18，
∵P点位于圆周顶面13处，
∴BP=13×36=12，PD=BD−BP=6，
∴小虫爬行的最短路程=AP+PC= 52+122+ 62+52=13+ 61．
故答案为：13+ 61．
先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．
本题主要考查了平面展开图最短路径问题，解答本题的关键要明确求平面展开−最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
18.【答案】−3 5
【解析】【分析】
本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
通过观察可知，规律是根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：(−1)1+1×0，(−1)2+1 3，(−1)3+1 3×2…(−1)n+1 3×(n−1)，可以得到第16个的答案．
【解答】
解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：
(−1)1+1 3×0，(−1)2+1 3×1，…(−1)n+1 3×(n−1)，
∴第16个答案为：(−1)16+1 3×(16−1)=−3 5．
故答案为：−3 5．
19.【答案】解：(1)原式=( 3)2−22
=3−4
=−1；
(2)原式= 2×8+ 2×2
=4+2
=6．
【解析】(1)利用平方差公式进行计算；
(2)利用单项式乘多项式的运算法则进行计算．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构是解题关键．
20.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，AC=12，
∴BC= AB2−AC2= 152−122=9，
∴BC的长为9；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，∠A=30°，
∴BC=12AB=3，
∴BC的长为3．
【解析】(1)在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，即可解答；
(2)在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：原式=[(a−1)2a(a−1)+(a+2)(a−2)a(a+2)]⋅a2
=(a−1a+a−2a)⋅a2
=2a−3a⋅a2
=2a−32，
由分式有意义的条件知，a≠−2，0，1，
∴当a=4时，则原式=2×4−32=52(答案不唯一)．
【解析】先化简括号内，再计算括号外的除法运算，然后由分式有意义的条件知，a≠−2，0，1，然后当a取4时，则即可计算出原式的值．
本题考查了分式化简求值，代数求值，正确掌握分式有意义的条件是解题的关键．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°，
在△ABE和△DCF中，
AB=DC∠B=∠CBE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)．
【解析】由矩形的性质得到AB=DC，∠B=∠C=90°，由SAS即可证明△ABE≌△DCF．
本题考查全等三角形的判定，关键是由矩形的性质推出AB=DC，∠B=∠C=90°，掌握全等三角形的判定方法：SAS．
23.【答案】解：∵大正方形的边长= 12+ 15=2 3+ 15(cm)，
∴大正方形的面积为：(2 3+ 15)2=27+12 5(cm)2，
∴阴影部分的面积=27+12 5−12−15=12 5(cm2).
答：留下部分的面积为12 5cm2．
【解析】先利用二次根式的性质计算出两小正方形的边长，则可得到大正方形的边长，然后用大正方形的面积分别减去两小正方形的面积得到阴影部分的面积．
本题考查了二次根式的应用：利用二次根式的性质进行计算．
24.【答案】(1)证明：∵BE=CF，
∴BE−EF=CF−EF，
即BF=CE，
在△ABF与△DCE中，
AB=CD ∠B=∠C BF=CE
∴△ABF≌△DCE(SAS)；
(2)四边形AEDF是平行四边形，理由如下：
由(1)得△ABF≌△DCE，
∴AF=DE，∠AFB=∠DEC，
∵∠AFB+∠AFE=180°，∠DEC+∠DEF=180°，
∴∠AFE=∠DEF，
∴AF//DE，
∴四边形AEDF是平行四边形．
【解析】(1)根据线段的和差得到BF=CE，结合题意利用SAS即可证明△ABF≌△DCE；
(2)根据全等三角形的性质得到AF=DE，∠AFB=∠DEC，进而得到∠AFE=∠DEF，即可判定AF/​/DE，即可判定四边形AEDF是平行四边形．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定、性质定理及平行四边形的判定定理是解此题的关键．
25.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB=∠AGD=90°，
∴∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴AD=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．

【解析】根据矩形的性质得∠DAB=∠B=90°，由等角的余角相等可得∠ADE=∠BAF，利用AAS可得△ABF≌△DAE，由全等三角形的性质得AD=AB即可得四边形ABCD是正方形．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
26.【答案】解：(1)四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE//AB，DF/​/AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE//AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
(2)∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD=2 2，
∴AF=DF=DE=AE=2 2 2=2，
∴四边形AFDE的面积为2×2=4．
【解析】(1)根据DE/​/AB，DF/​/AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；
(2)根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．
本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
27.【答案】菱形 菱形
【解析】解：(1)四边形EGFH是平行四边形，理由如下：
∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴点O是▱ABCD的对称中心；
∴EO=FO，GO=HO；
∴四边形EGFH是平行四边形；
(2)∵四边形EGFH是平行四边形，EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形，
故答案为：菱形；
(3)由(2)知四边形EGFH是菱形，
当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；
故答案为：菱形；
(4)四边形EGFH是正方形，理由如下：
∵AC=BD，
∴▱ABCD是矩形；
又∵AC⊥BD，
∴▱ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°；
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°
∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COF(ASA)；
∴OG=OF，同理可得：EO=OH，
∴GH=EF；
由(3)知四边形EGFH是菱形，
又EF=GH，
∴四边形EGFH是正方形．
(1)由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质；
(2)当EF⊥GH时，平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分，故四边形EGFH是菱形；
(3)当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同(2)；
(4)当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，则对角线相等且互相垂直平分；可通过证△BOG≌△COF，得OG=OF，从而证得菱形的对角线相等，根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．