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2023-2024学年湖北省黄石市大冶市八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖北省黄石市大冶市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 1−x实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>1B. x≥1C. x<1D. x≤1
2.以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 5，12，13C. 6，7，8D. 1， 2， 3
3.下列计算正确的是( )
A. 2 5− 5=1B. 3+ 2= 5C. 8÷ 2=4D. 3× 2= 6
4.下列命题中，假命题是( )
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5.下列各式中与 2是同类二次根式的是( )
A. 20B. 12C. 24D. 0.2
6.在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是( )
A. 15
B. 9
C. 10
D. 21
7.矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC=6，BC=8，则EF的长为( )
A. 2B. 1C. 4D. 52
9.如图，菱形ABCD对角线AC=8cm，BD=6cm，则菱形高DE长为( )
A. 5cm
B. 10cm
C. 4.8cm
D. 9.6cm
10.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=1，则下列结论：①∠CAD=30°②BD= 7③S平行四边形ABCD=AB⋅AC ④OE=14AD，正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知 28n是整数，则正整数n的最小值为______．
12.化简： ( 7−3)2=______．
13.如图，在▱ABCD中，BD是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，还需添加一个条件(只需添加一个)是______．
14.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(1,3)，将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那么点E的坐标______．
15.如图，已知矩形ABCD，AB=9，AD=4，E为CD边上一点，CE=6，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为______时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.在解决问题“已知a=1 2−1，求3a2−6a−1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a=1 2−1= 2+1( 2−1)( 2+1)= 2+1，
∴a−1= 2，
∴(a−1)2=2，a2−2a+1=2．
∴a2−2a=1．
∴3a2−6a=3，3a2−6a−1=2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
若a=23− 7，求2a2−12a+1的值．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 8− 2( 2+2)；
(2)(10 48−6 27+4 12)÷ 6．
18.(本小题8分)
已知：a=2+ 3，b=2− 3．
(1)直接写出：ab=______，a+b=______；
(2)求1a+1b的值．
19.(本小题8分)
消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到15米，消防车高3米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为12米．
(1)求B处与地面的距离．
(2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？
20.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若AB=5，DE=12，BF=13，求AE的长．
21.(本小题8分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、 5、 13；
(3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
22.(本小题8分)
如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求证：CE=CF；
(3)线段CD与AB满足什么数量关系时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．
23.(本小题8分)
综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一：
如图1，正方形纸片ABCD，将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE，点B的对应点为M，连接AM；将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，将纸片展平，连接EF．
(1)根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①∠EAF= ______°；②线段EF，BE，DF之间的数量关系为______．
【深入探究】
操作二：
如图2，将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接NE、NF．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时(点E不与点B，C重合)，点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示．
(2)小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论AP=BE+DF，请证明该结论是否成立，并说明理由．
【拓展应用】
(3)若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，求出线段BE的长．
24.(本小题8分)
如图，在直角坐标系中，点E为线段AB上一动点，点C为y轴上的一动点．
(1)如图(1)，若∠BAO=30°，过点E作EM⊥OA于点M，连接CM，设BC=t，AE=2t，判断四边形BCME的形状，请证明你的结论．
(2)如图(2)，过点E作ED⊥AB交OA于点D，点F在线段AO上，设DE=3t，AE=4t，且点A(8,0)．
①若四边形CEFD为平行四边形，用含t的式子表示点C的坐标．
②若四边形CEFD为菱形，求t的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵ 1−x实数范围内有意义，
∴1−x≥0，解得x≤1．
故选D．
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
2.【答案】C
【解析】解：A、32+42=52，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、62+72≠82，故是不直角三角形，故此选项符合题意；
D、12+( 2)2=( 3)2，故是直角三角形，故此选项不符合题意
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，正确验证两小边的平方和等于最长边的平方是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、原式= 5，故此选项不符合题意；
B、 3与 2不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
C、原式= 8÷2= 4=2，故此选项不符合题意；
D、原式= 3×2= 6，故此选项符合题意；
故选：D．
根据二次根式加减法运算法则判断A和B，根据二次根式乘除法运算法则判断C和D．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
D.对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形或筝形，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形是假命题；
故选：D．
根据平行四边形的判定方法可知A是真命题，根据矩形的判定方法可知B是真命题，根据菱形的判定方法可知C是真命题，根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，可知D是假命题．
本题主要考查了命题与定理，解题时注意：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形或筝形．
5.【答案】B
【解析】解：A、 20=2 5与 2不是同类二次根式；
B、 12= 22与 2是同类二次根式；
C、 24=2 6与 2不是同类二次根式；
D、 0.2= 55与 2不是同类二次根式；
故选：B．
化简二次根式，即可判定．
本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是能正确化简二次根式．
6.【答案】B
【解析】解：∵正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，
∴LN2=5，QK2=6，PK2=20，
∵△PQK是直角三角形，
∴PQ2=PK2−QK2=14，
∵四边形MNPQ是正方形，
∴MN=PQ，
∵△MNL是直角三角形，
∴ML2=MN2−LN2=14−5=9，
∴正方形B的面积=ML2=9．
故选：B．
由正方形面积公式得到LN2=5，QK2=6，PK2=20，由勾股定理求出PQ2=PK2−QK2=14，而MN=PQ，由勾股定理得到ML2=MN2−LN2=14−5=9，即可得到正方形B的面积．
本题考查勾股定理，正方形的性质，关键是由勾股定理求出ML2的值．
7.【答案】A
【解析】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：A．
根据矩形的性质和菱形的性质得出即可．
本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
∵D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，DE=12AB=5，
∴∠DFA=∠FAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=12AC=12×6=3，
∴EF=DE−DF=2，
故选：A．
根据勾股定理得到AB= AC2+BC2=10，根据三角形中位线定理得到DE//AB，DE=12AB=5，根据平行线的性质得到∠DFA=∠FAB，根据角平分线的定义得到∠DAF=∠BAF，求得∠DAF=∠DFA，得到DF=AD，于是得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵菱形ABCD对角线AC=8cm，BD=6cm，
∴AC⊥BD，
OA=12AC=12×8=4cm，
OB=12BD=12×6=3cm，
根据勾股定理，AB= OA2+OB2=5cm，
菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=AB⋅DE，
即12×8×6=5DE，
解得DE=4.8cm．
故选：C．
根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，然后利用勾股定理列式求出AB，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高两种方法列式计算即可得解．
本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，根据菱形的面积的两个求解方法列出方程是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD//BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=12AB=12，OE//AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC= 12−(12)2= 32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD= 12+( 32)2= 72，
∴BD=2OD= 7，
故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S▱ABCD=AB⋅AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=12AB，
∵AB=12BC，
∴OE=14BC=14AD，
故④正确；
故选：D．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键．
11.【答案】7
【解析】解： 28n= 22×7n，
∵ 28n是整数，n为正整数，
∴n的最小值是7．
故答案为：7．
先求出28=22×7，再得出答案即可．
本题考查了二次根式的定义，能理解题意是解此题的关键．
12.【答案】3− 7
【解析】解：∵ 7<3，即 7−3<0，
∴ ( 7−3)2=3− 7．
此题考查二次根式的化简 a2=a(a≥0)−a(a<0)．
主要考查了根据二次根式的意义化简．
二次根式 a2规律总结：当a≥0时， a2=a；当a≤0时， a2=−a．
13.【答案】BF=DE
【解析】解：添加的条件为BF=DE；
理由：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO、BO=DO，
∵BF=DE，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
故答案为：BF=DE．
可连接对角线AC，通过对角线互相平分得出结论．
本题主要考查平行四边形的判定性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题是关键．
14.【答案】(0,43)
【解析】解：由题意知∠BAC=∠DAC，AB//OC，
∴∠ECA=∠BAC，
∴∠ECA=∠DAC，
∴EA=EC，
设EC=EA=x，
由题意得OA=1，OC=AB=3，
则EO=3−x，
由勾股定理得x2=12+(3−x)2，
解得x=53，
∴OE=3−53=43，
∴E点的坐标为(0,43).
故答案为(0,43).
先证明EA=EC，设EC=EA=x，根据勾股定理列出x2=12+(3−x)2，解得x=53，即可解决问题．
本题主要考查翻折变换，矩形的性质，以及坐标与图形性质．
15.【答案】3或296
【解析】解：根据题意得：BP=t，
∵四边形ABCD是矩形，AB=9，AD=4，
∴CD=AB=9，BC=AD=4，
∴AP=9−t，DE=DC−CE=9−6=3，
由勾股定理得：AE= 32+42=5，
过E作EF⊥AB于F，
则∠EFA=∠EFB=90°，
∵∠C=∠B=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BF=CE=6，BC=EF=4，
∴PF=6−t，
由勾股定理得：PE2=EF2+PF2=42+(6−t)2，
①当AE=PE时，52=42+(6−t)2，
解得：t=3，t=9，
∵t=9不符合题意，舍去；
②当AP=PE时，(9−t)2=42+(6−t)2，
解得：10t=296，
即当t的值为3或296时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，
故答案为：3或296．
根据矩形的性质得出CD=AB=8，BC=AD=4，求出AP=8−t，DE=3，由勾股定理求出AE=5，PE2=EF2+PF2=42+(6−t)2，分为两种情况：①当AE=PE时，②当AP=PE时，求出即可．
本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
16.【答案】解：∵a=23− 7
=2(3+ 7)(3− 7)(3+ 7)
=2(3+ 7)2
=3+ 7．
∴a−3= 7．
∴(a−3)2=7．
即a2−6a+9=7．
∴a2−6a=−2．
∴2a2−12a=−4．
∴2a2−12a+1
=−4+1
=−3．
即2a2−12a+1的值为−3．
【解析】先利用分母有理化化简a，再利用完全平方公式求出a2−6a的值，最后整体代入．
本题考查了二次根式的化简，理解题例并应用题例是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1) 8− 2( 2+2)=2 2−2−2 2=−2；
(2)(10 48−6 27+4 12)÷ 6=(40 3−18 3+8 3)÷ 6=30 3÷ 6=30 2=15 2．
【解析】(1)先按照分配律计算，化简，再合并同类二次根式；
(2)先化简，合并，再做除法运算．
按照二次根式混合运算法则，计算要细心．
18.【答案】解：(1)1，4；
(2)∵ab=1，a+b=4，
∴1a+1b=a+bab=41=4，
∴1a+1b的值为4．
【解析】解：(1)∵a=2+ 3，b=2− 3，
∴ab=(2+ 3)×(2− 3)=1，
a+b=2+ 3+2− 3=4，
故答案为：1，4；
(2)∵ab=1，a+b=4，
∴1a+1b=a+bab=41=4，
∴1a+1b的值为4．
(1)把a，b的值，代入进行计算即可解答；
(2)利用(1)的结论，再根据异分母的分式加减法法则进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)在Rt△OAB中，
∵AB=15米，OA=12米，
∴OB= AB2−OA2= 152−122=9(米)，
∴BE=OB+OE=9+3=12(米)．
答：B处与地面的距离是12米；
(2)在Rt△OCD中，
∵CD=15米，OD=OB+BD=9+3=12(米)，
∴OC= CD2−OD2= 152−122=9，
∴AC=OA−OC=12−9=3(米)．
答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为3米．
【解析】(1)先根据勾股定理求出OB的长，进而可得出结论；
(2)由勾股定理求出OC的长，利用AC=OA−OC即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20.【答案】(1)证明：在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
∴CF+EC=BE+EC．
即EF=BC．
在▱ABCD中，AD//BC且AD=BC，
∴AD//EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°
∴四边形AEFD是矩形；
(2)解：∵四边形AEFD是矩形，DE=12，
∴AF=DE=12．
∵AB=5，AF=12，
∴AB2+AF2=52+122=169=BF2，
∴∠BAF=90°，
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=12AB⋅AF=12BF⋅AE．
∴AE=AB⋅AFBF=6013．
【解析】(1)先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
(2)证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
本题考查矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于中考常考题型．
21.【答案】
解：(1)如图1的正方形的边长是 10，面积是10；
(2)如图2的三角形的边长分别为2， 5， 13；
(3)如图3，连接AC，CD，
则AD=BD=CD= 22+12= 5，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=BC= 32+12= 10，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
【解析】本题考查了勾股定理，直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力和动手操作能力．
(1)由勾股定理画出边长为 10的正方形即可；
(2)由勾股定理和已知即可画出符合条件的三角形；
(3)连接AC、CD，求出△ACB是等腰直角三角形即可得∠ABC的度数．
22.【答案】(1)解：△ABC是等腰三角形，
理由：∵点C是线段AB的垂直平分线上的任意点，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)证明：∵CD垂直平分线AB，
∴AC=CB．
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC，
在△DEC与△DFC中，
∠ACD=∠BCDCD=CD∠EDC=∠FDC，
∴△DEC≌△DFC(ASA)，
∴CE=CF；
(3)解：当CD=12AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形ECFD是正方形．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
(2)由CD垂直平分线AB，可得AC=CB，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠BCD，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
(3)因为有三个角是直角，且邻边相等的四边形是正方形．所以当CD=12AB时，四边形CEDF为正方形．
此题是四边形的综合题，主要考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定、矩形的判定等知识点；熟练掌握正方形的判定，证明三角形全等是解决问题(2)的关键．
23.【答案】45 EF=BE+DF
【解析】解：(1)①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠BAD=90°，
由折叠的性质可知，∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF=∠BAE+∠DAF=12∠BAD=45°，
即∠EAF=45°．
故答案为：45．
②由折叠的性质可知，BE=ME，DF=MF，
∵EF=ME+MF，
∴EF=BE+DF．
故答案为：EF=BE+DF．
(2)结论AP=BE+D成立，理由如下：
将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°．
由折叠的性质可知，BE=ME，DF=MF，∠AME=∠B=∠C=∠ENF=90°，
∴∠ANF=∠AMF=90°，
又∵∠APN=∠FPM，
∴∠NAP=∠NFE．
由(1)得∠EAF=45°，
∴△ANF是等腰直角三角形．
∴AN=FN．
∴△ANP≌△FNE(ASA)．
∴AP=EF．
∵EF=EM+FM=BE+DF，
∴AP=BE+DF．
(3)∵点N落在折痕AE上时，
∴∠BAE=∠MAE，∠CFE=∠NFE，∠AFD=∠AFM．
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN=45°，
∴∠AFD=∠AFM=∠AFN+∠NFE=45°+∠NFE．
∵∠AFD+∠AFM+∠CFE=180°，
∴2×(45°+∠NFE)+∠NFE=180°，
∴∠NFE=30°．
∵∠APN=∠FPM，∠ANF=∠AMF=90°，
∴∠NAP=∠NFE=30°，
∴∠BAE=30°．
∴BE= 33AB= 3．
(1)①由正方形的性质得∠C=∠BAD=90°，再由折叠的性质得：∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，即可求解；
②根据折叠的性质即可求解；
(2)根据正方形的性质和折叠的性质得到△ANF是等腰直角三角形，再根据全等三角形的性质和判定求解即可．
(3)当点N落在折痕AE上，证明△ANF是等腰直角三角形，进一步求得∠BAE=30°，然后利用含30度的直角三角形解答即可．
本题考查了四边形的综合应用，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)四边形BCME是平行四边形．
证明：∵EM⊥OA．
∴△EMA为直角三角形，
∵∠BAO=30°
∴EM=12EA=t，
∵BC=t，
∴EM=BC，
∵EM⊥OA，BC⊥OA．
∴EM//BC，
∴四边形BCEM为平行四边形．
(2)①过点E作EG⊥AD于点G，
∵DE⊥AB，DE=3t，AE=4t，
∴AD= DE2+AE2=5t，
∵S△ADE=12DE×AE=12EG×AD，
∴12×3t×4t=12EG⋅5t，
解得：EG=12t5，
根据题意得：CE//x轴，
∴CE⊥OC，
∴∠OCE=∠COG=∠OGE=90°，
∴四边形OCEG为矩形，
∴OC=EG=12t5，
∴C(0,125t)；
②∵四边形CEFD为菱形，
∴CD=CE=OG，
∵DE=3t，EG=12t5，
∴DG= DE2−EG2=95t，
在直角三角形AED中，EF=DF，
∴EF=12DF=52t，
∴OD=OG−GD=52t−95t=710t，
∵OD+AD=8，
∴710t+5t=8，
∴t=8057．
【解析】(1)证出EM=BC，由平行四边形的判定可得出结论；
(2)①过点E作EG⊥AD于点G，求出AD= DE2+AE2=5t，证明四边形OCEG为矩形，得出OC=EG=12t5，则可得出结论；
②由菱形的性质得出CD=CE=OG，由勾股定理求出DG，则可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．
1. 1−x实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>1B. x≥1C. x<1D. x≤1
2.以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 5，12，13C. 6，7，8D. 1， 2， 3
3.下列计算正确的是( )
A. 2 5− 5=1B. 3+ 2= 5C. 8÷ 2=4D. 3× 2= 6
4.下列命题中，假命题是( )
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5.下列各式中与 2是同类二次根式的是( )
A. 20B. 12C. 24D. 0.2
6.在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是( )
A. 15
B. 9
C. 10
D. 21
7.矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC=6，BC=8，则EF的长为( )
A. 2B. 1C. 4D. 52
9.如图，菱形ABCD对角线AC=8cm，BD=6cm，则菱形高DE长为( )
A. 5cm
B. 10cm
C. 4.8cm
D. 9.6cm
10.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=1，则下列结论：①∠CAD=30°②BD= 7③S平行四边形ABCD=AB⋅AC ④OE=14AD，正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知 28n是整数，则正整数n的最小值为______．
12.化简： ( 7−3)2=______．
13.如图，在▱ABCD中，BD是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，还需添加一个条件(只需添加一个)是______．
14.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(1,3)，将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那么点E的坐标______．
15.如图，已知矩形ABCD，AB=9，AD=4，E为CD边上一点，CE=6，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为______时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.在解决问题“已知a=1 2−1，求3a2−6a−1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a=1 2−1= 2+1( 2−1)( 2+1)= 2+1，
∴a−1= 2，
∴(a−1)2=2，a2−2a+1=2．
∴a2−2a=1．
∴3a2−6a=3，3a2−6a−1=2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
若a=23− 7，求2a2−12a+1的值．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 8− 2( 2+2)；
(2)(10 48−6 27+4 12)÷ 6．
18.(本小题8分)
已知：a=2+ 3，b=2− 3．
(1)直接写出：ab=______，a+b=______；
(2)求1a+1b的值．
19.(本小题8分)
消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到15米，消防车高3米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为12米．
(1)求B处与地面的距离．
(2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？
20.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若AB=5，DE=12，BF=13，求AE的长．
21.(本小题8分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、 5、 13；
(3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
22.(本小题8分)
如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求证：CE=CF；
(3)线段CD与AB满足什么数量关系时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．
23.(本小题8分)
综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一：
如图1，正方形纸片ABCD，将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE，点B的对应点为M，连接AM；将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，将纸片展平，连接EF．
(1)根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①∠EAF= ______°；②线段EF，BE，DF之间的数量关系为______．
【深入探究】
操作二：
如图2，将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接NE、NF．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时(点E不与点B，C重合)，点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示．
(2)小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论AP=BE+DF，请证明该结论是否成立，并说明理由．
【拓展应用】
(3)若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，求出线段BE的长．
24.(本小题8分)
如图，在直角坐标系中，点E为线段AB上一动点，点C为y轴上的一动点．
(1)如图(1)，若∠BAO=30°，过点E作EM⊥OA于点M，连接CM，设BC=t，AE=2t，判断四边形BCME的形状，请证明你的结论．
(2)如图(2)，过点E作ED⊥AB交OA于点D，点F在线段AO上，设DE=3t，AE=4t，且点A(8,0)．
①若四边形CEFD为平行四边形，用含t的式子表示点C的坐标．
②若四边形CEFD为菱形，求t的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵ 1−x实数范围内有意义，
∴1−x≥0，解得x≤1．
故选D．
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
2.【答案】C
【解析】解：A、32+42=52，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、62+72≠82，故是不直角三角形，故此选项符合题意；
D、12+( 2)2=( 3)2，故是直角三角形，故此选项不符合题意
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，正确验证两小边的平方和等于最长边的平方是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、原式= 5，故此选项不符合题意；
B、 3与 2不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
C、原式= 8÷2= 4=2，故此选项不符合题意；
D、原式= 3×2= 6，故此选项符合题意；
故选：D．
根据二次根式加减法运算法则判断A和B，根据二次根式乘除法运算法则判断C和D．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
D.对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形或筝形，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形是假命题；
故选：D．
根据平行四边形的判定方法可知A是真命题，根据矩形的判定方法可知B是真命题，根据菱形的判定方法可知C是真命题，根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，可知D是假命题．
本题主要考查了命题与定理，解题时注意：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形或筝形．
5.【答案】B
【解析】解：A、 20=2 5与 2不是同类二次根式；
B、 12= 22与 2是同类二次根式；
C、 24=2 6与 2不是同类二次根式；
D、 0.2= 55与 2不是同类二次根式；
故选：B．
化简二次根式，即可判定．
本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是能正确化简二次根式．
6.【答案】B
【解析】解：∵正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，
∴LN2=5，QK2=6，PK2=20，
∵△PQK是直角三角形，
∴PQ2=PK2−QK2=14，
∵四边形MNPQ是正方形，
∴MN=PQ，
∵△MNL是直角三角形，
∴ML2=MN2−LN2=14−5=9，
∴正方形B的面积=ML2=9．
故选：B．
由正方形面积公式得到LN2=5，QK2=6，PK2=20，由勾股定理求出PQ2=PK2−QK2=14，而MN=PQ，由勾股定理得到ML2=MN2−LN2=14−5=9，即可得到正方形B的面积．
本题考查勾股定理，正方形的性质，关键是由勾股定理求出ML2的值．
7.【答案】A
【解析】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：A．
根据矩形的性质和菱形的性质得出即可．
本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
∵D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，DE=12AB=5，
∴∠DFA=∠FAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=12AC=12×6=3，
∴EF=DE−DF=2，
故选：A．
根据勾股定理得到AB= AC2+BC2=10，根据三角形中位线定理得到DE//AB，DE=12AB=5，根据平行线的性质得到∠DFA=∠FAB，根据角平分线的定义得到∠DAF=∠BAF，求得∠DAF=∠DFA，得到DF=AD，于是得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵菱形ABCD对角线AC=8cm，BD=6cm，
∴AC⊥BD，
OA=12AC=12×8=4cm，
OB=12BD=12×6=3cm，
根据勾股定理，AB= OA2+OB2=5cm，
菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=AB⋅DE，
即12×8×6=5DE，
解得DE=4.8cm．
故选：C．
根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，然后利用勾股定理列式求出AB，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高两种方法列式计算即可得解．
本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，根据菱形的面积的两个求解方法列出方程是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD//BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=12AB=12，OE//AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC= 12−(12)2= 32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD= 12+( 32)2= 72，
∴BD=2OD= 7，
故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S▱ABCD=AB⋅AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=12AB，
∵AB=12BC，
∴OE=14BC=14AD，
故④正确；
故选：D．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键．
11.【答案】7
【解析】解： 28n= 22×7n，
∵ 28n是整数，n为正整数，
∴n的最小值是7．
故答案为：7．
先求出28=22×7，再得出答案即可．
本题考查了二次根式的定义，能理解题意是解此题的关键．
12.【答案】3− 7
【解析】解：∵ 7<3，即 7−3<0，
∴ ( 7−3)2=3− 7．
此题考查二次根式的化简 a2=a(a≥0)−a(a<0)．
主要考查了根据二次根式的意义化简．
二次根式 a2规律总结：当a≥0时， a2=a；当a≤0时， a2=−a．
13.【答案】BF=DE
【解析】解：添加的条件为BF=DE；
理由：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO、BO=DO，
∵BF=DE，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
故答案为：BF=DE．
可连接对角线AC，通过对角线互相平分得出结论．
本题主要考查平行四边形的判定性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题是关键．
14.【答案】(0,43)
【解析】解：由题意知∠BAC=∠DAC，AB//OC，
∴∠ECA=∠BAC，
∴∠ECA=∠DAC，
∴EA=EC，
设EC=EA=x，
由题意得OA=1，OC=AB=3，
则EO=3−x，
由勾股定理得x2=12+(3−x)2，
解得x=53，
∴OE=3−53=43，
∴E点的坐标为(0,43).
故答案为(0,43).
先证明EA=EC，设EC=EA=x，根据勾股定理列出x2=12+(3−x)2，解得x=53，即可解决问题．
本题主要考查翻折变换，矩形的性质，以及坐标与图形性质．
15.【答案】3或296
【解析】解：根据题意得：BP=t，
∵四边形ABCD是矩形，AB=9，AD=4，
∴CD=AB=9，BC=AD=4，
∴AP=9−t，DE=DC−CE=9−6=3，
由勾股定理得：AE= 32+42=5，
过E作EF⊥AB于F，
则∠EFA=∠EFB=90°，
∵∠C=∠B=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BF=CE=6，BC=EF=4，
∴PF=6−t，
由勾股定理得：PE2=EF2+PF2=42+(6−t)2，
①当AE=PE时，52=42+(6−t)2，
解得：t=3，t=9，
∵t=9不符合题意，舍去；
②当AP=PE时，(9−t)2=42+(6−t)2，
解得：10t=296，
即当t的值为3或296时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，
故答案为：3或296．
根据矩形的性质得出CD=AB=8，BC=AD=4，求出AP=8−t，DE=3，由勾股定理求出AE=5，PE2=EF2+PF2=42+(6−t)2，分为两种情况：①当AE=PE时，②当AP=PE时，求出即可．
本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
16.【答案】解：∵a=23− 7
=2(3+ 7)(3− 7)(3+ 7)
=2(3+ 7)2
=3+ 7．
∴a−3= 7．
∴(a−3)2=7．
即a2−6a+9=7．
∴a2−6a=−2．
∴2a2−12a=−4．
∴2a2−12a+1
=−4+1
=−3．
即2a2−12a+1的值为−3．
【解析】先利用分母有理化化简a，再利用完全平方公式求出a2−6a的值，最后整体代入．
本题考查了二次根式的化简，理解题例并应用题例是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1) 8− 2( 2+2)=2 2−2−2 2=−2；
(2)(10 48−6 27+4 12)÷ 6=(40 3−18 3+8 3)÷ 6=30 3÷ 6=30 2=15 2．
【解析】(1)先按照分配律计算，化简，再合并同类二次根式；
(2)先化简，合并，再做除法运算．
按照二次根式混合运算法则，计算要细心．
18.【答案】解：(1)1，4；
(2)∵ab=1，a+b=4，
∴1a+1b=a+bab=41=4，
∴1a+1b的值为4．
【解析】解：(1)∵a=2+ 3，b=2− 3，
∴ab=(2+ 3)×(2− 3)=1，
a+b=2+ 3+2− 3=4，
故答案为：1，4；
(2)∵ab=1，a+b=4，
∴1a+1b=a+bab=41=4，
∴1a+1b的值为4．
(1)把a，b的值，代入进行计算即可解答；
(2)利用(1)的结论，再根据异分母的分式加减法法则进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)在Rt△OAB中，
∵AB=15米，OA=12米，
∴OB= AB2−OA2= 152−122=9(米)，
∴BE=OB+OE=9+3=12(米)．
答：B处与地面的距离是12米；
(2)在Rt△OCD中，
∵CD=15米，OD=OB+BD=9+3=12(米)，
∴OC= CD2−OD2= 152−122=9，
∴AC=OA−OC=12−9=3(米)．
答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为3米．
【解析】(1)先根据勾股定理求出OB的长，进而可得出结论；
(2)由勾股定理求出OC的长，利用AC=OA−OC即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20.【答案】(1)证明：在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
∴CF+EC=BE+EC．
即EF=BC．
在▱ABCD中，AD//BC且AD=BC，
∴AD//EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°
∴四边形AEFD是矩形；
(2)解：∵四边形AEFD是矩形，DE=12，
∴AF=DE=12．
∵AB=5，AF=12，
∴AB2+AF2=52+122=169=BF2，
∴∠BAF=90°，
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=12AB⋅AF=12BF⋅AE．
∴AE=AB⋅AFBF=6013．
【解析】(1)先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
(2)证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
本题考查矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于中考常考题型．
21.【答案】
解：(1)如图1的正方形的边长是 10，面积是10；
(2)如图2的三角形的边长分别为2， 5， 13；
(3)如图3，连接AC，CD，
则AD=BD=CD= 22+12= 5，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=BC= 32+12= 10，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
【解析】本题考查了勾股定理，直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力和动手操作能力．
(1)由勾股定理画出边长为 10的正方形即可；
(2)由勾股定理和已知即可画出符合条件的三角形；
(3)连接AC、CD，求出△ACB是等腰直角三角形即可得∠ABC的度数．
22.【答案】(1)解：△ABC是等腰三角形，
理由：∵点C是线段AB的垂直平分线上的任意点，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)证明：∵CD垂直平分线AB，
∴AC=CB．
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC，
在△DEC与△DFC中，
∠ACD=∠BCDCD=CD∠EDC=∠FDC，
∴△DEC≌△DFC(ASA)，
∴CE=CF；
(3)解：当CD=12AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形ECFD是正方形．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
(2)由CD垂直平分线AB，可得AC=CB，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠BCD，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
(3)因为有三个角是直角，且邻边相等的四边形是正方形．所以当CD=12AB时，四边形CEDF为正方形．
此题是四边形的综合题，主要考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定、矩形的判定等知识点；熟练掌握正方形的判定，证明三角形全等是解决问题(2)的关键．
23.【答案】45 EF=BE+DF
【解析】解：(1)①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠BAD=90°，
由折叠的性质可知，∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF=∠BAE+∠DAF=12∠BAD=45°，
即∠EAF=45°．
故答案为：45．
②由折叠的性质可知，BE=ME，DF=MF，
∵EF=ME+MF，
∴EF=BE+DF．
故答案为：EF=BE+DF．
(2)结论AP=BE+D成立，理由如下：
将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°．
由折叠的性质可知，BE=ME，DF=MF，∠AME=∠B=∠C=∠ENF=90°，
∴∠ANF=∠AMF=90°，
又∵∠APN=∠FPM，
∴∠NAP=∠NFE．
由(1)得∠EAF=45°，
∴△ANF是等腰直角三角形．
∴AN=FN．
∴△ANP≌△FNE(ASA)．
∴AP=EF．
∵EF=EM+FM=BE+DF，
∴AP=BE+DF．
(3)∵点N落在折痕AE上时，
∴∠BAE=∠MAE，∠CFE=∠NFE，∠AFD=∠AFM．
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN=45°，
∴∠AFD=∠AFM=∠AFN+∠NFE=45°+∠NFE．
∵∠AFD+∠AFM+∠CFE=180°，
∴2×(45°+∠NFE)+∠NFE=180°，
∴∠NFE=30°．
∵∠APN=∠FPM，∠ANF=∠AMF=90°，
∴∠NAP=∠NFE=30°，
∴∠BAE=30°．
∴BE= 33AB= 3．
(1)①由正方形的性质得∠C=∠BAD=90°，再由折叠的性质得：∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，即可求解；
②根据折叠的性质即可求解；
(2)根据正方形的性质和折叠的性质得到△ANF是等腰直角三角形，再根据全等三角形的性质和判定求解即可．
(3)当点N落在折痕AE上，证明△ANF是等腰直角三角形，进一步求得∠BAE=30°，然后利用含30度的直角三角形解答即可．
本题考查了四边形的综合应用，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)四边形BCME是平行四边形．
证明：∵EM⊥OA．
∴△EMA为直角三角形，
∵∠BAO=30°
∴EM=12EA=t，
∵BC=t，
∴EM=BC，
∵EM⊥OA，BC⊥OA．
∴EM//BC，
∴四边形BCEM为平行四边形．
(2)①过点E作EG⊥AD于点G，
∵DE⊥AB，DE=3t，AE=4t，
∴AD= DE2+AE2=5t，
∵S△ADE=12DE×AE=12EG×AD，
∴12×3t×4t=12EG⋅5t，
解得：EG=12t5，
根据题意得：CE//x轴，
∴CE⊥OC，
∴∠OCE=∠COG=∠OGE=90°，
∴四边形OCEG为矩形，
∴OC=EG=12t5，
∴C(0,125t)；
②∵四边形CEFD为菱形，
∴CD=CE=OG，
∵DE=3t，EG=12t5，
∴DG= DE2−EG2=95t，
在直角三角形AED中，EF=DF，
∴EF=12DF=52t，
∴OD=OG−GD=52t−95t=710t，
∵OD+AD=8，
∴710t+5t=8，
∴t=8057．
【解析】(1)证出EM=BC，由平行四边形的判定可得出结论；
(2)①过点E作EG⊥AD于点G，求出AD= DE2+AE2=5t，证明四边形OCEG为矩形，得出OC=EG=12t5，则可得出结论；
②由菱形的性质得出CD=CE=OG，由勾股定理求出DG，则可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．
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