2023-2024学年北京市通州区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年北京市通州区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.不等式x<1的解集在数轴上的表示，正确的是( )
A. B.
C. D.
2.如果xA. x−1>y−1B. x+1>y+1C. −2x<−2yD. 2x<2y
3.下列去括号所得结果正确的是( )
A. x2−(2x−1)=x2−2x−1B. x2−(−2x+1)=x2−2x−1
C. x2−(−2x−1)=x2+2x+1D. x2−(2x+1)=x2−2x+1
4.已知方程x+2y=6，下列选项中是此方程的解的是( )
A. x=1,y=2B. x=4,y=1C. x=−2,y=2D. x=−1x=3
5.已知方程y2−x=5，用含x的代数式表示y，正确的是( )
A. y=2x+10B. y=2x+5C. y=−2x+10D. y=−2x+5
6.已知关于x，y的二元一次方程ax−y=7，如表中给出的几组x，y的值都是此方程的解，则a的值为( )
A. −2B. 1C. 2D. 3
7.若不等式组2x>3,x≤m的整数解只有四个，则m的取值范围是( )
A. 28.两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是( )
A. −m2B. m2C. m3D. −m3
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.写出一个解为x=3,y=1的二元一次方程______．
10.如果3×9×27=3m，那么m的值为______．
11.列不等式：y的2倍与x的和不小于3，则不等式可列为：______．
12.已知(x+a)⋅(x+b)=x2+kx+ab，则k= ______.(用含有a，b的代数式表示)
13.计算：3x2y⋅(−2xy3)=______．
14.如果代数式−2a+3b+8的值为18，那么代数式9b−6a+2的值等于______．
15.小明购买笔记本，现在有A，B两种笔记本可供选择购买，A种，每本6元，B种，每本4元，他一共花了40元钱，则小明的购买方案有______种.
16.对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如：[5.7]=5，[5]=5，[−1.5]=−2，如果[2x−35]=−4，则满足条件的所有整数x的和为______．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)2x+2(7x−2y)−2(x+6y)；
(2)3(2a+1)(2a−1)−4(a+1)(3a+5)．
18.(本小题8分)
解下列不等式和不等式组：
(1)解不等式1−2x>x−1，并把解集在数轴上表示出来．

(2)解不等式组：3x−4≤5,2x−13>x−22,并写出不等式组的所有整数解．
19.(本小题8分)
解下列方程组：
(1)y=3,2x+5=y.；
(2)2x+3y=5x+3y=1．
20.(本小题8分)
求下列代数式的值：
(1)2x2y−[xy2−13(6xy2−9x2y)]，其中x=2，y=−3．
(2)已知x+y=4，xy=2，求(x−y)2的值．
21.(本小题6分)
已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解为x=2y=1和x=−1y=−5．
(1)求k，b的值；
(2)当x=5时，求y的值．
22.(本小题6分)
《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗，价格是50钱；普通酒一斗，价格是10钱．现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普通酒各多少？请你建立适当的数学模型，解决上面问题．
23.(本小题6分)
在学习整式的乘法时我们常常利用平面图形中面积的等量关系验证某些数学公式.观察下面图形，解答下列问题．

(1)根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，根据图②能得到的数学公式是______；
(2)如图③，写出(a+b)、(a−b)、ab之间的等量关系是______；
(3)根据图④，写出一个满足图形的等式：______，并用多项式乘以多项式的法则证明写出的等式成立．
24.(本小题6分)
小明在超市给全家购买五一小长假出游所需的小食品，若购买1袋薯片和3瓶饮料共需要26元，若购买2袋薯片和1瓶饮料共需要22元．
(1)求1袋薯片和1瓶饮料各多少元？
(2)小明家5人一起在五一期间出游，他买了薯片和饮料一共15件，总价钱不超过100元，那么最多能买多少袋薯片？
25.(本小题6分)
莉莉在归纳有理数运算时得到下列结论：对于任意两个有理数a，b，①如果ab=0，那么a=0或者b=0；②如果ab>0，那么a>0b>0或者a<0b<0；③如果ab<0，那么a>0b<0或者a<0b>0.我们发现这些结论在整式运算中仍然成立．
例如，解不等式(x−1)(x+2)>0.由不等式(x−1)(x+2)>0可得：不等式组①x−1>0x+2>0或不等式组②x−1<0x+2<0，解不等式组①得x>1，解不等式组②得x<−2，∴不等式(x−1)(x+2)>0的解集为x>1或x<−2．
请你完成下列任务．
(1)解方程：(x−2)(x−3)=0；
(2)求不等式(2x+1)(1−x)<0的解集；
(3)求不等式3x−1x+2>0的解集；
(4)如果(1)中方程的两个解，都是关于x的不等式组x26.(本小题6分)
用如图(1)中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图(2)的横式和竖式两种无盖纸盒．
(1)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？
(2)若仓库里有a张长方形纸板和b张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则a+b应满足什么条件，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：不等式x<1的解集在数轴上表示为：
故选：C．
将已知解集表示在数轴上即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
2.【答案】D
【解析】解：A、在不等式xB、在不等式xC、在不等式x−2y，不符合题意；
D、在不等式x故选：D．
根据不等式的性质进行分析判断．
本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．
3.【答案】C
【解析】解：A.x2−(2x−1)=x2−2x+1，因此选项A不符合题意；
B.x2−(−2x+1)=x2+2x−1，因此选项B不符合题意；
C.x2−(−2x−1)=x2+2x+1，因此选项C符合题意；
D.x2−(2x+1)=x2−2x−1，因此选项D不符合题意．
故选：C．
根据去括号法则逐项进行判断即可．
本题考查去括号，掌握去括号法则是正确解答的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵当x=1y=2时，x+2y=1+2×2=5≠6，
∴x=1y=2不是方程x+2y=6的解；
故选项A不符合题意；
∵当x=4y=1时，x+2y=4+2×=6，
∴x=4y=1是方程x+2y=6的解；
故选项B符合题意；
∵当x=−2y=2时，x+2y=−2+2×2=2≠6，
∴x=−2y=2不是方程x+2y=6的解；
故选项C不符合题意；
当x=−1y=3时，x+2y=−1+2×2=3≠6，
∴x=−1y=3不是方程x+2y=6的解；
故选项D不符合题意．
故选：B．
分别将各选项中x，y的值代入方程x+2y=6之中，能够满足该方程的x，y的值即为该方程的解，否则就不是该方程的解．
此题主要考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程解的定义是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：y2−x=5，
y−2x=10，
解得y=2x+10，
故选：A．
把x看作已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由表可知：方程的一组解为x=2y=−1，
代入方程ax−y=7得：2a+1=7，
解得：a=3，
故选：D．
把x=2y=−1代入方程ax−y=7得出2a+1=7，求出a即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义(使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解)是解此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：2x>3①x≤m②，
由①得，x>32，
∵不等式组有4个整数解，
∴5≤m<6，
故选：C．
根据不等式组有4黄瓜整数解，构建关于m的不等式即可．
本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】B
【解析】解：设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为n，
根据题意得：x+2y=m，x=2y，即y=14m，
图①中阴影部分的周长为2(n−2y+m)=2n−4y+2m，图②中阴影部分的周长2n+4y+2y=2n+6y，
则图②与图①的阴影部分周长之差是2n+6y−(2n−4y+2m)=10y−2m=52m−2m=m2．
故选：B．
设图中小长方形的长为x，宽为y，表示出两图形中阴影部分的周长，求出之差即可．
此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.【答案】x−y=2(答案不唯一)
【解析】解：∵x=3，y=1，
∴该方程可以为x−y=2．
故答案为：x−y=2(答案不唯一)．
由x、y的值，可得出x+y的值，用其组成方程即可．
本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键．
10.【答案】6
【解析】解：∵3×9×27=3×32×33=36，3×9×27=3m，
∴36=3m，
∴m=6，
故答案为：6．
把已知条件中的9和27都写成底数是3的幂，然后按照同底数幂相乘法则进行计算，再根据计算结果，求出m即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则．
11.【答案】2y+x≥3
【解析】解：由题易得，不等式可列为：2y+x≥3．
故答案为：2y+x≥3．
首先表示为y的2倍为“2y”，再表示“与x的和”为2y+x，最后用“不小于”即≥连接可得．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
12.【答案】a+b
【解析】解：(x+a)(x+b)
=x2+ax+bx+ab
=x2+(a+b)x+ab，
∵(x+a)⋅(x+b)=x2+kx+ab，
∴k=a+b，
故答案为：a+b．
先根据多项式乘多项式法则计算(x+a)(x+b)，然后根据已知条件中的等式，求出答案即可．
本题主要考查了整式的乘法运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
13.【答案】−6x3y4
【解析】解：3x2y⋅(−2xy3)=−6x3y4．
故答案为：−6x3y4．
根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14.【答案】32
【解析】解：由题意得：−2a+3b=10
9b−6a+2=3(−2a+3b)+2=32
故填32
将代数式9b−6a+2变形为3(−2a+3b)+2，再将−2a+3b=10代入可得出结果．
本题考查代数式的求值，关键在于整体代入法的运用．
15.【答案】4
【解析】解：设单价为6元的笔记本买了x本，单价为4元的笔记本买了y本，
根据题意得：6x+4y=40，
∴y=10−32x，
又∵x，y均为自然数，
∴x=0y=10或x=2y=7或x=4y=4或x=6y=1，
∴小明的购买方案有4种．
故答案为：4．
设单价为6元的笔记本买了x本，单价为4元的笔记本买了y本，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出小明的购买方案有4种．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
16.【答案】−15
【解析】解：∵[2x−35]=−4，
∴−4≤2x−35<−3，
∴−20≤2x−3<−15，
∴−17≤2x<−12，
∴−172≤x<−6，
关于x的所有整数为−8，−7，
−8+(−7)=−15．
故答案为−15．
由已知等式得出−4≤2x−35<−3，解之得出−172≤x<−6，从而得出整数x的值，从而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：(1)2x+2(7x−2y)−2(x+6y)
=2x+14x−4y−2x−12y
=14x−16y；
(2)3(2a+1)(2a−1)−4(a+1)(3a+5)
=3(4a2−1)−4(3a2+5a+3a+5)
=12a2−3−12a2−20a−12a−20
=−32a−23．
【解析】(1)先去括号，再合并同类项，即可解答；
(2)利用平方差公式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，整式的加减，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)1−2x>x−1，
−3x>−2，
x<23，

(2)3x−4≤5①2x−13>x−22②，
由①得，x≤3，
由②得，4x−2>3x−6，
x>−4，
∴−4∴不等式组的整数解为−3，−2，−1.0，1，2，3．
【解析】(1)求出不等式的解即可；
(2)求出不等式组的公共解，可得结论．
本题考查一元一次不等式组的解，一元一次不等式等知识，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法．
19.【答案】解：(1)y=3①2x+5=y②，
①代入②，可得：2x+5=3，
解得x=−1，
∴原方程组的解是x=−1y=3．
(2)2x+3y=5①x+3y=1②，
①−②，可得x=4，
把x=4代入①，可得：2×4+3y=5，
解得y=−1，
∴原方程组的解是x=4y=−1．
【解析】(1)应用代入消元法，求出方程组的解即可；
(2)应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
20.【答案】解：(1)2x2y−[xy2−13(6xy2−9x2y)]
=2x2y−(xy2−2xy2+3x2y)
=2x2y−xy2+2xy2−3x2y
=−x2y+xy2，
当x=2，y=−3时，原式=−22×(−3)+2×(−3)2=−4×(−3)+2×9=12+18=30；
(2)∵x+y=4，xy=2，
∴(x−y)2=(x+y)2−4xy
=42−4×2
=16−8
=8．
【解析】(1)先去小括号，再去中括号，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；
(2)利用完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意，得1=2k+b−5=−k+b，
解得k=2b=−3；
(2)把k=2b=−3代入y=kx+b，得y=2x−3．
当x=5时，y=2×5−3=10−3=7．
【解析】(1)把已知x、y的对应值代入二元一次方程y=kx+b中，求出k、b的值即可；
(2)根据(1)中k、b的值得出关于x、y的二元一次方程，把x=5代入该方程求出y的值．
本题考查的是解二元一次方程，先根据题意得出k、b的值是解答此题的关键．
22.【答案】解：设买美酒x斗，普通酒y斗，
依题意，得：x+y=250x+10y=30，
解得：x=0.25y=1.75．
答：买美酒0.25斗，普通酒1.75斗．
【解析】设买美酒x斗，普通酒y斗，根据现在买两种酒2斗共付30钱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23.【答案】(a−b)2=a2−2ab+b2 (a+b)2=(a−b)2+4ab (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
【解析】解：(1)图②中，“较大的正方形”的边长为(a−b)，因此面积为(a−b)2，
“大正方形”的边长为a，因此面积为a2，“最小正方形”的边长为b，因此面积为b2，两个长方形的面积和为(2ab−b2)，
所以有(a−b)2=a2−(2ab−b2)=a2−2ab+b2，
故答案为：(a−b)2=a2−2ab+b2；
(2)图③中，“大正方形”的边长为(a+b)，因此面积为(a+b)2，
“小正方形”的边长为(a−b)，因此面积为(a−b)2，
四个长方形的面积和为4ab，
所以有(a+b)2=(a−b)2+4ab，
故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab；
(3)大正方形的边长为(a+b+c)，因此面积为(a+b+c)2，
组成大正方形的9个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
所以有(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
证明：(a+b+c)2
=(a+b+c)(a+b+c)
=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
(1)用代数式分别表示图形中各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系进行解答即可；
(2)用代数式表示图③中各个部分面积，再根据各个部分面积之间的和差关系进行解答即可；
(3)从整体上表示大正方形的面积，再用代数式表示9个部分面积，由面积之间的和差关系即可得出答案．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
24.【答案】解：(1)设1袋薯片x元，1瓶饮料y元，
根据题意得：x+3y=262x+y=22，
解得：x=8y=6．
答：1袋薯片8元，1瓶饮料6元；
(2)设小明买了m袋薯片，则买了(15−m)瓶饮料，
根据题意得：8m+6(15−m)≤100，
解得：m≤5，
∴m的最大值为5．
答：最多能买5袋薯片．
【解析】(1)设1袋薯片x元，1瓶饮料y元，根据“购买1袋薯片和3瓶饮料共需要26元，购买2袋薯片和1瓶饮料共需要22元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设小明买了m袋薯片，则买了(15−m)瓶饮料，利用总价=单价×数量，结合总价不超过100元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：(1)(x−2)(x−3)=0，
x−2=0或x−3=0，
x1=2，x2=3；
(2)∵(2x+1)(1−x)<0，
∴可得不等式组①2x+1>01−x<0或不等式组②2x+1<01−x>0，
解不等式组①得：x>1，解不等式组②得：x<−12，
∴不等式(2x+1)(1−x)<0的解集为x>1或x<−12；
(3)∵3x−1x+2>0，
∴可得不等式组①3x−1>0x+2>0或不等式组②3x−1<0x+2<0，
解不等式组①得：x>13，解不等式组②得：x<−2，
∴不等式3x−1x+2>0的解集为x>13或x<−2；
(4)x解不等式①得：x解不等式②得：x≥m，
∴原不等式组的解集为：m≤x∵x1=2，x2=3都是关于x的不等式组的解，
∴m≤2m+2>3，
解得：1【解析】(1)利用解一元二次方程−因式分解法进行计算，即可解得；
(2)利用例题的解题思路进行计算，即可解答；
(3)利用例题的解题思路进行计算，即可解答；
(4)按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程−因式分解法，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设横式纸盒做x个，竖式纸盒做y个，
根据题意得：3x+4y=3002x+y=100，
解得：x=20y=60．
答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个；
(2)a+b是5的整数倍，理由如下：
设横式纸盒做m个，竖式纸盒做n个，
根据题意得：3m+4n=a2m+n=b，
∴a+b=5(m+n)，
又∵m，n均为正整数，
∴a+b是5的整数倍．
【解析】(1)设横式纸盒做x个，竖式纸盒做y个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)a+b是5的整数倍，设横式纸盒做m个，竖式纸盒做n个，根据制作的两种纸盒恰好用完a张长方形纸板和b张正方形纸板，可列出关于a，b的二元一次方程组，两方程相加，可得出a+b=5(m+n)，结合m，n均为正整数，即可得出a+b是5的整数倍．
本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．x
…
−1
0
1
2
…
y
…
−10
−7
−4
−1
…

2023-2024学年北京市通州区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

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