2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中七年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中七年级（下）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达平方米，在世界宫殿建筑群中面积最大．请将用科学记数法表示应为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是直线上一点，，射线平分，，则的度数为(    )
 

A.
B.
C.
D.

6.  关于的方程与有相同的解，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列等式的变形，错误的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

8.  我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．设绳索长尺．则符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  将两边长分别为和的正方形纸片按图、图两种方式置于长方形中，图、图中两张正方形纸片均有部分重叠，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图上中阴影部分的周长为，图中阴部分的周长为，则的值(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，河道的一侧有、两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向、两村，下列四种方案中最节省材料的是(    )
 

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  比较大小：______填“”，“”或“”．

12.  在如图所示的网格是正方形网格，点、、、、均在格点网格线交点上，那么 ______ 填“”，“”或“”．

13.  若，则______。

14.  一个角的补角是这个角余角的倍，则这个角是______度．

15.  对于有理数，定义运算“”如下：，则关于该运算，下列说法正确的有           请填写正确说法的序号

                                    如果，那么

该运算满足交换律                           该运算满足结合律

16.  如图，把长方形纸片沿纸片折叠后，点与点重合，点恰好落边上的点的位置，若，则的度数为          ．

17.  已知线段，在直线上取一点，使得，若，分别为，的中点，则______用含的式子表示

18.  如图，数轴上有，两点和一条线段，我们规定：若线段的中点在线段上点能与点或点重合，则称点与点关于线段“中线对称”．

已知点为数轴的原点，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，若点与点关于线段“中线对称”，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
解方程：．

20.  本小题分
已知，求代数式的值．

21.  本小题分
已知关于的整式，为常数．
若整式的取值与无关，求的值；
若当或时，与所对应的值分别相等，试求，的值．

22.  本小题分
如图，直线、相交于点，，平分．
若，求的度数；
若，请直接写出的度数用含的式子表示．

23.  本小题分
定义：关于的方程与方程均为不等于的常数称互为“相反方程”例如：方程与方程互为“相反方程”．
若关于的方程：的解是，则与方程互为“相反方程”的方程的解是______ ；
若关于的方程与其“相反方程”的解都是整数，求整数的值；
若关于的方程与互为“相反方程”，直接写出代数式的值．

24.  本小题分
若两个角的差的绝对值等于，则称这两个角互为“垂角”例如：
，，，则与互为“垂角”本题中所有角都是指大于且小于的角．
已知一个角比它的“垂角”的少，求这个角的度数；
如图所示，，，是否存在射线，使得与互为“垂角”？若存在，直接写出的度数；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
有若干个正数的和为，其中每个正数都不大于小明将这些正数按下列要求进行分组：
每组中所有数的和不大于；
从这些数中选择一些数构成第组，使得与这组数之和的差与所有可能的其它选择相比是最小的，将称为第组的余差；
在去掉已选入第组的数后，对余下的数按第组的选择方式构成第组，这时的余差为；
如此继续构成第组余差为、第组余差为、，第组余差为，直到把这些数全部分完为止．
除第组外的每组至少含有______ 个正数；
小明发现，按照要求进行分组后，得到的余差满足，并且当构成第组后，如果从余下的数中任意选出一个数，与的大小关系是一定的，请你直接写出结论： ______ 填“”或“”，并证明；
无论满足条件的正数有多少个，按照分组要求，它们最多可以分成______ 组直接写出答案．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数和绝对值的意义．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
【解答】
解：的相反数是，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示应为．
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此解答即可．
【解答】
解：，故本选项符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
D.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，
，，
，故选项A不合题意；
，故选项B不合题意；
，故选项C符合题意；
，故选项D不合题意；
故选：．
根据，可得，再根据有理数的减法和乘除法法则判断即可．
本题考查了数轴，有理数的加法以及有理数的乘除法，根据题意得出，是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据已知求出，结合垂直和角平分线即可求解．

【解答】
解：因为，
所以，
因为平分，
所以，
因为，
所以，
则．
故选：．
【点评】
本题考查邻补角，角平分线的定义，垂直的定义等知识，属于基础题，求出是解题关键．

6.【答案】 

【解析】解：解方程得，，
解方程得，，
与是同解方程，
，
解得．
故选：．
分别解两个方程，令其解含相等，再解关于未知系数的方程即可．
本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据等式的性质，由．，则或，那么A错误，故A符合题意．
B.根据等式的性质，由，则，那么B正确，故B不符合题意．
C.根据等式的性质，由，则，那么C正确，故C不符合题意．
D.根据等式的性质，由，则，那么D正确，故D不符合题意．
故选：．
根据等式的性质解决此题．
本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设绳索长尺，则竿长尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】
解：设绳索长尺，则竿长尺，
依题意，得：．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
根据周长的计算公式，列式子计算解答．
此题主要考查了整式的加减，掌握整式的加减的法则是解题的关键．
【解答】
解：由题意知：，
因为四边形是长方形，
所以
所以，
同理，，
故C．
 故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了垂线段最短和两点间线段距离最短的知识运用，正确运用垂线段最短和两点间线段距离最短对比四种方案进行比较是本题的解题关键．
结合垂线段最短和两点间线段距离最短，可以得到方案相对最短．
【解答】
解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：

故选B．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是有理数大小的比较，熟知以下知识是解答此题的关键：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小．
根据负数比较大小的法则进行比较即可．
【解答】
解：因为，
所以，
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：由图可知，．
故答案为：．
通过图示解决此题．
本题主要考查角的大小比较，熟练掌握角的大小比较的方法是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解；，，
。
故答案为：。
先观察，找出与代数式之间的内在联系后，代入求值。
主要考查了代数式求值问题。代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，把所求的代数式变形整理出题设中的形式，利用“整体代入法”求代数式的值。
 

14.【答案】 

【解析】解：设这个角为，
由题意得，，
解得，
则这个角是，
故答案为：．
设这个角为，根据余角和补角的概念、结合题意列出方程，解方程即可．
本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的结论是否正确．根据对于有理数，定义运算“”如下：，可以判断各个小题中的结论是否成立．
【解答】
解：对于有理数，定义运算“”如下：，
，，
，故正确，
，，，
，故正确，
当时，则，故错误，
，，
，故正确，
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
根据折叠可得是的平分线，再利用平角的定义即可求解．
本题考查了折叠问题、角平分线定义、角的计算，解决本题的关键是掌握角平分线定义．
【解答】
解：由折叠可知：
是的平分线，
，
．
故答案为．  

17.【答案】或 

【解析】解：如图，当点在线段上时，

因为线段、的中点分别是、，
所以，，
又因为，，
所以；
当点在线段的延长线上时，

因为线段、的中点分别是、，
所以，，
又因为，，
所以
故答案为：或
分两种情况进行讨论，先画图来确定、、三点的位置，然后根据这三点的位置来确定的长．
本题主要考查了两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．
 

18.【答案】 

【解析】解：根据题意可知当点与点关于线段“中线对称”，点为对称点时，的值最大，
，
，
的值为，

故答案为：．
读懂题意，利用题目给的新定义“中线对称”计算的值．
本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．
 

19.【答案】解：


．

去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：． 

【解析】首先计算乘方，然后计算除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

20.【答案】解：原式
，
，
原式

． 

【解析】直接去括号，再合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的加减化简求值，正确合并同类项是解题关键．
 

21.【答案】解：，，


，
其值与无关，
，，
解得：，，
；
当或时，得：
，
解得：． 

【解析】利用整式的加减法的法则进行运算，再结合条件求得，的值，再代入运算即可；
把相应的值代入，得到关于，的二元一次方程组，解方程组即可．
本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

22.【答案】解；，
，
平分，
，
，
，
；
平分，
，
，
，
． 

【解析】由垂直的性质得到，由对顶角的性质得到，由角平分线定义得到的度数，即可求出的度数；
由角平分线的定义得到，由对顶角的性质得到．
本题考查垂线，角平分线的定义，对顶角的性质，关键是掌握垂直的定义，角平分线的定义，对顶角的性质．
 

23.【答案】 

【解析】解：关于的方程：的解是，
，
，
方程为，
方程的“相反方程”是，
解得．
故答案为：；
关于的方程的“相反方程”为，
由得，
由得，
关于的方程与其“相反方程”的解都是整数，
与都为整数，
又为整数，
，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
综上所述，整数的值为，，，；
将方程整理得，，
关于的方程与互为“相反方程”，
，，
，
，







．
先将代入方程，求出的值，再根据“相反方程”的定义得出方程的“相反方程”，解方程即可；
先分别求出方程与其“相反方程”的解，再根据两个方程的解均为整数，可得与都为整数，由此可得整数的值；
先根据“相反方程”的定义得出，再将化简变形为，然后代入计算即可．
此题考查的是新定义，一元一次方程的解，正确理解互为“相反方程”的定义是解决此题的关键．
 

24.【答案】解：设这个角为，它的垂角为，
根据题意，得
解得
故这个角的度数为；
的度数为：或或．
理由如下：
分两种情况：
在的内部时，
有
解得或，
，
或；
在外部时，

解得或，
，
或舍去，
故的度数为：或或． 

【解析】根据“垂角”定义和给定的关系列方程组解答即可；
分两种情况，利用“垂角”定义，再根据图形和已知条件中与和的关系列方程组解答即可．
本题考查新定义下角的和差倍分计算，解答时运用到二元一次方程组组的解法，理解“垂角”的含义是解题的关键．
 

25.【答案】     

【解析】解：由题意可得，
每组中所有数的和不大于，
，
每组至少有个数，
故答案为：；
，
分完组后还有数没有分，
余下的每一个数都大于，余下的数的和一定大于，
第一组数的和为，第二组数的和为，，第组数的和为，第组数的和为，
，
，
，
，
，
，
；
由知，，
设最多可以分成组，则第组后还有数没有分完，
余下的每一个数都大于，且，
余下的每个数，
每一组至少含有个数，
第组的数的和大于，
，
，
，
最多可以分组，
故答案为：．
由题意可得，则，当时，可知每组至少个数；
根据题意可知，余下的每一个数都大于，余下的数的和一定大于，第一组数的和为，第二组数的和为，，第组数的和为，第组数的和为，则，再由，根据不等式的性质可得，得到，即可证明；
由知，，设最多可以分成组，则第组后还有数没有分完，根据余下的每个数，每一组至少含有个数，则第组的数的和大于，即可得到，再由，求出，即可求解．
本题考查数字的变化规律，弄清条件，结合不等式的性质，适当的放缩不等式是解题的关键．