2023-2024学年北京市昌平二中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市昌平二中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.肥皂属于碱性，碱性会破坏细菌的内部结构，对去除细菌有很强的效果，用肥皂洗手对预防传染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m，将数字0.0000007用科学记数法表示应为( )
A. 7×10−6B. 0.7×10−6C. 7×10−7D. 0.7×10−7
2.不等式x≤2的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
3.若x=2y=1是关于x，y的二元一次方程x+my=5的解，则m的值为( )
A. 2B. 3C. 5D. 7
4.下列运算式中，正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a3)3=a9C. (2a2)2=2a4D. a6÷a3=a2
5.若aA. a+4−2bD. 12a>12b
6.长方形的面积是12a2−6ab.若一边长是3a，则另一边长是( )
A. 4a+2bB. 4a−2bC. 2a−4bD. 2a+4b
7.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？设笼中鸡有x只，兔有y只，则下面方程组正确的是( )
A. 2x+4y=35x+y=94B. x+y=354x+2y=94C. x+y=352x+4y=94D. x+y=352x−4y=94
8.在“互联网+”时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20.如图中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20=9(其中20=1)，表示该生为9班学生，下面表示5班学生的识别图案是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.计算：
(1)3−2= ______；
(2)(−6)0= ______．
10.x的3倍与5的差小于6，用不等式表示为______．
11.写出一个解是x=1y=−2 的二元一次方程组：______．
12.若(x−4)2=x2+kx+16，则k的值是______．
13.已知xm=2，xn=3，则xm+n=______．
14.若|x−2|+(2x−3y+5)2=0，则x+y= ______．
15.不等式组x+9<5x+1x>m+1的解集是x>2，则m的取值范围是______．
16.A，B，C三种原料每袋的重量(单位：kg)依次是1，2，3，每袋的价格(单位：万元)依次是3，2，5.现生产某种产品需要A，B，C这三种原料的袋数依次为x1，x2，x3(x1,x2,x3均为正整数)，则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W(单位：kg)= ______(用含x1，x2，x3的代数式表示)；为了提升产品的品质，要求W≥13，当x1，x2，x3的值依次是______时，这种产品的成本最低．
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
17.计算：2x2+(3y2−xy)−(x2−3xy)．
18.计算：(x+3)(x−2)+x(x+1)
四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
a3⋅a4⋅a+(a2)4+(−2a4)2．
20.(本小题5分)
解不等式：2(x−4)>2−3x，并把它的解集在数轴上表示出来．
21.(本小题5分)
解方程组：y=2x3x+2y=7．
22.(本小题5分)
解方程组：4x+3y=13x−2y=5．
23.(本小题6分)
解不等式组4x+1≤2x+72x+83>1−x，并写出它的所有整数解．
24.(本小题6分)
已知a2−2a−1=0，求代数式(2a+1)(2a−1)+(a−5)2的值．
25.(本小题6分)
在整式乘法的学习过程中，我们常常利用图形的面积对运算结果加以说明．例如由图①中图形的面积可以得到等式：m(a+b+c)=ma+mb+mc．
(1)利用图②中图形的面积关系，写出一个正确的等式：______；
(2)计算(2a+b)(a+b)的值，并画出几何图形进行说明．
26.(本小题6分)
关于x，y的二元一次方程组2x+y=−3m+2x+2y=m的解满足x+y>2.求m的取值范围．
27.(本小题7分)
为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品.已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需131元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元．
(1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？
(2)经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书.如果学校用于购买奖品的资金不超过8000元，那么科技类图书最多能买多少本？
28.(本小题7分)
对于二元一次方程x−2y=2的任意一个解x=m,y=n,给出如下定义：若|m|≥|n|，则称|m|为方程x−2y=2的“关联值”；若|m|<|n|，则称|n|为方程x−2y=2的“关联值”．
(1)写出方程x−2y=2的一个解，并指明此时方程的“关联值”；
(2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解；
(3)直接写出方程x−2y=2的最小“关联值”为______；当关联值为|m|时，直接写出x的取值范围是______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：0.0000007=7×10−7．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可解答．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，
正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：不等式x≤2的解集在数轴上表示时，数轴上表示2的点用实心点，然后选择数轴上表示2是点的左边的区域，如下图所示：
，
故选：B．
把已知不等式的解集在数轴上表示出来，然后观察各个选项进行解答即可．
本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，解题关键是注意：在数轴上，包含这个点表示的数用实心圆表示，不包含这个点表示的数用空心圆表示．
3.【答案】B
【解析】解：将x=2y=1代入原方程得：2+m=5，
解得：m=3，
∴m的值为3．
故选：B．
将x=2y=1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A选项，原式=a5，故A错误，
C选项，原式=4a4，故C错误，
D选项，原式=a3，故D错误，
故选B
根据整式的运算法则即可判断．
本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘除法，积的乘方等知识．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵a∴a+4B、∵a∴a−3C、∵a∴−2a>−2b，故本选项不符合题意；
D、∵a∴12a<12b，故本选项符合题意；
故选：D．
由不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的基本性质，不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
6.【答案】B
【解析】解：∵长方形的面积是12a2−6ab，一边长是3a，
∴它的另一边长是：(12a2−6ab)÷3a=12a2÷3a−6ab÷3a=4a−2b．
故选：B．
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，可列方程组为x+y=352x+4y=94．
故选：C．
根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
8.【答案】B
【解析】解：A.∵a=0，b=0，c=1，d=1．
∴0×23+0×22+1×21+1×20=3，
∴该生为3班学生，
B.∵a=0，b=1，c=0，d=1．
0×23+1×22+0×21+1×20=5，
∴该生为5班学生，
C.∵a=0，b=1，c=1，d=0．
0×23+1×22+1×21+0×20=6，
∴该生为6班学生，
D.∵a=0，b=1，c=1，d=1．
0×23+1×22+1×21+1×20=7，
∴该生为7班学生，
则表示5班学生的识别图案是B，
故选：B．
仿照二维码转换的方法根据公式计算即可得出结论．
此题考查了规律型：图形的变化类，用数字表示事件，弄清题中的转换方法是解本题的关键．
9.【答案】19 1
【解析】解：(1)3−2=19；
(2)(−6)0=1．
故答案为：(1)19；(2)1．
(1)直接利用负整数指数幂的性质计算得出答案；
(2)直接利用零指数幂的性质计算得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
10.【答案】3x−5<6
【解析】解：根据题意可得：3x−5<6．
故答案为：3x−5<6．
直接根据题意得出3x−5小于6，进而得出不等式．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意表示出不等关系是解题关键．
11.【答案】x+y=−1x−y=3(答案不唯一)
【解析】解：根据题意得：x+y=−1x−y=3．
故答案为：x+y=−1x−y=3(答案不唯一)．
根据1+(−2)=−1，1−(−2)=3列出方程组即可．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
12.【答案】−8
【解析】解：∵(x−4)2=x2+kx+16，(x−4)2=x2−8x+16，
∴k=−8．
故答案为：−8．
根据完全平方公式，即可求解．
本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
13.【答案】6
【解析】【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】
解：∵xm=2，xn=3，
∴xm+n=xm⋅xn=2×3=6．
故答案为6．
14.【答案】5
【解析】解：由题可知，
x−2=02x−3y+5=0，
解得x=2y=3，
则x+y=2+3=5．
故答案为：5．
先根据非负数的性质以及绝对值的性质求出x与y的值，再代入进行计算即可．
本题考查非负数的性质、绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
15.【答案】m≤1
【解析】解：x+9<5x+1 ①x>m+1 ②，
由①得：x>2，
由②得：x>m+1，
∵不等式组x+9<5x+1x>m+1的解集是x>2，
∴2≥m+1，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
首先求出两个不等式的解集，然后根据不等式组的解集的确定方法：大大取大可得到2≥m+1，即可得答案．
本题主要考查了不等式组的解法，关键是能根据不等式的解集和已知得出2≥m+1．
16.【答案】x1+2x2+3x3 1，5，1
【解析】解：∵总重=各类型数量×单位重量之和，
∴W=x1+2x2+3x3，
当W≥13时，由题得：当产品成本最低时，产品原料总重也应最低，
∴W=13，即x1+2x2+3x3=13，
∵x1，x2，x3均为正整数，
由配凑试根得：x1=1，x2=5，x3=1．
故答案为：x1+2x2+3x3；1，5，1．
先根据总重=各类型数量×单位重量之和，得出W，再判断出成本最低时总量最低，得出W=13，再试根求出答案即可．
本题考查了不等式的应用，解题关键是利用配凑试根法求方程的解．
17.【答案】解：原式=2x2+3y2−xy−x2+3xy=x2+3y2+2xy．
【解析】原式去括号合并即可得到结果．
此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：(x+3)(x−2)+x(x+1)
=x2+x−6+x2+x
=2x2+2x−6．
【解析】先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式法则，再合并同类项．
本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式、单项式乘多项式法则是解决本题的关键．
19.【答案】解：原式=a3+4+1+a2×4+4a8，
=a8+a8+4a8，
=6a8．
【解析】首先根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算a3⋅a4⋅a，再根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算(a2)4，再根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算(−2a4)2.最后算加减即可．
此题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，关键是熟练掌握各种计算法则．
20.【答案】解：去括号得，2x−8>2−3x
移项，合并同类项得，5x>10
系数化为1得，x>2；
数轴表示如下：
．
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再在数轴上表示即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
21.【答案】解：y=2x①3x+2y=7②，
①代入②得，3x+2×2x=7，
解得x=1，
把x=1代入①得，y=2，
所以方程组的解为x=1y=2．
【解析】利用代入消元法将方程①代入方程②求出x的值，再代入求出y的值即可．
本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法是正确解答的关键．
22.【答案】解：4x+3y=1①3x−2y=5②，
①×2+②×3，可得17x=17，
解得x=1，
把x=1代入①，可得：4×1+3y=1，
解得y=−1，
∴原方程组的解是x=1y=−1．
【解析】应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
23.【答案】解：4x+1≤2x+7①2x=83>1−x②，
由①得，2x≤6，
x≤3，
由②得，2x+8>3−3x，
5x>−5，
x>−1，
∴−1∴不等式组的整数解为0，1，2，3．
【解析】求出各个不等式的解集，再寻找解集的公共部分即可．
本题考查一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握解不等式组的方法．
24.【答案】解：原式=4a2−1+a2−10a+25
=5a2−10a+24，
当a2−2a−1=0时，
a2−2a=1，
原式=5(a2−2a)+24
=5×1+24
=5+24
=29．
【解析】根据平方差公式以及完全平方公式进行化简，然后将a2−2a=1代入原式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及平方差公式，本题属于基础题型．
25.【答案】解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2，图形如图所示：

【解析】解：(1)整个正方形的面积为(a+b)2，四块面积和为a2+2ab+b2，因此有(a+b)2=a2+2ab+b2，
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2，
(2)见答案．
(1)利用两种方法计算正方形的面积，可得等式；
(2)计算(2a+b)(a+b)的结果为2a2+3ab+b2，可知需要边长为a的正方形2块，需要长为a，宽为b的长方形3块，需要边长为b的正方形1块，然后画出相应的图形即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，单项式乘多项式的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．
26.【答案】解：两个方程相加可得3x+3y=−2m+2，
∵x+y>2，
∴3x+3y>6，
则−2m+2>6，
解得m<−2．
【解析】将两个方程相加得出3x+3y=−2m+2，结合x+y>2知3x+3y>6，据此列出关于m的不等式，解之可得．
本题主要考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，严格遵循解不等式的基本步骤是解答本题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
27.【答案】解：(1)设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元，
根据题意得：2x+3y=1314x+5y=237，
解得：x=28y=25．
答：科技类图书每本28元，文学类图书每本25元；
(2)设购买科技类图书m本，则购买文学类图书(300−m)本，
根据题意得：28m+25(300−m)≤8000，
解得：m≤5003，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为166．
答：科技类图书最多能买166本．
【解析】(1)设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元，根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需131元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买科技类图书m本，则购买文学类图书(300−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过8000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
28.【答案】23 x≥13或x≤−2．
【解析】解：(1)当x=0时，即0−2y=2，
解得y=−1，
∵|0|<|−1|，
∴此时方程的“关联值”为1，方程的解为x=0y=−1(答案不唯一)；
(2)∵“关联值”为4，
∴①当x=4时，即4−2y=2，解得y=1，
∴方程的解为x=4y=1；
②当x=−4时，即−4−2y=2，解得y=−3，
∴方程的解为x=−4y=−3；
③当y=−4时，即x−2×(−4)=2，解得x=−6，
∵|−6|>|−4|，
∴不符合题意，应舍去；
④当y=4时，即x−2×4=2，解得x=10，
∵|10|>|−4|，
∴不符合题意，应舍去；
综上所述，所有满足条件的方程的解有x=4y=1，x=−4y=−3；
(3)∵x−2y=2，
∴y=12x−1，
∵当x=0时，y=−1，
当|x|增大时，|y|先减小到0，然后再增大，
∴当|x|=|y|时，方程x−2y=2取得最小“关联值”，
∴联立y=12x−1y=−x，解得x=23y=−23，
∴方程x−2y=2的最小“关联值”为23；
当关联值为|m|时，即|m|≥|n|，
∴|x|≥|y|，
∴|x|≥|12x−1|；
∴①当x≥0，12x−1≥0时，即x≥0，x≥2时，
∴x≥12x−1，解得x≥−2，
∴x≥2；
②当x≥0，12x−1≤0时，即x≥0，x≤2时，
∴x≥−12x+1，解得x≥23，
∴23≤x≤2；
③当x≤0，12x−1≤0时，即x≤0，x≤2时，
∴x≤12x−1，解得x≤−2，
∴x≤−2；
④当x≤0，12x−1≥0时，即x≤0，x≥2时，
∴−x≥12x−1，解得x≤23，
∴x≤0；
综上所述，当x≥13或x≤−2时，关联值为|m|．
故答案为：23；x≥23或x≤−2．
(1)根据“关联值”的概念求解即可；
(2)根据“关联值”为4分情况列方程求解即可；
(3)根据题意得到y=12x−1，进而得到当|x|增大时，|y|先减小到0，然后再增大，然后联立y=12x−1y=−x求解即可；根据题意分四种情况分别列出不等式求解即可．
此题考查了二元一次方程的解和一元一次不等式，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系．