2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市海淀区首都师大附中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中是一次函数关系的是( )
A. y=−2xB. y=x2−1C. y= xD. y=2x−1
2.下列计算正确的是( )
A. (−3)2=3B. 4− 3=1C. 3× 2= 5D. 2+ 2=2 2
3.在△ABC中，三边长分别为3，4，5，那么△ABC的面积为( )
A. 12B. 6C. 152D. 125
4.如图，在▱ABCD中，∠B=42°，DE平分∠ADC，则∠DEC的度数为( )
A. 14°B. 18°C. 21°D. 22°
5.已知一次函数y=−x+b的图象经过点A(2,m)，B(4,n)，则m与n的大小关系为( )
A. m>nB. m6.已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=3，∠ACB=30°，延长DC至点E，使得CE=DC，连接OE交BC于点F，则CF的长度为( )
A. 1
B. 3
C. 2
D. 32
7.如图，在平面直角坐标系中，点P(−12,a)在直线y=2x+2与直线y=2x+4之间，则a的取值范围是( )
A. 2B. 1C. 1D. 08.如图，E，F，G，H分别是边长为4的正方形ABCD四条边上的点(不与顶点重合)，且满足AE=DH=CG=BF，记AF=x，则下列四个变量中，不存在最小值的是( )
A. BF
B. FE
C. FH
D. S四边形EFGH
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.函数y= x−3，自变量x的取值范围是 ．
10.直线y=−3x向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为______．
11.已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件______可使菱形ABCD成为正方形．
12.如图，在矩形ABCD，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BE的中点，G是BC的中点，连按EC，若AB=8，BC=14，则FG的长为______．
13.对于一次函数y=kx+b，下表中给出3组自变量和相应的函数值．
则a+k的值为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为(0,3)，(−12,32)，(4,0)，BD/​/x轴，则点D的坐标为______．
15.直线y=kx+b与y=mx在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式组−116.2024年3月14日森林学校举行了以π为主题的数学节，小兔和小龟进行了新型的“龟兔赛跑”比赛，它们在校园的π型跑道(图1)进行赛跑，小兔以A为起点，沿着A−E−D的线路到达终点D，小龟以B为起点，沿着B−E−C的线路到达终点C.小龟提前出发，小兔和小龟在经过线路中的大树E时都休息了2分钟，再以原速度继续比赛，最终小兔和小龟同时到达各自的终点.设小兔所跑的时间为x分钟(0≤x≤14)，小龟所跑的路程S1与小兔所跑的路程S2差为y米，y=S1−S2，图2是y与x的函数关系图象，则下列说法正确的是______(填写正确的序号).①小龟跑了500米后小兔出发；
②当x=8时，小龟到达大树E开始休息；
③小兔的速度为100米/分钟，大树E距离小兔的起点A800米．
三、解答题：本题共10小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)2 3− 12+ 18；
(2) 3⋅2 3+(1+ 3)(1− 3)．
18.(本小题5分)
如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF.求证：AF=EC．
19.(本小题5分)
已知x= 5−1，求代数式x2+2x−3的值．
20.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=−2x+2．
(1)完成下列表格：
(2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)根据图象回答：当y>0时，x的取值范围是______．
21.(本小题5分)
已知：在△AOD中，∠AOD=90°．
求作：菱形ABCD．
作法：
①延长AO，以点O为圆心，OA长为半径作弧，与AO的延长线交于点C；
②延长DO，以点O为圆心，OD长为半径作弧，与DO的延长线交于点B；
③连接AB，BC，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的菱形．
(1)使用直尺和圆规作图(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AO= ______，DO= ______，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠AOD=90°，
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形.(______)(填推理的依据)．
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点M(4,3)，N(−3,2)，P(−2,−2)．
(1)若一次函数y=2x+b的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值；
(2)当k>14时，在图中用阴影表示直线y=kx+1运动的区域，并判断在点M，N，P中直线y=kx+1不可能经过的点是______．
23.(本小题5分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE/​/CD，过点C作CE/​/AB，BE、CE相交于点E．
(1)求证：四边形CEBD是菱形；
(2)过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB=10，CF=3，求DG的长．
24.(本小题6分)
如图是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数.下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当输入的x的值为6时，此时输出的y的值为______；
(2)当输出的y的值满足−2≤y<−1时，求输入的x的值的取值范围；
(3)若输入x的值分别为m，m+3，对应输出y的值分别为y1，y2，是否存在实数m，使得y1>y2恒成立？若存在，请直接写出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
25.(本小题7分)
已知正方形ABCD中，点E是射线BC上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交直线CD于点M，交直线AB于点N，交AE于点F．
(1)如图1，当点E在正方形的边BC上时，
①依题意补全图形；
②求证：MN=AE；
(2)如图2，当点E在BC的延长线上时，连接BD并延长交NM的延长线于点P，连接PE．
①直接写出∠PEA的度数为______；
②用等式表示线段PF，PM，FN之间的数量关系，并证明．
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，若在坐标系中存在一点P使得四边形OMPN为菱形，则称线段MN为点O的“关联线段”．
(1)已知点M(1,3)，则下列点N中，可以使得MN成为点O的“关联线段”的是______；
①(−3,1)②(2,2)③(2 2,− 2)
(2)已知点O的“关联线段”MN过点(1,1)，且OM=2，求出线段OP的最大值；
(3)已知点M(−3,0)，若存在点O的“关联线段”MN与直线y=kx−6k有交点，直接写出k的取值范围为______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.函数y=−2x是反比例函数，不是一次函数，故本选项不符合题意；
B.函数y=x2−1是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意；
C.函数y= x不是一次函数，故本选项不符合题意；
D.函数y=2x−1是一次函数，故本选项符合题意．
故选：D．
根据一次函数的定义逐个判断即可．
本题考查了一次函数的定义，能熟记一次函数的定义(已知k为常数，k≠0，形如y=kx的函数叫一次函数)是解此题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A： (−3)2=3，故此选项符合题意；
B： 4− 3=2− 3，故此选项不符合题意；
C： 3× 2= 6，故此选项不符合题意；
D：2+ 2，不能进行计算，故此选项不符合题意．
故选：A．
根据二次根式混合运算的计算法则进行解答即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，三边长分别为3，4，5，
∵32+42=52，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=12×3×4=6．
故选：B．
先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B=42°，AD//BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=12∠ADC=12×42°=21°，
∴∠DEC=21°，
故选：C．
根据平行四边形的性质和角平分线的定义即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小．
又∵2<4，
∴m>n．
故选：A．
利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合2<4即可得出m>n．
】本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OD=12BD，OC=12AC，∠BCD=90°，
∴OD=OC，
∵∠ACB=30°，
∴∠OCD=60°，
∴△CDO是等边三角形，
∴OC=CD=CE=AB=3，
∵∠OCE=∠OCF+∠ECF=120°，
∴∠COE=∠E=30°，
∵∠BOC=180°−∠DOC=120°，
∴∠BOF=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
∴OF=12BF，
∵∠COF=∠OCF，
∴OF=CF=12BF，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=6，
∴BC= AC2−AB2=3 3，
∴CF=13BC= 3，
故选：B．
根据矩形的性质得到AC=BD，OD=12BD，OC=12AC，∠BCD=90°，得到OD=OC，求得OC=CD=CE=AB=3，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质得到OF=CF=12BF，根据勾股定理得到BC= AC2−AB2=3 3，于是得到结论．
本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：当P在直线y=2x+2上时，a=2×(−12)+2=−1+2=1，
当P在直线y=2x+4上时，a=2×(−12)+4=−1+4=3，
则1故选：B．
计算出当P在直线y=2x+2上时a的值，再计算出当P在直线y=2x+4上时a的值，即可得答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握番薯函数图象经过的点，必能使解析式左右相等．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵AE=DH=CG=BF，
∴DE=AF=BG=CH，
∴△AEF≌△BFG(SAS)，
同理可得：△BFG≌△CGH(SAS)，△CGH≌△DHE(SAS)，
∴EF=FG=GH=EH，∠AFE=∠FGB，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BFG+∠BGF=90°，
∴∠AFE+∠BFG=90°，
∴∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∴FH= 2EF，S四边形EFGH=EF2，
∵EF2=AE2+AF2=AE2+(4−AE)2=2(AE−2)2+8，
∴当x=2时，EF有最小值，S四边形EFGH有最小值，
∴HF有最小值，
故选：A．
先证四边形EFGH是正方形，可得FH= 2EF，S四边形EFGH=EF2，由勾股定理可求EF2=2(AE−2)2+8，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形EFGH是正方形是解题的关键．
9.【答案】x≥3
【解析】解：∵x−3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10.【答案】y=−3x+2
【解析】解：直线y=−3x向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为：y=−3x+2．
故答案为：y=−3x+2．
利用一次函数“上加下减”的平移规律求解即可．
本题主要考查一次函数图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
11.【答案】AC=BD或AB⊥BC
【解析】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；
故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC．
知道四边形ABCD是菱形和菱形的对角线，要在菱形的对角线的性质的基础上加上合适的条件使菱形成为正方形，再结合正方形的对角线的性质就可以得出需要添加的条件．
本题是一道条件开放性试题，考查了菱形的性质的运用，正方形的性质的运用，解答时熟悉正方形的判定方法是关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，BC=AD=14，∠A=∠D=∠ABC=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，
∴DE=AD−AE=AD−AB=14−8=6，
∴CE= CD2+DE2= 82+62=10，
∵F是BE的中点，G是BC的中点，
∴FG是△BCE的中位线，
∴FG=12CE=12×10=5，
故答案为：5．
由矩形的性质得出AB=CD=8，BC=AD=14，∠A=∠D=∠ABC=90°，由角平分线的性质得出∠ABE=12∠ABC=45°，则△ABE是等腰直角三角形，得出AB=AE，求出DE=6，由勾股定理求出CE=10，易证FG是△BCE的中位线，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．
13.【答案】−4
【解析】解：把x=1，y=k代入得，
k=k+b
解得b=0，
∴y=kx，
把x=−1，y=4代入得y=kx，
4=−k，
∴k=−4，
把x=a，y=0代入得y=kx，
∴0=ak，
∴a=0，
∴a+k=−4，
故答案为：−4．
把三组值代入解析式，分别求出它们的值即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式是关键．
14.【答案】(4.5,1.5)
【解析】解：作DE⊥x轴于E，
由矩形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为(0,3)，(−12,32)，(4,0)，BD/​/x轴，
得△ABF≌△DCE(AAS)，
得CE=FB=0.5，DE=AF=3−1.5=1.5，
得D(4+0.5,0+1.5)，即(4.5,1.5)．
故答案为：(4.5,1.5)．
作DE⊥x轴于E，由矩形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为(0,3)，(−12,32)，(4,0)，BD/​/x轴，得△ABF≌△DCE(AAS)，得CE=FB=0.5，DE=AF=3−1.5=1.5，即可得D(4+0.5,0+1.5)，即(4.5,1.5)．
本题主要考查了点的坐标，解题关键是构造全等三角形．
15.【答案】0【解析】解：从图象可知：两函数的交点坐标是(2,1)，直线y=kx+b与y轴的交点坐标是(0,−1)，
所以不等式组−1故答案为：0根据图象得出两函数的交点坐标是(2,1)，直线y=kx+b与y轴的交点坐标是(0,−1)，再根据图象求出不等式组的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线相交或平行问题等知识点，能根据图象得出正确的信息(两函数的交点坐标和直线y=kx+b与y轴的交点坐标)是解此题的关键．
16.【答案】①③
【解析】解：①当x=0时，y=500．
∵小龟所跑的路程S1与小兔所跑的路程S2差为y米，y=S1−S2，
∴小龟跑了500米后小兔出发．
故①正确；
②点M的坐标为(8,−60).表示第8分时，乌龟与兔子的路程差为−80，兔子所跑的路程已经超过乌龟．但是第10分钟时，两只动物的路程差为0，那么在点M处，应该是跑得快的小兔开始休息．
故②错误；
③第8分到第10分钟，只有乌龟在比赛，兔子在休息；第10分钟时，两只动物的路程差为0.兔子也到了大树下，开始休息2分钟，那么第10到第12分钟，只有兔子在比赛，并且在点N(12,−200)处时到达终点．
∴兔子的速度=|−200|12−10=100(米/分)，大树到终点的距离是200米．
∴兔子的总路程=100×(12−2)=1000(米)．
∴大树E距离小兔的起点A800米．
故③正确．
故答案为：①③．
根据点(0,500)可判断出小龟跑了500米后小兔出发；根据点M(8,−60)可得兔子所跑的路程已经超过乌龟，并且到达大树下开始休息2分钟；根据点(10,0)可得乌龟到达大树下，开始休息2分钟，那么第10到第12分钟，只有兔子在比赛，并且到达终点，可得大树到终点的路程，取路程除以时间即为兔子的速度，进而算出总路程，减去大树到终点的路程即为大树E距离小兔的起点．
本题考查一次函数的应用．根据题意判断出函数图象中各个关键点是意义是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2 3−2 3+3 2
=3 2；
(2)原式=2+1−3
=0．
【解析】(1)先把各个二次根式化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)按照混合运算法则和平方差公式，先算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握把二次根式化简成最简二次根式．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB/​/CD
∵BE=DF
∴AE=CF
∵AB/​/CD
∴四边形CEAF是平行四边形
∴AF=EC．
【解析】根据ABCD是平行四边形，得出AB=CD，AB/​/CD，由BE=DF，从而可得到AE=CF，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出CFAF是平行四边形，从而不难得到结论．
此题主要考查学生对平行四边形的性质及判定的理解及运用，关键是根据平行四边形的性质和判定解答．
19.【答案】解：∵x= 5−1，
∴x2+2x−3
=(x−1)(x+3)
=( 5−1−1)( 5−1+3)
=( 5−2)( 5+2)
=5−4
=1．
【解析】根据x= 5−1，可以求得代数式x2+2x−3的值．．
本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确二次根式的化简的方法．
20.【答案】x<1
【解析】解：(1)∵y=−2x+2，
∴当x=0时，y=2；当y=0时，x=1；
(2)由(1)中的表格，可以画出该函数的图象，如下所示：
；
(3)由图象可得，
当y>0时，x的取值范围是x<1，
故答案为：x<1．
(1)将x=0和y=0分别代入y=−2x+2，求出相应的y的值和x的值即可；
(2)根据表格中的数据，画出函数图象即可；
(3)根据图象，可以直接写出当y>0时，x的取值范围．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象．
21.【答案】OC OB 对角线垂直的平行四边形是菱形
【解析】(1)解：如图，菱形ABCD即为所求；
(2)证明：∵AO=OC，DO=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠AOD=90°，
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．
故答案为：OC，OB，对角线垂直的平行四边形是菱形．
(1)根据要求作出图形；
(2)根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】N
【解析】解：(1)∵一次函数的比例系数为2，2>0，
∴一次函数一定经过第一、三象限．
∵求b的最大值，
∴图象还应该经过第二象限的点N(−3,2)．
∴2×(−3)+b=2．
b=8．
答：b的最大值为8；
(2)当k=14时，图象经过(−4,0)．
∵图象必过点(0,1)，k>14，
∴直线y=kx+1运动的区域为过点(−4,0)，和点(0,1)的直线l与y轴之间的区域(不包括直线l和y轴)．
∴直线y=kx+1不可能经过的点是N．
故答案为：N．
(1)根据一次函数的比例系数大于0，可得一次函数一定经过第一、三象限，求b的最大值，那么把第二象限内的点代入即可；
(2)求得当k=14时直线与x轴的交点，进而根据经过点(0,1)和k>14可得直线扫过的区域，即可求得直线y=kx+1不可能经过的点．
本题考查一次函数的图象和性质的应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过第一、二、三象限．一次函数的比例系数越大，y随x的增大越明显．
23.【答案】(1)证明：∵BE/​/CD，CE/​/AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD=BD=12AB，
∴四边形CEBD是菱形；
(2)解：∵AB=10，
∴CD=12AB=5，
∵DF⊥CE，
∴∠DFC=90°，
∵CF=3，
∴DF= CD2−CF2=4，
∵四边形CEBD是菱形，
∴CE=CD=5，∠DCG=∠ECG，
∴EF=CE−CF=2，
在△DCG与△ECG中，
CD=CE∠DCG=∠ECGCG=CG，
∴△DCG≌△ECG(SAS)，
∴DG=GE，
∵FG2+EF2=EG2，
∴(4−DG)2+22=DG2，
∴DG=52，
故DG的长为52．
【解析】(1)根据平行四边形 的判定定理得到四边形CEBD是平行四边形，根据直角三角形的性质得到CD=BD=12AB，根据菱形的判定定理得到结论；
(2)解根据勾股定理得到DF= CD2−CF2=4，根据菱形的性质得到CE=CD=5，∠DCG=∠ECG，根据全等三角形的性质得到DG=GE，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
24.【答案】0
【解析】解：(1)x=6>4，
将x=6代入y=−12x+3，
得，y=−12×6+3=0，
故答案为：0；
(2)观察表格得，当输出的y的值满足−2≤y<−1时，−2≤x<0；
(3)x=−2<4，x=0<4，
将x=−2、y=−2，x=0、y=−1代入y=kx+b，
得，−2k+b=−2b=−1，
解得：k=12，b=−1，
∴y=12x−1，
y=12x−1(x<4)，y=−12x+3(x≥4)图象如图所示，
，
∵y1>y2恒成立，
∴当m≥4时，y=−12x+3单调递减，y1>y2恒成立，
当m<4，m+3≥4时，y1>y2恒成立，即12m−1>−12(m+3)+3，
解得：m>52，
综上，当m>52时，y1>y2恒成立．
(1)因为x=6>4，所以将x=6代入y=−12x+3，可解得此时输出的y的值；
(2)观察表格可得；
(3)先求出x<4时，y与x的函数，画出图象，分析m的取值范围．
本题考查了函数值，关键是在平面直角坐标系中画出两个y与x的函数，辅助分析m的取值范围．
25.【答案】45°
【解析】(1)①解：补全图形如下：
②证明：过N作NH⊥CD于H，
∴∠NHM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC，
∴∠CHN=∠B=∠C=90°，
∴四边形BCHN是矩形，
∴NH=BC，∠ANH=BNH=90°，
∴NH=AB，
∵NM⊥AE，
∴∠AFN=90°，
∴∠BAE+∠ANF=∠ANF+∠HNM=90°，
∴∠BAE=∠HNM，
在△ABE和△NHM中，
∠BAE=∠HNMAB=NH∠B=∠NHM，
∴△ABE≌△NHM(ASA)，
∴AE=MN；
(2)解：①过P作PT⊥AB交BA延长线于T，过E作EK⊥PT于K，连接AP，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴△BPT是等腰直角三角形，
∴BT=PT，
∵∠TBE=∠BTK=∠TKE=90°，
∴四边形BEKT是矩形，
∴BT=EK，∠K=90°，
∴PT=EK，
∵PF是AE的垂直平分线，
∴AP=EP，
∴Rt△APT≌Rt△PEK(HL)，
∴∠APT=∠PEK，
∵∠PEK+∠EPK=90°，
∴∠APT+∠EPK=90°，
∴∠APE=90°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴∠AEP=45°；
故答案为：45°；
②由①可知，△APE是等腰直角三角形，
∵PF⊥AE，
∴AF=EF=PF，
∴AE=2PF=2(PM+MF)=2PM+2MF，
同(1)可得AE=MN，
∴MN=2PM+2MF，
∴MN−MF=2PM+MF=(PM+MF)+PM=PF+PM，
即FN=PF+PM．
(1)①根据题意补全图形即可；
②过N作NH⊥CD于H，证明△ABE≌△NHM(ASA)，即可得AE=MN；
(2)①过P作PT⊥AB交BA延长线于T，过E作EK⊥PT于K，连接AP，证明Rt△APT≌Rt△PEK(HL)，得∠APT=∠PEK，从而可证△APE是等腰直角三角形，即得∠AEP=45°；
②由△APE是等腰直角三角形，可得AE=2PF=2(PM+MF)=2PM+2MF，同(1)可得AE=MN，故MN=2PM+2MF，有MN−MF=2PM+MF=(PM+MF)+PM=PF+PM，即FN=PF+PM．
本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，矩形的判定与性质等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
26.【答案】①③ 0≤k≤ 33或− 33≤k≤0
【解析】解：(1)∵四边形OMPN为菱形，
∴OM=ON，
∵点M(1,3)，
∴OM= 12+32= 10，
①当点N的坐标为(−3,1)时，ON= (−3)2+12= 10，
∴OM=ON，
∴点N的坐标为(−3,1)时，使得MN成为点O的“关联线段”；
②当点N的坐标为(2,2)时，ON= 22+22=2 2，
∴OM≠ON，
∴点N的坐标为(2,2)时，使得MN不是点O的“关联线段”；
③当点N的坐标为(2 2,− 2)时，ON= (2 2)2+(− 2)2= 10，
∴OM=ON，
∴点N的坐标为(2 2,− 2)时，使得MN成为点O的“关联线段”；
故答案为：①③；
(2)∵点O的“关联线段”MN过点Q(1,1)，且OM=2，如图，
∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，
当且仅当OQ⊥MN时，OP=2OQ最大，
∵OQ= 12+12= 2，
∴线段OP的最大值为2 2；
(3)以O为圆心，OM长为半径画⊙O，则M、N在⊙O上，如图，
∵存在点O的“关联线段”MN与直线y=kx−6k有交点，
∴MN与直线y=kx−6k有交点，即直线y=kx−6k与⊙O有交点，
当x=0时，y=−6k，
当y=0时，kx−6k=0，解得x=6，
∴直线y=kx−6k与x轴交点为A(6,0)，与y轴交点为(0,−6k)，
过点A作⊙O的切线AC、AD，切点分别为B、E，交y轴于点C、D，连接OB、OE，
则OB⊥AC，OE⊥AD，OA=6，OB=OE=3，
∴AB=AE= 62−32=3 3，
∵∠OEA=∠DOA=90°，∠OAE=∠DAO，
∴△AOE∽△ADO，
∴OEOD=AEOA，即3OD=3 36，
∴OD=2 3，
∴D(0,−2 3)，
同理可得C(0,−2 3)，
当−6k=−2 3时，解得k= 33，
当−6k=2 3时，解得k=− 33，
∴k的取值范围为0≤k≤ 33或− 33≤k≤0；
故答案为：0≤k≤ 33或− 33≤k≤0．
(1)根据新定义和菱形的性质即可求得答案；
(2)点O的“关联线段”定义可得：当且仅当OQ⊥MN时，OP=2OQ最大，利用勾股定理求得OQ，即可求得答案；
(3)以O为圆心，OM长为半径画⊙O，则M、N在⊙O上，MN与直线y=kx−6k有交点，即直线y=kx−6k与⊙O有交点，过点A作⊙O的切线AC、AD，切点分别为B、E，交y轴于点C、D，连接OB、OE，利用相似三角形的判定和性质求得C、D的坐标，即可求得答案．
本题以新定义题型为背景，考查了菱形的性质、一次函数的交点等知识点，正确理解题意是解题关键．x
−1
a
1
y
4
0
k
x
0
y
0
输入x
…
−2
0
2
…
8
…
输出y
…
−2
−1
0
…
−1
…
x
0
1
y
2
0