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2023-2024学年山东省菏泽市郓城县七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年山东省菏泽市郓城县七年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算正确的是( )
A. a⋅a2=a2B. (ab)3=ab3C. (a3)2=a6D. a10÷a2=a5
2.人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是( )
A. 7.7×106mB. 0.77×10−6mC. 7.7×10−5mD. 7.7×10−6m
3.下列各图中，∠1与∠2是同位角的是( )
A. B. C. D.
4.一粒石子落入湖面，形成一个如圆周样的涟漪，在圆周长C与半径r的关系式C=2πr中，变量是( )
A. C，r
B. C，π
C. π，r
D. C，2π
5.如图，在下列条件中，不能判定AB//DF的是( )
A. ∠A+∠AFD=180°
B. ∠A=∠CFD
C. ∠BED=∠EDF
D. ∠A=∠BED
6.下列算式不能用平方差公式计算的是( )
A. (2a+b)(2a−b)B. (−3a+b)(b−3a)
C. (x+y)(−x+y)D. (−m+3n)(−m−3n)
7.父亲告诉小明，温度与海拔高度有关系，并给小明出示了下面的表格：
下列有关表格的分析中，不正确的是( )
A. 表格中的两个变量是海拔高度和温度B. 自变量是海拔高度
C. 海拔高度越高，温度就越低D. 海拔高度每增加1km，温度升高6℃
8.如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上.当∠1=15°时，∠2的度数是( )
A. 15°B. 75°C. 25°D. 45°
9.如图，从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+2)cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )
A. (2a2+5a)cm2B. (3a+15)cm2C. (4a+12)cm2D. (6a+15)cm2
10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、G分别是边CD和BC的中点，点F为
正方形中心，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：−12a3b2÷4ab2= ．
12.已知9m=5，3n=2，则32m−3n=______．
13.代数式4x2+mxy+9y2是完全平方式，则m=______．
14.如图，DE//BC，∠DAB=78°，则∠BAC= ______度.
15.如图，长方形ABCD沿EF对折后，若∠1=50°，则∠AEF=______．
16.甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为t(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；②出发1.5小时，乙比甲多行驶了60千米；③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；④甲的速度是乙速度的一半．其中，正确结论是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：((3)(4)用简便方法计算)
(1)(−1)2024+(12)−2−(3.14−π)0；
(2)(−3a3)2⋅2a3−8a12÷2a3；
(3)982；
(4)99×101．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：[(x−3y)(x+3y)−(x−y)2+2y(x−y)]÷4y，其中x=−2，y=12．
19.(本小题8分)
如图所示，已知∠1=∠2，AC平分∠DAB，试说明DC//AB．
20.(本小题8分)
已知：如图，∠BAC+∠GCA=180°，∠1=∠2，试说明：∠E=∠F．
21.(本小题9分)
某中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要8元，方案二：每件需要4元，但另外需要制作工具的租用费120元，方案一的费用为y1元，方案二的费用为y2元，购买的教学仪器为x件．
(1)直接写出y1、y2关于x的关系式；
(2)购买仪器多少件时，两种方案的费用相同；
(3)若学校需要仪器50件，采用哪种方案便宜？
22.(本小题9分)
小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校.以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到学校的路程是多少米．
(2)求小明折回书店时骑车的速度？小明在书店停留了多少分钟．
(3)本次上学途中，小明一共行驶了多少米，从离家至到达学校一共用了多少分钟．
(4)在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少？
23.(本小题10分)
图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于______；面积等于______；
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式(a+b)2，(a−b)2，ab之间的等量关系为______；
(3)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=5，m−n=4，试求m+n的值．
(4)如图3所示，两正方形ABCD和正方形DEFG边长分别为a、b，且a+b=5，ab=5，求图中阴影部分的面积．
24.(本小题12分)
如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°．
(1)请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，在(1)的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD.当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
(3)如图3，在(1)的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时(点C除外)，∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A：a⋅a2=a3，故结论错误；
B：(ab)3=a3b3，故结论错误；
C：(a3)2=a6，故结论正确；
D：a10÷a2=a8，故结论错误．
故选：C．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：0.000 0077=7.7×10−6m.
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】B
【解析】解：A.选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，
故不符合题意；
B.选项中的两个角符合同位角的意义，
故符合题意；
C.选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，
故不符合题意；
D.选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，
故不符合题意；
故选：B．
根据同位角的意义，结合图形进行判断即可．
本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查常量与变量，理解常量与变量的定义是正确判断的前提．根据变量、常量的定义进行判断即可．
【解答】
解：圆的周长C=2πr，其中C、r是变量，2π是常量
5.【答案】D
【解析】解：A、∵∠A+∠AFD=180°，∴AB//DF(同旁内角互补，两直线平行)，故能判定AB//DF；
B、∵∠A=∠CFD，∴AB//DF(同位角相等，两直线平行)，故能判定AB//DF；
C、∵∠BED=∠EDF，∴AB//DF(内错角相等，两直线平行)，故能判定AB//DF；
D、∵∠A=∠BED，∴AC//DE(同位角相等，两直线平行)，故不能判定AB//DF；
故选：D．
利用平行线的判定定理，逐一判断即可得出结论．
本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
6.【答案】B
【解析】解：(A)原式=4a2−b2，故A能用平方差公式．
(C)原式=y2−x2，故C能用平方差公式．
(D)原式=m2−9n2，故D能用平方差公式．
故选：B．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
7.【答案】D
【解析】解：A、表格中的两个变量是海拔高度和温度，正确，不合题意；
B、自变量是海拔高度，正确，不合题意；
C、海拔高度越高，温度就越低，正确，不合题意；
D、海拔高度每增加1km，温度降低6℃，不正确，符合题意；
故选：D．
根据函数的表示方法与概念判断即可．
本题是对函数定义的考查和图表的识别，自变量、因变量的区分对初学函数的同学来说比较困难，需要在学习上多下功夫．
8.【答案】D
【解析】解：如图，
∵BE//CD，
∴∠EBC=∠1=15°，
∵∠ABC=60°，
∴∠2=45°．
故选：D．
根据BE//CD得到∠EBC=15°，依据∠ABC=60°，∠EBC=15°，由角的和差关系可求∠2=45°．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查完全平方公式，关键是掌握此公式．求大正方形的面积与小正方形的面积的差即可．
【解答】
解：(a+4)2−(a+2)2=a2+8a+16−(a2+4a+4)
=(4a+12)cm2，
故选C．
10.【答案】A
【解析】解：由点P的运动可知，当点P在GF、ED边上时分别为底不变，高不变，所以△ABP的面积不变，则对应图象为平行于t轴的线段，则B、C错误；
点P在AD、EF、GB上运动时，△ABP的面积分别处于增、减变化过程，故D排除．
分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判断．解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化．
11.【答案】−3a2
【解析】解：−12a3b2÷4ab2=−124×a3a×b2b2=−3a2，
故答案为：−3a2．
根据单项式除以单项式的运算法则直接求解即可得到答案．
本题考查单项式除以单项式运算，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解决问题的关键．
12.【答案】58
【解析】解：∵9m=5，
∴(32)m=5，
即32m=5，
∵3n=2，
∴32m−3n
=32m÷33n
=32m÷(3n)3
=5÷23
=5÷8
=58，
故答案为：58．
根据幂的乘方和9m=5求出32m=5，根据同底数幂的除法法则进行计算，再根据幂的乘方进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法等知识点，能正确运算幂的乘方与积的乘方法则进行计算是解此题的关键，(ab)m=ambm，(am)n=amn，am÷an=am−n(a≠0)．
13.【答案】±12
【解析】解：∵4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
∴m=±2×2×3
∴m=±12
故答案为：±12．
根据完全平方式的定义计算即可．
本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
14.【答案】57
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠ABC=∠DAB=78°，
∵∠ACF=135°，
∴∠BAC=∠ACF−∠ABC=135°−78°=57°．
故答案为：57．
由平行线的性质推出∠ABC=∠DAB=78°，由三角形外角的性质求出∠BAC=∠ACF−∠ABC=57°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠ABC=∠DAB=78°，由三角形外角的性质即可求出∠BAC的度数．
15.【答案】115°
【解析】解：根据折叠以及∠1=50°，得
∠BFE=12∠BFG=12(180°−∠1)=65°．
∵AD//BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=180°−∠BFE=115°．
故答案为：115°．
根据折叠的性质及∠1=50°可求出∠BFE的度数，再由平行线的性质即可得到∠AEF的度数．
本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16.【答案】①②④
【解析】解：①项，由图可知，出发1小时时，甲、乙两人之间的距离是0千米，即两人相遇．故①项正确．
②项，由图可知，A地与B地的距离为120千米，在1.5小时时，有一个拐点，说明乙已经从B地到达了A地，即乙行驶了120千米，而甲、乙两人相距60千米，即甲行驶了60千米，所以乙比甲多行驶了60千米．故②项正确．
③项，在1.5小时时，乙已经到达终点，在3小时时，甲到达终点，故③项错误．
④项，由图可知，甲、乙均行驶了120千米，甲行驶的时间为3小时，乙行驶的时间为1.5小时．故甲的速度是乙的一半．故④项正确．
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
根据题意结合横纵坐标的意义得出摩托车的速度进而分别分析得出答案．
此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义是解题关键．
17.【答案】(1)原式=1+4−1
=4；
(2)原式=9a6⋅2a3−4a9
=18a9−4a9
=14a9；
(3)982=(100−2)2
=1002−2×100×2+22
=10000−400+4
=9604；
(4)99×101
=(100−1)(100+1)
=1002−1
=10000−1
=9999．
【解析】(1)根据整数指数幂计算即可．
(2)先计算幂的乘方，再计算乘除，最后计算加减即可．
(3)根据整式的乘法法则，乘法公式化简计算即可．
(4)利用平方差公式计算即可．
题考查整式的混合运算，整数指数幂等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住乘法公式．
18.【答案】解：原式=[x2−9y2−(x2−2xy+y2)+2xy−2y2]÷4y
=(x2−9y2−x2+2xy−y2+2xy−2y2)÷4y
=(4xy−12y2)÷4y
=x−3y；
当x=−2,y=12时，原式=−2−3×12=−72．
【解析】先根据整式的运算法则和运算顺序进行化简，再代值计算即可．
本题考查整式的化简求值．熟练掌握整式的运算法则，正确的进行化简，是解题的关键．
19.【答案】证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠CAB，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CAB，
∴CD//AB．
【解析】根据角平分线的性质可得∠1=∠CAB，再加上条件∠1=∠2，可得∠2=∠CAB，再根据内错角相等两直线平行可得CD//AB．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行．
20.【答案】证明：∵∠BAC+∠GCA=180°，
∴AB//DG，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠1=∠2，
∴∠BAC−∠1=∠DCA−∠2，
即∠EAC=∠FCA，
∴AE//CF，
∴∠E=∠F．
【解析】由同旁内角互补，两直线平行得出AB//DG，根据两直线平行，内错角相等得出∠BAC=∠DCA，结合∠1=∠2得出∠EAC=∠FCA，于是证得AE//CF，从而得出∠E=∠F．
本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质定理、判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)y1=8x，y2=4x+120；
(2)依题意y1=y2，
即8x=4x+120，
解得x=30，
∴当需要的仪器为30件时，两种方案所需的费用相同；
(3)把x=50分别代入y1=8x，y2=4x+120中，
得y1=8×50=400，y2=4×50+120=320，
∵y1>y2，
∴当需要的仪器为50件时，选择第2种方案费用便宜．
【解析】(1)方案一：总费用=仪器的单价×仪器的数量．方案二：费用=每件制作的成本×仪器的数量+工具的租用费．据此可得出方案一和方案二的函数关系式；
(2)本题只需让(1)中得出的两个函数关系式相等，求出x的值，就是所求的仪器的件数；
(3)可将50件分别代入(1)中的两个函数式中，得出函数的值，然后比较哪种方案更便宜．
本题考查了一次函数的应用，读清题意，找对等量关系是解题的关键，另外解决实际问题时还应有一定的生活经验．
22.【答案】(1)解：根据小明本次上学所用的时间与路程的关系示意图可知：小明家到学校的路程是1500米；
(2)小明折回书店时骑车的速度是1200−6008−6=300(米/分)，
小明书店在停留了12−8=4(分钟)
(3)小明一共行驶了1200+600+(1500−600)=2700 (米)，
一共用了14分钟；
(4)在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，
最快的速度是1500−60014−12=450(米/分)．
【解析】(1)根据图象判断即可；
(2)根据速度=路程÷时间计算即可；
(3)根据图象判断出速度最快的时间段，进行计算即可．
本题考查一次函数的应用，正确读懂图象是解题关键．
23.【答案】a−b (a−b)2 (a+b)2=(a−b)2+4ab
【解析】解：(1)观察图2，得阴影部分的正方形的边长为(a−b)，面积等于(a−b)2，
故答案为：(a−b)；(a−b)2．
(2)∵S大正方形=(a+b)2=S小正方形+4×S小长方形，
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab，
故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab．
(3)∵(m+n)2=(m−n)2+4mn=42+4×5=36，
∴m+n=±6．
(4)S阴影=S梯形ABGD+S△DEG=12a(a+b)+12b2=12(a2+ab+b2)=12[(a+b)2−ab]=12(52−5)=10．
(1)观察图形直接得到结果．
(2)结合图2表示大正方形的面积，利用等面积法可得答案．
(3)利用(2)的结论，先计算(m+n)2即可得到答案．
(4)利用S阴影=S梯形ABGD+S△DEG，整理变形，代入a+b=5，ab=5，得到结果．
本题考查了完全平方公式及应用，解题关键是用不同方法表示同一图形面积．
24.【答案】∠BAC=∠CPQ+∠CQP
【解析】解：(1)AB//CD；理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB//CD；
(2)∠BAE+12∠MCD=90°；理由如下：
过E作EF//AB，如图2所示，
∵AB//CD，
∴EF//AB//CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠AEC=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠ECD=12∠MCD，
∴∠BAE+12∠MCD=90°；
(3)∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，
∴∠BAC=∠PQC+∠QPC．
(1)由角平分线的定义得∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，则∠BAC+∠ACD=180°，可得结论AB//CD；
(2)过E作EF//AB，利用平行线的性质可得答案；
(3)利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．海拔高度/km
0
1
2
3
4
5
…
温度/℃
20
14
8
2
−4
−10
…
1.下列运算正确的是( )
A. a⋅a2=a2B. (ab)3=ab3C. (a3)2=a6D. a10÷a2=a5
2.人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是( )
A. 7.7×106mB. 0.77×10−6mC. 7.7×10−5mD. 7.7×10−6m
3.下列各图中，∠1与∠2是同位角的是( )
A. B. C. D.
4.一粒石子落入湖面，形成一个如圆周样的涟漪，在圆周长C与半径r的关系式C=2πr中，变量是( )
A. C，r
B. C，π
C. π，r
D. C，2π
5.如图，在下列条件中，不能判定AB//DF的是( )
A. ∠A+∠AFD=180°
B. ∠A=∠CFD
C. ∠BED=∠EDF
D. ∠A=∠BED
6.下列算式不能用平方差公式计算的是( )
A. (2a+b)(2a−b)B. (−3a+b)(b−3a)
C. (x+y)(−x+y)D. (−m+3n)(−m−3n)
7.父亲告诉小明，温度与海拔高度有关系，并给小明出示了下面的表格：
下列有关表格的分析中，不正确的是( )
A. 表格中的两个变量是海拔高度和温度B. 自变量是海拔高度
C. 海拔高度越高，温度就越低D. 海拔高度每增加1km，温度升高6℃
8.如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上.当∠1=15°时，∠2的度数是( )
A. 15°B. 75°C. 25°D. 45°
9.如图，从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+2)cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )
A. (2a2+5a)cm2B. (3a+15)cm2C. (4a+12)cm2D. (6a+15)cm2
10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、G分别是边CD和BC的中点，点F为
正方形中心，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：−12a3b2÷4ab2= ．
12.已知9m=5，3n=2，则32m−3n=______．
13.代数式4x2+mxy+9y2是完全平方式，则m=______．
14.如图，DE//BC，∠DAB=78°，则∠BAC= ______度.
15.如图，长方形ABCD沿EF对折后，若∠1=50°，则∠AEF=______．
16.甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为t(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；②出发1.5小时，乙比甲多行驶了60千米；③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；④甲的速度是乙速度的一半．其中，正确结论是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：((3)(4)用简便方法计算)
(1)(−1)2024+(12)−2−(3.14−π)0；
(2)(−3a3)2⋅2a3−8a12÷2a3；
(3)982；
(4)99×101．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：[(x−3y)(x+3y)−(x−y)2+2y(x−y)]÷4y，其中x=−2，y=12．
19.(本小题8分)
如图所示，已知∠1=∠2，AC平分∠DAB，试说明DC//AB．
20.(本小题8分)
已知：如图，∠BAC+∠GCA=180°，∠1=∠2，试说明：∠E=∠F．
21.(本小题9分)
某中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要8元，方案二：每件需要4元，但另外需要制作工具的租用费120元，方案一的费用为y1元，方案二的费用为y2元，购买的教学仪器为x件．
(1)直接写出y1、y2关于x的关系式；
(2)购买仪器多少件时，两种方案的费用相同；
(3)若学校需要仪器50件，采用哪种方案便宜？
22.(本小题9分)
小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校.以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到学校的路程是多少米．
(2)求小明折回书店时骑车的速度？小明在书店停留了多少分钟．
(3)本次上学途中，小明一共行驶了多少米，从离家至到达学校一共用了多少分钟．
(4)在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少？
23.(本小题10分)
图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于______；面积等于______；
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式(a+b)2，(a−b)2，ab之间的等量关系为______；
(3)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=5，m−n=4，试求m+n的值．
(4)如图3所示，两正方形ABCD和正方形DEFG边长分别为a、b，且a+b=5，ab=5，求图中阴影部分的面积．
24.(本小题12分)
如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°．
(1)请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，在(1)的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD.当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
(3)如图3，在(1)的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时(点C除外)，∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A：a⋅a2=a3，故结论错误；
B：(ab)3=a3b3，故结论错误；
C：(a3)2=a6，故结论正确；
D：a10÷a2=a8，故结论错误．
故选：C．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：0.000 0077=7.7×10−6m.
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】B
【解析】解：A.选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，
故不符合题意；
B.选项中的两个角符合同位角的意义，
故符合题意；
C.选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，
故不符合题意；
D.选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，
故不符合题意；
故选：B．
根据同位角的意义，结合图形进行判断即可．
本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查常量与变量，理解常量与变量的定义是正确判断的前提．根据变量、常量的定义进行判断即可．
【解答】
解：圆的周长C=2πr，其中C、r是变量，2π是常量
5.【答案】D
【解析】解：A、∵∠A+∠AFD=180°，∴AB//DF(同旁内角互补，两直线平行)，故能判定AB//DF；
B、∵∠A=∠CFD，∴AB//DF(同位角相等，两直线平行)，故能判定AB//DF；
C、∵∠BED=∠EDF，∴AB//DF(内错角相等，两直线平行)，故能判定AB//DF；
D、∵∠A=∠BED，∴AC//DE(同位角相等，两直线平行)，故不能判定AB//DF；
故选：D．
利用平行线的判定定理，逐一判断即可得出结论．
本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
6.【答案】B
【解析】解：(A)原式=4a2−b2，故A能用平方差公式．
(C)原式=y2−x2，故C能用平方差公式．
(D)原式=m2−9n2，故D能用平方差公式．
故选：B．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
7.【答案】D
【解析】解：A、表格中的两个变量是海拔高度和温度，正确，不合题意；
B、自变量是海拔高度，正确，不合题意；
C、海拔高度越高，温度就越低，正确，不合题意；
D、海拔高度每增加1km，温度降低6℃，不正确，符合题意；
故选：D．
根据函数的表示方法与概念判断即可．
本题是对函数定义的考查和图表的识别，自变量、因变量的区分对初学函数的同学来说比较困难，需要在学习上多下功夫．
8.【答案】D
【解析】解：如图，
∵BE//CD，
∴∠EBC=∠1=15°，
∵∠ABC=60°，
∴∠2=45°．
故选：D．
根据BE//CD得到∠EBC=15°，依据∠ABC=60°，∠EBC=15°，由角的和差关系可求∠2=45°．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查完全平方公式，关键是掌握此公式．求大正方形的面积与小正方形的面积的差即可．
【解答】
解：(a+4)2−(a+2)2=a2+8a+16−(a2+4a+4)
=(4a+12)cm2，
故选C．
10.【答案】A
【解析】解：由点P的运动可知，当点P在GF、ED边上时分别为底不变，高不变，所以△ABP的面积不变，则对应图象为平行于t轴的线段，则B、C错误；
点P在AD、EF、GB上运动时，△ABP的面积分别处于增、减变化过程，故D排除．
分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判断．解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化．
11.【答案】−3a2
【解析】解：−12a3b2÷4ab2=−124×a3a×b2b2=−3a2，
故答案为：−3a2．
根据单项式除以单项式的运算法则直接求解即可得到答案．
本题考查单项式除以单项式运算，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解决问题的关键．
12.【答案】58
【解析】解：∵9m=5，
∴(32)m=5，
即32m=5，
∵3n=2，
∴32m−3n
=32m÷33n
=32m÷(3n)3
=5÷23
=5÷8
=58，
故答案为：58．
根据幂的乘方和9m=5求出32m=5，根据同底数幂的除法法则进行计算，再根据幂的乘方进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法等知识点，能正确运算幂的乘方与积的乘方法则进行计算是解此题的关键，(ab)m=ambm，(am)n=amn，am÷an=am−n(a≠0)．
13.【答案】±12
【解析】解：∵4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
∴m=±2×2×3
∴m=±12
故答案为：±12．
根据完全平方式的定义计算即可．
本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
14.【答案】57
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠ABC=∠DAB=78°，
∵∠ACF=135°，
∴∠BAC=∠ACF−∠ABC=135°−78°=57°．
故答案为：57．
由平行线的性质推出∠ABC=∠DAB=78°，由三角形外角的性质求出∠BAC=∠ACF−∠ABC=57°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠ABC=∠DAB=78°，由三角形外角的性质即可求出∠BAC的度数．
15.【答案】115°
【解析】解：根据折叠以及∠1=50°，得
∠BFE=12∠BFG=12(180°−∠1)=65°．
∵AD//BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=180°−∠BFE=115°．
故答案为：115°．
根据折叠的性质及∠1=50°可求出∠BFE的度数，再由平行线的性质即可得到∠AEF的度数．
本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16.【答案】①②④
【解析】解：①项，由图可知，出发1小时时，甲、乙两人之间的距离是0千米，即两人相遇．故①项正确．
②项，由图可知，A地与B地的距离为120千米，在1.5小时时，有一个拐点，说明乙已经从B地到达了A地，即乙行驶了120千米，而甲、乙两人相距60千米，即甲行驶了60千米，所以乙比甲多行驶了60千米．故②项正确．
③项，在1.5小时时，乙已经到达终点，在3小时时，甲到达终点，故③项错误．
④项，由图可知，甲、乙均行驶了120千米，甲行驶的时间为3小时，乙行驶的时间为1.5小时．故甲的速度是乙的一半．故④项正确．
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
根据题意结合横纵坐标的意义得出摩托车的速度进而分别分析得出答案．
此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义是解题关键．
17.【答案】(1)原式=1+4−1
=4；
(2)原式=9a6⋅2a3−4a9
=18a9−4a9
=14a9；
(3)982=(100−2)2
=1002−2×100×2+22
=10000−400+4
=9604；
(4)99×101
=(100−1)(100+1)
=1002−1
=10000−1
=9999．
【解析】(1)根据整数指数幂计算即可．
(2)先计算幂的乘方，再计算乘除，最后计算加减即可．
(3)根据整式的乘法法则，乘法公式化简计算即可．
(4)利用平方差公式计算即可．
题考查整式的混合运算，整数指数幂等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住乘法公式．
18.【答案】解：原式=[x2−9y2−(x2−2xy+y2)+2xy−2y2]÷4y
=(x2−9y2−x2+2xy−y2+2xy−2y2)÷4y
=(4xy−12y2)÷4y
=x−3y；
当x=−2,y=12时，原式=−2−3×12=−72．
【解析】先根据整式的运算法则和运算顺序进行化简，再代值计算即可．
本题考查整式的化简求值．熟练掌握整式的运算法则，正确的进行化简，是解题的关键．
19.【答案】证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠CAB，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CAB，
∴CD//AB．
【解析】根据角平分线的性质可得∠1=∠CAB，再加上条件∠1=∠2，可得∠2=∠CAB，再根据内错角相等两直线平行可得CD//AB．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行．
20.【答案】证明：∵∠BAC+∠GCA=180°，
∴AB//DG，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠1=∠2，
∴∠BAC−∠1=∠DCA−∠2，
即∠EAC=∠FCA，
∴AE//CF，
∴∠E=∠F．
【解析】由同旁内角互补，两直线平行得出AB//DG，根据两直线平行，内错角相等得出∠BAC=∠DCA，结合∠1=∠2得出∠EAC=∠FCA，于是证得AE//CF，从而得出∠E=∠F．
本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质定理、判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)y1=8x，y2=4x+120；
(2)依题意y1=y2，
即8x=4x+120，
解得x=30，
∴当需要的仪器为30件时，两种方案所需的费用相同；
(3)把x=50分别代入y1=8x，y2=4x+120中，
得y1=8×50=400，y2=4×50+120=320，
∵y1>y2，
∴当需要的仪器为50件时，选择第2种方案费用便宜．
【解析】(1)方案一：总费用=仪器的单价×仪器的数量．方案二：费用=每件制作的成本×仪器的数量+工具的租用费．据此可得出方案一和方案二的函数关系式；
(2)本题只需让(1)中得出的两个函数关系式相等，求出x的值，就是所求的仪器的件数；
(3)可将50件分别代入(1)中的两个函数式中，得出函数的值，然后比较哪种方案更便宜．
本题考查了一次函数的应用，读清题意，找对等量关系是解题的关键，另外解决实际问题时还应有一定的生活经验．
22.【答案】(1)解：根据小明本次上学所用的时间与路程的关系示意图可知：小明家到学校的路程是1500米；
(2)小明折回书店时骑车的速度是1200−6008−6=300(米/分)，
小明书店在停留了12−8=4(分钟)
(3)小明一共行驶了1200+600+(1500−600)=2700 (米)，
一共用了14分钟；
(4)在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，
最快的速度是1500−60014−12=450(米/分)．
【解析】(1)根据图象判断即可；
(2)根据速度=路程÷时间计算即可；
(3)根据图象判断出速度最快的时间段，进行计算即可．
本题考查一次函数的应用，正确读懂图象是解题关键．
23.【答案】a−b (a−b)2 (a+b)2=(a−b)2+4ab
【解析】解：(1)观察图2，得阴影部分的正方形的边长为(a−b)，面积等于(a−b)2，
故答案为：(a−b)；(a−b)2．
(2)∵S大正方形=(a+b)2=S小正方形+4×S小长方形，
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab，
故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab．
(3)∵(m+n)2=(m−n)2+4mn=42+4×5=36，
∴m+n=±6．
(4)S阴影=S梯形ABGD+S△DEG=12a(a+b)+12b2=12(a2+ab+b2)=12[(a+b)2−ab]=12(52−5)=10．
(1)观察图形直接得到结果．
(2)结合图2表示大正方形的面积，利用等面积法可得答案．
(3)利用(2)的结论，先计算(m+n)2即可得到答案．
(4)利用S阴影=S梯形ABGD+S△DEG，整理变形，代入a+b=5，ab=5，得到结果．
本题考查了完全平方公式及应用，解题关键是用不同方法表示同一图形面积．
24.【答案】∠BAC=∠CPQ+∠CQP
【解析】解：(1)AB//CD；理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB//CD；
(2)∠BAE+12∠MCD=90°；理由如下：
过E作EF//AB，如图2所示，
∵AB//CD，
∴EF//AB//CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠AEC=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠ECD=12∠MCD，
∴∠BAE+12∠MCD=90°；
(3)∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，
∴∠BAC=∠PQC+∠QPC．
(1)由角平分线的定义得∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，则∠BAC+∠ACD=180°，可得结论AB//CD；
(2)过E作EF//AB，利用平行线的性质可得答案；
(3)利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．海拔高度/km
0
1
2
3
4
5
…
温度/℃
20
14
8
2
−4
−10
…
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