山东省菏泽市郓城县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份山东省菏泽市郓城县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂到答题卡上，每小题3分，共24分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3x﹣2＝yB．xC．x+1D．x2+2x＝3
2．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，下列事件与抽到“K”的概率相同的是（ ）
A．抽到“大王”B．抽到“2”C．抽到“小王”D．抽到“红桃”
4．如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，菱形中，对角线、交于点，为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）

A．B．4C．7D．14
7．如图所示，点是线段的黄金分割点，则下列结论中，正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
8．如图，在中，，两边上的中线，相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则 ．
10．如图是三个完全相同的正方形，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．
11．如图是一个半圆柱的三视图，则半圆柱的表面积可表示为 ．（结果保留）
12．如图所示，，的中垂线交于D，则下列结论：①；②平分；③是等腰三角形；④．正确的选项是 ．
13．如图，线段的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点M．若每个小正方形的边长都是1，则的值是 ．
14．将边长为1的正方形绕点C按顺时针方向旋转到的位置（如图），使得点D落在对角线上，与相交于点H，则
三、解答题（共78分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1）用配方法解方程：；
（2）公式法解方程：．
16．已知：关于x的方程，有两个不相等的实数根，
(1)求实数m的取值范围，
(2)若方程的两个实数根满足，求出符合条件的m的值．
17．某商店将进价为8元的商品按每件元售出，每天可售出件，如果这种商品每件的销售价每提高元，其销售量就减少件．
(1)该店主将每件售价定为多少元时，才能使该商品每天的利润为元，同时要让利于顾客？
(2)店主想要使该商品每天的利润为元，小红同学认为不可能．你同意小红同学的说法吗？（说明理由）
18．2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有________人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有________人．
（2）请补全条形统计图．
（3）“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人叹才禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

19．如图是由7个同样大小棱长为1的小正方体搭成的几何体，
(1)请分别画出它的主视图、左视图和俯视图．
(2)这个组合几何体的表面积为________个平方单位（包括底面积）；
(3)用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在上图方格中所画的图一致，则搭这样的几何体最多要________个小立方体．
20．如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BF的长．
21．如图，在中，点、分别是边、上的点，．

(1)求证：；
(2)若的面积为18，求四边形的面积．
22．某学校的校门是伸缩电动门（如图1），伸缩电动门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30cm．当每个菱形的内角度数为60°（如图2）时，校门打开了5m，当每个菱形的内角度数为90°时，校门打开了多少米？
23．如图所示，矩形中，，为上的一动点，过点作于点，于点，试问当点在上运动时，的值是否发生变化？若不变，请求出定值．
24．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．

(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)求CF的长；
(3)如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程是一元二次方程，利用一元二次方程的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A、方程3x﹣2＝y含有2个未知数，所以A选项不符合题意；
B、方程x，不是整式方程，所以B选项不符合题意；
C、方程x+1是分式方程，所以C选项不符合题意；
D、方程x2+2x＝3是一元二次方程，所以D选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.
2．C
【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为，
去年上半年平均每周作业时长为分钟，
去年下半年平均每周作业时长为分钟，
今年上半年平均每周作业时长为分钟，
现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．
3．B
【分析】利用概率公式分别求出抽到“K”的概率以及四个选项中每个事件的概率，再比较即可．
【详解】解：从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“”的概率为 ，
A．从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“大王”的概率为；
B．从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“2”的概率为；
C．从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“小王”的概率为；
D．从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，抽到“红桃”的概率为．
故选：B．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．A
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】解：从左边看，可得如下图形：
故选：A．
【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．
5．C
【分析】根据平行四边形的性质和矩形的判定和性质以勾股定理即可求解．
【详解】解：①∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BC2+CD2＝AC2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形，故②正确；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵∠1＝∠2，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故③正确；
④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故④错误；
能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个，
故选：C．
【点睛】此题考查的是平行四边形的性质和矩形的判定和性质以勾股定理，掌握它们的性质和判定定理是解题的关键．
6．A
【分析】根据菱形的性质求出边长以及，然后利用三角形中位线的性质即可解答．
【详解】解：∵菱形的周长为28，
∴，，
∵为边中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
7．C
【分析】根据黄金分割点的定义即可求解．
【详解】解：因为点是线段的黄金分割点，
所以．
故选C．
【点睛】本题考查黄金分割点，侧重考查知识点的记忆、理解、应用能力．
8．D
【分析】因为BE、CD是△ABC中的两条中线，可知DE是△ABC的中位线，于是，，根据，可得出，即可得出结论．
【详解】解：∵BE、CD是△ABC中的两条中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE=BC，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，根据题意得出，是解题的关键．
9．
【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得+、，代入求解即可．
【详解】解：∵实数、满足，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴，
∵一元二次方程的两个实数根分别为、，
∴+=2，=﹣3，
∴=，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．
10．
【分析】先设一个阴影部分的小正方形的面积为x，则阴影部分的面积为2x，从而确定出整个图形的面积，再根据几何概率的求法计算即可．
【详解】设一个阴影部分的小正方形的面积为x，则阴影部分的面积为2x，整个图形的面积为10x，
∴这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查几何概率的求法，掌握几何概率的求法是解题的关键．
11．##
【分析】由三视图可得这个半圆柱的底面直径为4，高为3，再利用表面积等于底面为两个半圆的面积加上侧面积即可.
【详解】解：由三视图可得这个半圆柱的底面直径为4，高为3，则表面积为：

故答案为：
【点睛】本题考查的是由三视图求解原立体图形的表面积，掌握“由三视图还原几何体及立体图形的表面积的计算方法”是解本题的关键.
12．①②③④
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定等知识点．由等腰三角形性质及三角形内角和可确定①；由线段垂直平分线性质及等腰三角形性质可判定③与②；由相似三角形判定可判定④；熟记相关几何结论进行推理是解题关键．
【详解】解：∵，
∴；
故①正确；
∵的中垂线交于D，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴平分；
故②③正确；
∵，，
∴；
故④正确；
故答案为：①②③④
13．
【分析】在网格上找到点，构造相似三角形即可求得的值．
【详解】如图，设与格点的交点为，所在网格线与所在的网格线的交点分别为．
又
．
故答案为．
【点睛】本题考查了格点中的相似三角形的判断与性质，利用相似三角形对应边成比例及格点中的数据求线段长是解题的关键．
14．##
【分析】由勾股定理得所以再由正方形的性质即可求解．
【详解】解：由题意可知，
∵是正方形的对角线，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
15．（1），；（2），．
【分析】（1）先将二次项的系数化为，然后根据配方法的步骤求解即可；
（2）先确定一元二次方程中、、的值，然后代入求根公式求解即可．
【详解】解：（1）两边都除以2，得：，
移项，得，
配方，得，，
∴或，
∴，；
（2）∵，
∴，，，
∴，
∴
，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法和公式法解方程．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式求解即可；
（2）由方程根与系数的关系得出关于m的一元二次方程求解，然后结合（1）中结果求解即可．
【详解】（1）解：，
其中a=1，b=-(8-4m)，c=，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即
解得：m<1；
（2）∵方程有两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
由（1）得m<1，
∴m=-2．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的根的判别式与根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的基础知识点是解题关键．
17．(1)元
(2)同意，见解析
【分析】（1）设售价定为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据该商品每天的利润为元列出方程，解方程并根据让利于顾客即可得到答案；
（2）由（1）得到关于x的一元二次方程，由根的判别式可知，方程没有实数根，结论得证．
【详解】（1）解：设售价定为元，则每件的销售利润为元，
每天的销售量为件，
依题意得，，
整理得：，
解得：，．
要让利于顾客，
．
答：该店主将每件售价定为元时，才能使该商品每天的利润为元，同时又让利于顾客．
（2）同意，理由如下：
依题意得：，
整理得：．
，
该方程没有实数根，
该商品每天的利润不能为元，故小红的说法正确．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
18．（1）40；320；（2）图见解析；（3）树状图见解析；恰好抽到2名男生的概率为
【分析】（1）根据“不了解”的人数除以其所占调查人数的百分比即可求出调查人数，求出“比较了解”的人数，然后求出“比较了解”人数所占百分比再乘800即可；
（2）根据“比较了解”的人数补全条形统计图即可；
（3）根据题意，画出树状图，然后根据概率公式求概率即可．
【详解】解：（1）本次抽取调查的学生共有4÷10%=40（人）
“比较了解”的人数有40－14－6－4=16
估计该校800名学生中“比较了解”的学生有×800=320（人）
故答案为：40；320；
（2）补全条形统计图如下：
（3）树状图如下所示
由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名男生的可能有6种
∴恰好抽到2名男生的概率为6÷12=．
【点睛】此题考查的是条形统计图、扇形统计图和求概率问题，结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息并掌握利用树状图求概率是解题关键．
19．(1)见解析
(2)这个组合几何体的表面积为26个平方单位；
(3)8
【分析】（1）根据主视图、左视图、俯视图的定义画出图形即可；
（2）分别求出6个面的面积，进一步得到这个组合几何体的表面积即可；
（3）根据保持这个几何体的左视图和俯视图不变，几何体的第二排的高度都是2个，可得这样的几何体最多要：个．
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）解：1×1=1，
这个组合几何体的表面积为（平方单位）；
故这个组合几何体的表面积为26个平方单位；
（3）解：（个）．
故搭这样的几何体最多要8个小立方体．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了作图-三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
20．6，2.5
【分析】由平行线分线段成比例解答即可．
【详解】∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB=3，AD=2，DE=4，
∴，
解得：BC=6，
∵l1∥l2∥l3，
∵AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，
∴，
∴，
解得：BF=2.5．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是由平行得到线段AB与已知条件中的线段之间的关系．
21．(1)见解析
(2)16
【分析】（1）根据已知条件推出，再根据即可证明；
（2）根据相似三角形的性质求出的面积为2，再由四边形的面积的面积的面积即可求出答案．
【详解】（1）证明，
∴，
∴，
同理，
，
又，
．
（2）解：，，
与的面积比为，
又的面积为18，
的面积为2，
四边形的面积的面积的面积．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
22．
【分析】首先连接BD，由每个菱形的锐角度数为60°，易得是等边三角形，进而求得BD的长，当每个菱形的内角度数为90°时，求出伸缩门的宽度，则可求得答案．
【详解】连接BD，
∵四边形是菱形，
∴，
∵∠A＝60°，
∴是等边三角形，
∴BD＝AB＝30cm=0.3m，
∴此时伸缩门的宽度为：0.3×20＝6(m)，
当每个菱形的内角度数为90°时，
∵BD＝AB＝(m)，
∴此时伸缩门的宽度为：×20＝(m)，
∴校门打开了： (m)．
答：校门打开了()米．
【点睛】本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是注意准确作出辅助线．
23．当点在上运动时，的值不发生变化，为24
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积，根据勾股定理求出，求出，，求出的面积，根据三角形面积公式得出，由此即可得出答案，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键．
【详解】解：当点在上运动时，的值不发生变化，
理由是：连接，
，
∵在矩形中，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即当点在上运动时，的值不发生变化，为24．
24．(1)证明见解析
(2)CF=-1
(3)存在，P点坐标为（1-，1-）或（-1+，-1+）或（-1，-1）或（，）．
【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；
（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF-BC即可求得；
（3）分三种情况分别讨论即可求得．
【详解】（1）证明：如图1，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：如图1，
∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBC=∠DBC=22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；
∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），
∴∠BGF=90°；
在△DBG和△FBG中，
，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），
∵BD==，
∴BF=，
∴CF=BF-BC=-1；

（3）解：如图2，
∵CF=-1，BH=CF
∴BH=-1，
①当BH=BP时，则BP=-1，
∵∠PBC=45°，
设P（x，x），
∴，
解得x=1-或-1+，
∴P（1-，1-）或（-1+，-1+）；
②当BH=HP时，则HP=PB=-1，
∵∠ABD=45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（-1，-1）；
③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（，），
综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1-，1-）或（-1+，-1+）或（-1，-1）或（，）．

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．