人教B版高中数学必修第一册第3章章末综合提升学案

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类型1　求函数的定义域与值域求函数的定义域和值域是考试中常见的题型．求函数的定义域时，注意将自变量x要满足的条件一一列出，不要遗漏；函数的值域就是所有函数值的集合，它由函数的定义域和函数的对应关系确定，所以不论用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域．常见的求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图像法、判别式法等．求函数的值域是一个较复杂的问题，要认真观察，根据不同的题型选择恰当的方法．【例1】　(1)求函数y＝eq \r(5－x)＋eq \r(x－1)－eq \f(1,x2－9)的定义域；(2)若定义运算a⊕b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b，a＜b，,a，a≥b，))求函数f(x)＝(x＋2)⊕x2的值域．[解]　(1)解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,x－1≥0，,x2－9≠0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤5，,x≥1，,x≠±3，))故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．(2)法一：令x＋2＜x2，得x＜－1或x＞2，令x＋2≥x2，得－1≤x≤2.故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，x＜－1或x＞2，,x＋2，－1≤x≤2.))当x＜－1或x＞2时，f(x)＞1；当－1≤x≤2时，1≤f(x)≤4.∵(1，＋∞)∪[1,4]＝[1，＋∞)，∴函数f(x)的值域为[1，＋∞)．法二：由新定义知f(x)的图像如图，由图像可知f(x)的最小值为1，无最大值．故f(x)的值域为[1，＋∞)． 类型2　求函数的解析式求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，使用解方程组法．(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．【例2】　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \r(x)＋1，则f(x)的解析式为________；(2)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(1＋x2,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)的解析式为________．(1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋\r(x)，x>0,0，x＝0,－\r(－x)－1，x<0))(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)[(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝eq \r(－x)＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝eq \r(－x)＋1，∴f(x)＝－eq \r(－x)－1.∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋\r(x)，x>0，,0，x＝0，,－\r(－x)－1，x<0.))(2)令t＝eq \f(1＋x,x)＝eq \f(1,x)＋1，则t≠1.把x＝eq \f(1,t－1)代入feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(1＋x2,x2)＋eq \f(1,x)，得f(t)＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1)))eq \s\up12(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t－1)))eq \s\up12(2))＋eq \f(1,\f(1,t－1))＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．] 类型3　函数的性质及应用巧用奇偶性及单调性解不等式(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式．(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解．【例3】　已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5).(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．[思路点拨]　(1)用f(0)＝0及f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)求a，b的值；(2)用单调性的定义求解．[解]　(1)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f0＝0，,f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝\f(2,5)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，))故f(x)＝eq \f(x,1＋x2).(2)证明：任取－10,1＋xeq \o\al(2,2)>0.又－10，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数． 类型4　函数的应用1．对于给出图像的应用性问题，首先我们可以根据函数图像用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．2．对于借助函数图像表达题目信息的问题，读懂图像是解题的关键．【例4】　某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？[解]　(1)由题图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD．设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则fA(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(980≤x≤60，,\f(3,10)x＋80x>60，))fB(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1680≤x≤500，,\f(3,10)x＋18x>500.))易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元．(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝eq \f(3,10)(n＋1)＋18－eq \f(3,10)n－18＝0.3(n>500)，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．(3)由题图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)500时，fA(x)>fB(x)．当60fA(x)；当eq \f(880,3)≤x≤500时，fA(x)>fB(x)．即当通话时间在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(880,3)，＋∞))时，方案B才会比方案A优惠．