人教B版 (2019)必修 第二册6.1.3 向量的减法当堂达标检测题

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.1.3 向量的减法当堂达标检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．(多选题)在△ABC中，向量eq \(BC,\s\up7(→))可表示为( )
A．eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)) B．eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))
C．eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))D．eq \(BA,\s\up7(→))－eq \(CA,\s\up7(→))
BCD [由向量的减法与加法可知B、C、D正确．]
2．下列说法正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a与b为相等向量
B．若a与b方向相反，则a与b为相反向量
C．若eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(DC,\s\up7(→))，则A，B，C，D四点一定可以构成平行四边形
D．两个单位向量之差可能仍然是单位向量
D [若|a|＝|b|，只能表示a和b的长度相等，不能说明为相等向量，A错误；
相反向量是方向相反，模相等的两个向量，B错误；
若eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(DC,\s\up7(→))，则A，B，C，D四点可能共线，不能构成平行四边形，C错误；
单位向量是模长等于1的向量，两个单位向量之差的模长可能仍然为1(如两单位向量夹角为60°时)，故D正确．]
3．在△ABC中，|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(BC,\s\up7(→))|＝|eq \(CA,\s\up7(→))|＝1，则|eq \(BC,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))|的值为( )
A．0 B．1 C．eq \r(3) D．2
B [|eq \(BC,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))|＝|eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CA,\s\up7(→))|＝|eq \(BA,\s\up7(→))|＝1．]
4．下列各式不能化简为eq \(PQ,\s\up7(→))的是( )
A．eq \(AB,\s\up7(→))＋(eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(BQ,\s\up7(→)))
B．(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→)))＋(eq \(BA,\s\up7(→))－eq \(QC,\s\up7(→)))
C．eq \(QC,\s\up7(→))－eq \(QP,\s\up7(→))＋eq \(CQ,\s\up7(→))
D．eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(BQ,\s\up7(→))
D [A项中，原式＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(BQ,\s\up7(→))＝eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BQ,\s\up7(→))＝eq \(PQ,\s\up7(→))；
B项中，原式＝(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BA,\s\up7(→)))＋(eq \(PC,\s\up7(→))－eq \(QC,\s\up7(→)))＝0＋eq \(PC,\s\up7(→))＋eq \(CQ,\s\up7(→))＝eq \(PQ,\s\up7(→))；
C项中，原式＝eq \(QC,\s\up7(→))＋eq \(CQ,\s\up7(→))－eq \(QP,\s\up7(→))＝0＋eq \(PQ,\s\up7(→))＝eq \(PQ,\s\up7(→))；
D项中，原式＝eq \(PB,\s\up7(→))－eq \(BQ,\s\up7(→))＝eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(QB,\s\up7(→))≠eq \(PQ,\s\up7(→))．]
5．已知平面内M，N，P三点满足eq \(MN,\s\up7(→))－eq \(PN,\s\up7(→))＋eq \(PM,\s\up7(→))＝0，则下列说法正确的是( )
A．M，N，P是一个三角形的三个顶点
B．M，N，P是一条直线上的三个点
C．M，N，P是平面内的任意三个点
D．以上都不对
C [因为eq \(MN,\s\up7(→))－eq \(PN,\s\up7(→))＋eq \(PM,\s\up7(→))＝eq \(MN,\s\up7(→))＋eq \(NP,\s\up7(→))＋eq \(PM,\s\up7(→))＝eq \(MP,\s\up7(→))＋eq \(PM,\s\up7(→))＝0，eq \(MN,\s\up7(→))＋eq \(NP,\s\up7(→))＋eq \(PM,\s\up7(→))＝0对任意情况是恒成立的．故M，N，P是平面内的任意三个点．故选C．]
二、填空题
6．eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(BD,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))的化简结果为________．
0 [原式＝(eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→)))－(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BD,\s\up7(→)))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AD,\s\up7(→))＝0．]
7．已知两向量a和b，如果a的方向与b的方向垂直，那么|a＋b|________ (选填“＝”“≤”或“≥”)|a－b|．
＝ [以a，b为邻边的平行四边形是矩形，
矩形的对角线相等．由加减法的几何意义知|a＋b|＝|a－b|．]
8．已知|a|＝7，|b|＝2，若a∥b，则|a－b|＝________．
5或9 [∵a∥b，当a与b同向时，|a－b|＝|7－2|＝5，
当a与b反向时，|a－b|＝|7＋2|＝9．]
三、解答题
9．如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示eq \(DB,\s\up7(→))；
(2)用b，c表示eq \(DB,\s\up7(→))；
(3)用a，b，e表示eq \(EC,\s\up7(→))；
(4)用d，c表示eq \(EC,\s\up7(→))．
[解] eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(BC,\s\up7(→))＝b，eq \(CD,\s\up7(→))＝c，eq \(DE,\s\up7(→))＝d，eq \(EA,\s\up7(→))＝e．
(1)eq \(DB,\s\up7(→))＝eq \(DE,\s\up7(→))＋eq \(EA,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＝d＋e＋a；
(2)eq \(DB,\s\up7(→))＝eq \(CB,\s\up7(→))－eq \(CD,\s\up7(→))＝－eq \(BC,\s\up7(→))－eq \(CD,\s\up7(→))＝－b－c；
(3)eq \(EC,\s\up7(→))＝eq \(EA,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝e＋a＋b；
(4)eq \(EC,\s\up7(→))＝－eq \(CE,\s\up7(→))＝－(eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(DE,\s\up7(→)))＝－c－d．
10．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，eq \(CM,\s\up7(→))＝a，eq \(CA,\s\up7(→))＝b，求证：
(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|．
[证明] 如图，在等腰Rt△ABC中，由M是斜边AB的中点，
得|eq \(CM,\s\up7(→))|＝|eq \(AM,\s\up7(→))|，
|eq \(CA,\s\up7(→))|＝|eq \(CB,\s\up7(→))|．
(1)在△ACM中，eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(CM,\s\up7(→))－eq \(CA,\s\up7(→))＝a－b．
于是由|eq \(AM,\s\up7(→))|＝|eq \(CM,\s\up7(→))|，得|a－b|＝|a|．
(2)在△MCB中，eq \(MB,\s\up7(→))＝eq \(AM,\s\up7(→))＝a－b，
所以eq \(CB,\s\up7(→))＝eq \(MB,\s\up7(→))－eq \(MC,\s\up7(→))＝a－b＋a＝a＋(a－b)．
从而由|eq \(CB,\s\up7(→))|＝|eq \(CA,\s\up7(→))|，
得|a＋(a－b)|＝|b|．
11．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且eq \(BP,\s\up7(→))＝eq \(QC,\s\up7(→))，则eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AP,\s\up7(→))－eq \(AQ,\s\up7(→))的结果为( )
A．0 B．eq \(BP,\s\up7(→)) C．eq \(PQ,\s\up7(→)) D．eq \(PC,\s\up7(→))
A [因为eq \(BP,\s\up7(→))＝eq \(QC,\s\up7(→))，所以eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AP,\s\up7(→))－eq \(AQ,\s\up7(→))＝(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AP,\s\up7(→)))＋(eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AQ,\s\up7(→)))＝eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(QC,\s\up7(→))＝－eq \(BP,\s\up7(→))＋eq \(QC,\s\up7(→))＝0．]
12．(多选题)已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A．eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝0
B．eq \(BD,\s\up7(→))－eq \(CF,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))
C．eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(CE,\s\up7(→))－eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))
D．eq \(BD,\s\up7(→))－eq \(BE,\s\up7(→))－eq \(FC,\s\up7(→))＝0
AC [因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
所以eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(DB,\s\up7(→))，eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(ED,\s\up7(→))，eq \(FC,\s\up7(→))＝eq \(DE,\s\up7(→))，eq \(FE,\s\up7(→))＝eq \(DB,\s\up7(→))，
所以eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(DB,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))＋eq \(ED,\s\up7(→))＝0，故A项成立．
eq \(BD,\s\up7(→))－eq \(CF,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→))＝eq \(BD,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→))－eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(BF,\s\up7(→))＋eq \(FC,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))，故B项不成立．
eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(CE,\s\up7(→))－eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(FE,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(DB,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))，故C项成立．
eq \(BD,\s\up7(→))－eq \(BE,\s\up7(→))－eq \(FC,\s\up7(→))＝eq \(ED,\s\up7(→))－eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \(ED,\s\up7(→))＋eq \(ED,\s\up7(→))≠0，故D项不成立．]
13．已知正方形ABCD的边长为1，则|eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))|＋|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AD,\s\up7(→))|＝________．
2eq \r(2) [∵正方形ABCD的边长为1，∴|eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))|＋|eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AD,\s\up7(→))|＝|eq \(AC,\s\up7(→))|＋|eq \(DB,\s\up7(→))|＝2eq \r(2)．]
14．如图，在正六边形ABCDEF中，与eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))相等的向量有________(填序号)．
①eq \(CF,\s\up7(→))；②eq \(AD,\s\up7(→))；③eq \(BE,\s\up7(→))；④eq \(DE,\s\up7(→))－eq \(FE,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))；⑤eq \(CE,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))；⑥eq \(CA,\s\up7(→))－eq \(CD,\s\up7(→))；⑦eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AE,\s\up7(→))．
①④ [∵四边形ACDF是平行四边形，
∴eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(CF,\s\up7(→))．
eq \(DE,\s\up7(→))－eq \(FE,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(DE,\s\up7(→))＋eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(CF,\s\up7(→))．
eq \(CE,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CE,\s\up7(→))＝eq \(BE,\s\up7(→))．
eq \(CA,\s\up7(→))－eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(DA,\s\up7(→))．
∵四边形ABDE是平行四边形，∴eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))．
综上可知与eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))相等的向量是①④．]
15．已知△OAB中，eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
[解] 由已知得|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|，以eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，
且eq \(OC,\s\up7(→))＝a＋b，eq \(BA,\s\up7(→))＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
∴|a＋b|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|＝2×eq \r(3)＝2eq \r(3)，
S△OAB＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3)．