2023-2024学年九年级下册人教版数学第二十七章相似单元测试

这是一份2023-2024学年九年级下册人教版数学第二十七章相似单元测试，共22页。
2023-2024学年九年级下册人教版数学第二十七章相似单元测试一、单选题（本大题共10小题）1．如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（    ）A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：42．若两个相似三角形对应边上的高的比为，则这两个三角形的周长的比为（    ）A． B． C． D．不能确定3．在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（　　）A．17km B．34km C．170km D．340km4．已知∽，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是（    ）A．： B．： C．： D．：5．如图，在中，，，的面积为36，则的面积为（     ）A．81 B．54 C．24 D．166．如图，与位似，，，分别为，，的中点，若面积是4，则的面积为（    ）．A．4 B．12 C．16 D．207．如图，在直角坐标系中，已知点A，点分别是轴和轴上的点，过轴上的另一点作，与反比例函数的图象交于、两点，恰好为的中点，连结和．若，的面积为，则的值为（    ）A． B． C． D．8．如图，四边形、都是正方形，点G在线段上，连接、，和相交于点O，设，，下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数是（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，且EF∥BC，FD∥AB，则下列各式正确的是(　　)A． B． C． D．10．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（　　）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题）11．如图，D是的边上一点，若，要使，只需添加条件________（只添一个即可）． 12．已知的两条直角边之比为，，若的最短边长，则最长边的中线长为 ．13．如图，在中，平分，，求的长 ．  14．如图，是的中线，点F在上，延长交于于点D，若，，则= ．15．若，则的值为 ．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是 ．三、解答题（本大题共9小题）17．正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F．  (1)如图1，若，求的值；(2)如图1，，若，求m的值．(3)如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系．18．已知，求的值．19．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标B杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．20．雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场有一处积水，若小李距积水2m，他正好从水面上看到距他约10m的前方一棵树顶端的影子（如图，积水水面大小忽略不计）．已知小李身高1.6m，请你计算一下树高大约是多少米？（积水与树和人都在同一直线上）21．如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：(1)如图1，当t为何值时，；(2)当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似；(3)点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．22．如图，在中，是上一点，于E，若，求四边形的面积．  23．如图，矩形，延长至点，使，连接，，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接交于点．当，时，求的长．24．咸阳统一广场的秦始皇雕塑，面对渭河，威风凛凛、气势恢宏！小军及其小组成员想利用所学知识测量该雕塑（如图1）的高度，测量方法如下：如图2，在阳光下，小军在直线上的点C处平放一平面镜，镜子不动，他来回走动，走到点D时，恰好在镜子中看到雕塑顶端A的像，这时，测得小军眼睛与地面的高度为米，米；然后，在阳光下，小军从D点沿方向走了米到达F处，此时该雕塑的影子顶端与小军的影子顶端恰好在点H重合，测得小军的身高为米，影长为米．已知，，，请你根据题中提供的相关信息，求该雕塑的高度．（平面镜大小忽略不计）  25．如图，的顶点均为网格中的格点．(1)选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个，使（相似比不为1）．(2)证明：．参考答案1．【答案】D【分析】证明，利用相似三角形的面积比等于像是比的平方即可得到答案．【详解】解：四边形为平行四边形， ， ，，，．故选：D．【关键点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．2．【答案】B【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为，∴这两个相似三角形的相似比为，∴这两个三角形的周长的比为，故选B．3．【答案】C【分析】要求3.4厘米表示的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可求解．【详解】解：（厘米），17000000厘米＝170千米，答：上海到杭州的实际距离是170千米，故选：C．【关键点拨】本题考查比例尺—比例线段，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4．【答案】B【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】∽，和是它们的对应角平分线，，，两三角形的相似比为：：：，则与的面积比是：：．故选：B．【关键点拨】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．5．【答案】D【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．由得到，再由证明∽，得到，据此即可求出的面积．【详解】解：∵∴∵，∴∽，∴，∵，∴．故选：D．6．【答案】C【分析】由和是位似三角形，为中点，可知，相似比为，由此可得答案．【详解】解：∵和是位似三角形，，，分别为，，的中点，∴，相似比为∵相似三角的面积比等于相似比的平方，又∵的面积为4，∴的面积为：，故选：C．【关键点拨】本题考查位似图形，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟练掌握位似图形的定义是解题的关键．7．【答案】C【分析】设DC交y轴F，设，先证明，再用相似三角形的性质求出，A、B坐标，知道的面积为，设，E为中点，可以得到是的三等分点，即可以求出k．【详解】设DC交y轴F，设∵，∴∵∴，得∴ ∴ 设，∵E为中点，∴∵由于C、E都在上，∴ ∴ ∴∴是的三等分点，∴∴b=3y，∴，得故得，∵在上∴ 故选：C【关键点拨】此题考查的是反比例函数交点问题以及相似三角形的性质和判定，掌握反比例函数的性质和相似三角形的性质和判定是解题的关键．8．【答案】B【分析】根据正方形的性质得到条件，利用即可证明，即可判断① ；延长交于点H，由，则，又由，得到，则，即可判断②；证明，则，即可判断③；证明，利用正方形的性质得到，则，利用相似三角形的性质即可得到，即可判断④．此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定等知识，证明、、等是解题的关键．【详解】①∵四边形、都是正方形， ∴，∴，在和中，，∴，故①正确；②延长交于点H，∵，∴，又∵，，∴，∴，∴；∴．故②正确；③∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴是错误的．故③错误；④∵，∴，∵，∴，∵，，四边形、都是正方形，∴，∴，∴， 故④正确；综上可知，正确的是①③④，故选：B．9．【答案】D【分析】根据EF∥BC，FD∥AB，可证得四边形EBDF是平行四边形，利用平行线分线段成比例逐一验证选项即可．【详解】解：∵EF∥BC，FD∥AB，∴四边形EBDF是平行四边形，∴BE=DF，EF=BD，∵EF∥BC，∴，，∴，故B错误，D正确；∵DF∥AB，∴，,∴，故A错误；∵，，故C错误；故选：D．【关键点拨】本题考查了平行四边形的的判定，平行线分线段成比例的定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．10．【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系；作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题．【详解】解：如图，作，使得，，则，，，，，，，，，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上，，的最大值为，故选：C．11．【答案】【分析】因为，则，所以只要再找到另一组对应角相等即可．【详解】解：只需添加条件使，证明如下：因为，则，当，则（两组对应角相等的三角形相似），故答案为：．【关键点拨】本题主要考查的是三角形相似的判定内容，正确掌握证明三角形相似的方法是解题的关键．12．【答案】10【分析】本题主要考查相似三角形的性质、勾股定理和直角三角形的性质定理，根据相似三角形的性质可得的两条直角边之比，进一步求得各边长，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得答案．【详解】解：∵，且的两条直角边之比为，∴的两条直角边之比也为 ，又∵的最短边长，∴的两条直角边分别为12和16，斜边为20，∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴最长边的中线长为．故答案为：10．13．【答案】【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义证明，则，然后利用平行线分线段成比例定理求出的长．【详解】解：平分，，，，，，，，，．【关键点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理及等腰三角形判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理及等腰三角形判定与性质是解题关键．14．【答案】/【分析】过点E作交于G，可得，所以，得到，再根据，得，得到，即可求解．【详解】解：如下图，过点E作交于G，是的中线，点E是的中点，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．【关键点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作，构造相似三角形是解题的关键．15．【答案】【分析】设则a=2k，b=3k(k为不等于0的实数)，代入式子计算化简即可．【详解】解：设则a=2k，b=3k(k为不等于0的实数)，代入式子中， ．故答案为：．【关键点拨】本题考查的是比例的性质和代数式的值，解题的关键是正确理解比例的性质．16．【答案】【分析】连接AE，由旋转变换的性质可知，∠ADE＝∠CDG，AD＝BC＝DE＝17，AB＝CD＝DG＝15，由勾股定理得，CE＝，得出BE＝BC−CE＝9，则AE＝，进一步证明△ADE∽△CDG，得出，然后即可得出结果．【详解】连接AE，如图所示：由旋转变换的性质可知，∠ADE＝∠CDG，AD＝BC＝DE＝17，AB＝CD＝DG＝15，由勾股定理得，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，则AE，∵，∠ADE＝∠CDG，∴△ADE∽△CDG，∴，解得，CG＝，故答案为：．【关键点拨】本题主要考查了旋转图形中相似三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.17．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形判定定理的内容是解题关键．（1）证可得，结合即可求解；（2）由可得，进一步可得，据此即可求解；（3）由（1）可得，证得即可求解．【详解】（1）解：由题意得：∴∴即：解得：（2）解：∵，∴∴由（1）可得：∴∴∵，∴解得：（3）解：由（1）得：即：解得：∵，∴∴即：∴整理得：∵∴，又∴故：18．【答案】【分析】设，则，， 然后代入计算即可．【详解】解：设，则，，∴．【关键点拨】本题考查比例的性质，此类题目用参数法求解是解题的常用解法，应熟练掌握．19．【答案】古塔的高度为22米【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意易知，，可得，，因为，推出，列出方程求出（米），由，可得，由此即可解决问题．【详解】解：由题意得：，，∴，，，∴，，（米），∵，∴，（米），答：古塔的高度为22米．20．【答案】米【分析】根据题意得：，然后利用相似三角形的性质列式计算即可．【详解】解：由题意得：，，，，，即：，解得：，所以树高大约是米．【关键点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形．21．【答案】(1)(2)或(3)存在，【分析】（1）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可；（2）分和分别讨论即可；（3）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可．【详解】（1）解：当时，，∴，∵，，∴，，∴，解得：，当时，；（2）∵，，，∴当时，同（1）可得：；当时，，即，解得：；综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似；（3）存在，理由是：如图，过P作，垂足为D，作边上的高，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，解得：或，当时，，故不合题意，∴，即存在，使得的面积等于4．【关键点拨】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论．22．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明，求出，进而求出四边形的面积．【详解】解：∵，∴∵，∴，∴，∵，∴，∴,∴．23．【答案】（1）证明见解析（2）．【分析】（1）先根据“AAS”证，可得，结合可得四边形是平行四边形，再根据四边形是矩形得进而可证得四边形是菱形；（2）先根据，求得，，进而可求得，再利用勾股定理求得，最后根据可得，由此即可求得BG的长．【详解】（1）证明：∵，∴．在与中，，∴．∴． ∴四边形是平行四边形．∵四边形是矩形，∴．∴．∴四边形是菱形．（2）解：∵在矩形中，∴，，∵，∴，∴在中，，∵在菱形中，∴，∴在中， ，∵，，∴．∴．【关键点拨】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、含30°的直角三角形的性质、勾股定理以及平行线分线段成比例，熟练掌握相关图形的性质及判定以及平行线分线段成比例定理是解决本题的关键．24．【答案】该雕塑的高度是14米【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键；首先得出，则，进而得出，则，即可得出答案；【详解】∵，，∴，∵，，∴，∴，即，∴．∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴．答：该雕塑的高度是14米．25．【答案】(1)图见解析(2)见解析【分析】（1）根据要求，画出一个，即可；（2）利用勾股定理求出各边长，利用三组对应边对应成比例，证明即可．【详解】（1）解：如图所示：即为所求，理由见（小问2）；（2）证明：设小正方形的边长为：1，由图可知：，由勾股定理，得：，，，，∴，∴，∴．【关键点拨】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．