初中数学28.1 锐角三角函数第1课时精练
展开28.1 正弦和余弦
第1课时 正弦及30°角的正弦值
01 基础题
知识点1 正弦的意义
1.如图,△ABC中,∠C=90°,则∠A的正弦值可以表示为(C)
A.eq \f(AC,AB) B.eq \f(AC,BC) C.eq \f(BC,AB) D.eq \f(BC,AC)
2.(贵阳中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则sinA的值为(D)
A.eq \f(5,12) B.eq \f(12,5) C.eq \f(12,13) D.eq \f(5,13)
3.正方形网格中,△AOB如图放置,则sin∠AOB=(C)
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3\r(13),13) D.eq \f(2\r(13),13)
4.已知△ABC中,AC=4,BC=3,AB=5,则sinA=(A)
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(5,3) D.eq \f(3,4)
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA=eq \f(2,3),则边AC的长是(A)
A.eq \r(5) B.3 C.eq \f(4,3) D.eq \r(12)
6.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦值(A)
A.不变 B.缩小为原来的eq \f(1,3)
C.扩大为原来的3倍 D.不能确定
7.如图,在平面直角坐标系内有一点P(5,12),那么OP与x轴的夹角α的正弦值是eq \f(12,13).
8.分别求出图中∠A、∠B的正弦值.
图1 图2
解:图1:AC=eq \r(AB2-BC2)=eq \r(62-22)=4eq \r(2),
∴sinA=eq \f(BC,AB)=eq \f(1,3),sinB=eq \f(AC,AB)=eq \f(2\r(2),3).
图2:AB=eq \r(AC2+BC2)=eq \r((\r(2))2+(\r(6))2)=2eq \r(2),
∴sinA=eq \f(BC,AB)=eq \f(\r(6),2\r(2))=eq \f(\r(3),2),sinB=eq \f(AC,AB)=eq \f(\r(2),2\r(2))=eq \f(1,2).
知识点2 30°角的正弦值
9.计算:sin30°=eq \f(1,2).
10.计算:sin30°-|-2|=-eq \f(3,2).
11.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠B=30°,则sin∠ADE的值为eq \f(1,2).
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A∶∠B=1∶2,则sinA=eq \f(1,2).
02 中档题
13.在Rt△ABC中,∠B=90°.若AC=2BC,则sinC的值是(C)
A.eq \f(1,2) B.2
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)
14.(乐山中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论中不正确的是(C)
A.sinB=eq \f(AD,AB) B.sinB=eq \f(AC,BC)
C.sinB=eq \f(AD,AC) D.sinB=eq \f(CD,AC)
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=eq \r(15),AB的垂直平分线ED交BC的延长线于点D,垂足为E,则sin∠CAD=(A)
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(\r(15),4) D.eq \f(\r(15),15)
16.(威海中考)如图,在下列网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上,则∠AOB的正弦值是(D)
A.eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(10),10)
17.如图,孔明同学背着一桶水,从山脚A出发,沿与地面成30°角的山坡向上走,送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处),AB=80米,则孔明从A到B上升的高度BC是40米.
18.如图,在▱ABCD中,连接BD,AD⊥BD,AB=4,sinA=eq \f(3,4),求▱ABCD的面积.
解:∵AD⊥BD,
∴在Rt△ABD中,sinA=eq \f(3,4)=eq \f(BD,AB).
∵AB=4,∴BD=3.
由勾股定理,得AD=eq \r(AB2-BD2)=eq \r(16-9)=eq \r(7),
∴S▱ABCD=AD·DB=eq \r(7)×3=3eq \r(7).
19.如图,等腰三角形的顶角为120°,腰长为2 cm,求它的底边长.
解:过点A作AD⊥BC于点D,则∠BAD=∠CAD=60°,BD=DC.
∵AD⊥BC,
∴∠B=30°.
∴sinB=eq \f(AD,AB)=eq \f(1,2).
∵AB=2,
∴AD=1,BD=eq \r(3).
∴BC=2eq \r(3).
20.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足,若AC=4,BC=3,求sin∠ACD的值.
解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=4,BC=3,
∴AB=eq \r(AC2+BC2)=5.
根据同角的余角相等,得∠ACD=∠B.
∴sin∠ACD=sinB=eq \f(AC,AB)=eq \f(4,5).
03 综合题
21.在Rt△ABC中,∠C=90°,请你根据正弦的定义证明sin2A+sin2B=1.
证明:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,
∴a2+b2=c2,sinA=eq \f(a,c),sinB=eq \f(b,c).
∴sin2A+sin2B=(eq \f(a,c))2+(eq \f(b,c))2=eq \f(a2+b2,c2)=1,
即sin2A+sin2B=1.
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