人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案设计，共12页。


气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国得克萨斯的一场龙卷风．这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化．蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索．从中我们还可以看出，南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美得克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点．
问题 既然感觉毫不相干的事物都是互相联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？
[提示] sin2α＋cs2α＝1，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))．
知识点 同角三角函数的基本关系式
(1)“同角”一词的含义是什么？
(2)两个公式成立的条件分别是什么？
[提示] (1)一是“角相同”，如sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cs215°＝1，sin2(α＋β)＋cs2(α＋β)＝1等．
(2)平方关系对于α∈R都成立；商数关系中公式成立的条件为：α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)因为sin2eq \f(9,4)π＋cs2eq \f(π,4)＝1，所以sin2α＋cs2β＝1成立，其中α，β为任意角．( )
(2)对任意角θ，sin2eq \f(θ,2)＋cs2eq \f(θ,2)＝1都成立．( )
(3)对任意的角α，都有eq \f(sin α,cs α)＝tan α成立．( )
[提示] (1)×．由同角三角函数的基本关系式知：sin2α＋cs2α＝1，且α为任意角．
(2)√．在sin2α＋cs2α＝1中，令α＝eq \f(θ,2)可得sin2eq \f(θ,2)＋cs2eq \f(θ,2)＝1．
(3)×．当α＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z时就不成立．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcs θ＝－eq \f(1,8)，则sin θ－cs θ的值为 ( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(\r(5),2) D．eq \f(\r(5),2)
D [θ是△ABC的一个内角，
由sin θcs θ＝－eq \f(1,8)<0得sin θ>0，
cs θ<0，sin θ－cs θ>0，又(sin θ－cs θ)2
＝sin2θ＋cs2θ－2sin θcs θ＝eq \f(5,4)，
所以有sin θ－cs θ＝eq \f(\r(5),2)．]
3．若sin α＋3cs α＝0，则eq \f(cs α＋2sin α,2cs α－3sin α)的值为________．
－eq \f(5,11) [因为sin α＋3cs α＝0，所以tan α＝－3，因此
原式＝eq \f(1＋2tan α,2－3tan α)＝eq \f(1＋2×－3,2－3×－3)＝－eq \f(5,11)．]
类型1 同角三角函数的基本关系式及简单应用
【例1】 (1)(对接教材P23例1改编)若sin α＝－eq \f(4,5)，且α是第三象限角，求cs α，tan α的值；
(2)若cs α＝eq \f(8,17)，求tan α的值；
(3)若tan α＝－eq \f(15,8)，求sin α的值．
[解] (1)因为sin α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(3,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))＝eq \f(4,3)．
(2)因为cs α＝eq \f(8,17)>0，
所以α是第一、四象限角．
当α是第一象限角时，
sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,17)))eq \s\up12(2))＝eq \f(15,17)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(15,8)；
当α是第四象限角时，
sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,17)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(15,17)，
所以tan α＝－eq \f(15,8)．
(3)因为tan α＝－eq \f(15,8)<0，
所以α是第二、四象限角．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α＝\f(sin α,cs α)＝－\f(15,8)，,sin2α＋cs2α＝1，))可得sin2α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,17)))eq \s\up12(2)．
当α是第二象限角时，sin α＝eq \f(15,17)；
当α是第四象限角时，sin α＝－eq \f(15,17)．
求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cs θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cs θ)常用以下方式求解
提醒：当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
eq \([跟进训练])
1．已知cs α＝－eq \f(3,5)，α是第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________．
－eq \f(4,5) eq \f(4,3) [法一：∵α是第三象限角，
∴sin α<0，
则sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(4,5)，∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(4,3)．
法二：注意到cs α的值中有勾股数“3,4,5”中的“3,5”，又α是第三象限角，∴sin α＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(4,3)．]
类型2 三角函数式的求值
角度1 弦切互化求值
【例2】 已知tan α＝3，求下列各式的值．
(1)eq \f(4sin α－cs α,3sin α＋5cs α)；
(2)eq \f(sin2α－2sin α·cs α－cs2α,4cs2α－3sin2α)；
(3)eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(1,2)cs2α．
[解] (1)原式＝eq \f(4tan α－1,3tan α＋5)＝eq \f(4×3－1,3×3＋5)＝eq \f(11,14)．
(2)原式＝eq \f(tan2α－2tan α－1,4－3tan2α)＝eq \f(9－2×3－1,4－3×32)＝－eq \f(2,23)．
(3)原式＝eq \f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)
＝eq \f(\f(3,4)×9＋\f(1,2),9＋1)＝eq \f(29,40)．
已知角α的正切值tan α，求关于sin α和cs α齐次式的值的方法
(1)形如eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)的分式，可将分子、分母同时除以cs_α；形如eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α)的分式，可将分子、分母同时除以cs2α，将正、余弦转化为正切，从而求值．
(2)形如asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cs2α，转化为形如eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,sin2α＋cs2α)的分式求解．
eq \([跟进训练])
2．已知sin θ－2cs θ＝0．
(1)若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求sin θ，cs θ及tan θ的值；
(2)求eq \f(1,cs2θ＋2sin θcs θ)的值．
[解] (1)因为sin θ－2cs θ＝0，所以tan θ＝2，
又因为sin2θ＋cs2θ＝1，所以5cs2θ＝1，
因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs θ＝eq \f(\r(5),5)，sin θ＝eq \f(2\r(5),5)．
(2)eq \f(1,cs2θ＋2sin θcs θ)
＝eq \f(sin2θ＋cs2θ,cs2θ＋2sin θcs θ)
＝eq \f(tan2θ＋1,1＋2tan θ)＝eq \f(4＋1,1＋4)＝1．
角度2 sin α±cs α型求值问题
【例3】 已知sin θ＋cs θ＝eq \f(1,2)(0<θ<π)，求sin θcs θ和sin θ－cs θ的值．
[解] 因为sin θ＋cs θ＝eq \f(1,2)(0<θ<π)，
所以(sin θ＋cs θ)2＝eq \f(1,4)，
即sin2θ＋2sin θcs θ＋cs2θ＝eq \f(1,4)，
所以sin θcs θ＝－eq \f(3,8)．
由上式可知，θ为第二象限的角，
所以sin θ－cs θ>0，
所以sin θ－cs θ＝eq \r(sin θ＋cs θ2－4sin θcs θ)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8))))＝eq \f(\r(7),2)．
已知sin α±cs α，sin αcs α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：
(1)(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ；
(2)(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ；
(3)(sin θ＋cs θ)2＋(sin θ－cs θ)2＝2；
(4)(sin θ－cs θ)2＝(sin θ＋cs θ)2－4sin θcs θ．
eq \([跟进训练])
3．(1)已知sin α－cs α＝－eq \f(5,4)，则sin αcs α等于( )
A．eq \f(\r(7),4)B．－eq \f(9,16)
C．－eq \f(9,32) D．eq \f(9,32)
(2)已知sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，且0(1)C [由已知得(sin α－cs α)2＝eq \f(25,16)，
即sin2α＋cs2α－2sin αcs α＝eq \f(25,16)，
又sin2α＋cs2α＝1，∴1－2sin αcs α＝eq \f(25,16)，
∴sin αcs α＝－eq \f(9,32)．故选C．]
(2)[解] ∵sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，①
两边平方，得sin2x＋2sin xcs x＋cs2x＝eq \f(1,25)，
∴2sin xcs x＝－eq \f(24,25)，
∴(sin x－cs x)2＝sin2x＋cs2x－2sin x·cs x＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25)．
∵sin xcs x<0，而0∴sin x>0，cs x<0，
∴sin x－cs x>0，则sin x－cs x＝eq \f(7,5)．②
联立①②两式，
解得sin x＝eq \f(4,5)，cs x＝－eq \f(3,5)，故tan x＝－eq \f(4,3)．
类型3 利用同角三角函数基本关系式化简
【例4】 已知α是第三象限角，化简：eq \r(\f(1＋sin α,1－sin α))－eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))．
[解] 原式＝eq \r(\f(1＋sin α1＋sin α,1＋sin α1－sin α))－
eq \r(\f(1－sin α1－sin α,1＋sin α1－sin α))＝eq \r(\f(1＋sin α2,1－sin2α))－
eq \r(\f(1－sin α2,1－sin2α))＝eq \f(1＋sin α,|cs α|)－eq \f(1－sin α,|cs α|)．
因为α是第三象限角，所以cs α<0．
所以原式＝eq \f(1＋sin α,－cs α)－eq \f(1－sin α,－cs α)＝－2tan α．
同角三角函数关系式化简的注意问题
利用同角三角函数基本关系化简求值时，涉及两个基本关系式sin2α＋cs2α＝1和tan α＝eq \f(sin α,cs α)，它们揭示同一角的各三角函数间的关系，尤其是利用sin2α＋cs2α＝1及变形形式sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α进行开方运算时，要注意符号的判断．
提醒：对于含有根号的三角函数式，常把根号里面的部分利用平方差公式和平方关系化简，然后去根号达到化简的目的．
eq \([跟进训练])
4．已知α为第二象限角，化简：cs αeq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＋sin αeq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))．
[解] cs αeq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＋sin αeq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))
＝cs αeq \r(\f(1－sin α2,1－sin2α))＋sin αeq \r(\f(1－cs α2,1－cs2α))
＝cs αeq \f(1－sin α,|cs α|)＋sin αeq \f(1－cs α,|sin α|)．
因为α是第二象限角，所以cs α<0，sin α>0，
所以原式＝－(1－sin α)＋1－cs α＝sin α－cs α．
类型4 利用同角三角函数关系式证明
【例5】 求证：eq \f(1－2sin xcs x,cs2x－sin2x)＝eq \f(1－tan x,1＋tan x)．
[证明] 法一：因为左边
＝eq \f(sin2x＋cs2x－2sin xcs x,cs2x－sin2x)＝eq \f(cs x－sin x2,cs x－sin xcs x＋sin x)
＝eq \f(cs x－sin x,cs x＋sin x)＝eq \f(\f(cs x,cs x)－\f(sin x,cs x),\f(cs x,cs x)＋\f(sin x,cs x))＝eq \f(1－tan x,1＋tan x)＝右边．
所以原式成立．
法二：由法一知，左边＝eq \f(cs x－sin x,cs x＋sin x)，
右边＝eq \f(1－\f(sin x,cs x),1＋\f(sin x,cs x))＝eq \f(cs x－sin x,cs x＋sin x)，
所以左边＝右边，原式成立．
1．证明恒等式的常用思路：
(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；
(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；
(3)比较法(作差法，作比法)．
2．常用的技巧：
(1)巧用“1”的代换；
(2)化切为弦；
(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
eq \([跟进训练])
5．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证sin2β＝2sin2α－1．
[证明] 因为tan2α＝2tan2β＋1，
所以1＋tan2α＝2(1＋tan2β)，
即eq \f(sin2α＋cs2α,cs2α)＝2×eq \f(cs2β＋sin2β,cs2β)，
即eq \f(1,cs2α)＝eq \f(2,cs2β)，
所以cs2β＝2cs2α，
所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
所以sin2β＝2sin2α－1．
1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－eq \f(sin α,cs α)B．cs α＝－eq \r(1－sin2 α)
C．sin α＝－eq \r(1－cs2 α)D．tan α＝eq \f(cs α,sin α)
B [由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cs α＜0，sin α＞0，故B项正确．]
2．已知α是第四象限角，cs α＝eq \f(12,13)，则sin α等于( )
A．eq \f(5,13)B．－eq \f(5,13)
C．eq \f(5,12)D．－eq \f(5,12)
B [由条件知sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(5,13)．]
3．已知tan α＝－eq \f(1,2)，则eq \f(2sin αcs α,sin2α－cs2α)的值是( )
A．eq \f(4,3)B．3
C．－eq \f(4,3)D．－3
A [因为tan α＝－eq \f(1,2)，所以eq \f(2sin αcs α,sin2α－cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α－1)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－1)＝eq \f(4,3)．]
4．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cs α)的结果是________．
sin α [原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(cs α,sin α)))(1－cs α)
＝eq \f(1＋cs α1－cs α,sin α)＝eq \f(1－cs2α,sin α)＝eq \f(sin2α,sin α)＝sin α．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．同角三角函数的基本关系式是什么？
[提示] (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cs2α＝1．
(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，
即eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中α≠kπ＋\f(π,2)k∈Z))．
2．sin θ±cs θ与sin θcs θ之间有何转换关系？
[提示] (1)(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ；
(2)(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ；
(3)(sin θ＋cs θ)2＋(sin θ－cs θ)2＝2；
(4)(sin θ－cs θ)2＝(sin θ＋cs θ)2－4sin θcs θ．
3．已知tan α，如何求形如eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)或eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α)的齐次式问题？
[提示] 已知tan α＝m，可以求eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)或eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α)的值，将分子分母同除以cs α或cs2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)
2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)
1．通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养．
2．借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养．
平方关系
商数关系
公式
sin2α＋cs2α＝1
tan α＝eq \f(sin α,cs α)(α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)
语言叙述
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
常见变形
sin2α＝1－cs2α；
cs2α＝1－sin2α
sin α＝cs αtan α；
cs α＝eq \f(sin α,tan α)