高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式当堂检测题

7.2.3　同角三角函数的基本关系式

基础过关练

题组一　利用同角三角函数的基本关系式求值

1.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为(　　)　　 　　　　　 　　　　　

A.-      B.-        C.       D.

2.已知sin θ=,θ∈,则tan θ=(　　)

A.-2      B.-     C.-       D.-

3.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sin θcos θ的值为(　　)

A.        B.-      C.       D.-

4.已知sin α+cos α=,则sin αcos α=　　　　. 

5.已知cos α=-,且tan α>0,则=　　　　. 

题组二　化简与证明

6.化简的结果为(　　)

A.sin 50°-cos 50°        B.cos 50°-sin 50°

C.sin 50°+cos 50°          D.-sin 50°-cos 50°

7.若α为第三象限角,则+的值为　　　　. 

8.化简-的结果是　　　　. 

9.求证:=.

题组三　齐次式的求值问题

10.已知=2,则sin θcos θ的值是(　　)

A.         B.±       C.          D.-

11.已知=,则tan θ的值为(　　)

A.-4      B.-          C.             D.4

12.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P(3,4),则=　　　　. 

13.已知tan α=,求下列各式的值:

(1)+; (2); (3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α.

14.已知2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=1,α∈-,-π.求:

(1)tan α; (2).

能力提升练

一、单项选择题

1.(2019北京海淀高一期末,疑难1,★★☆)已知tan α=,sin α<0,则

cos α=(　　) 　　　　　 　　　　　

1.            B.-             C.             D.-

2.(2019河北唐山高三期末,疑难2,★★☆)已知tan θ=3,则cos2θ=(　　)

A.          B.         C.          D.

3.(2018四川内江高一期末,疑难1,★★☆)已知sin α,cos α是方程3x2-2x+a=0的两根,则实数a的值为(　　)

A.           B.-          C.             D.-

4.(2019广西南宁三中高一期末,疑难2,★★☆)若=,则sin2α-

sin αcos α-3cos2α=(　　)

1.           B.         C.             D.

二、多项选择题

5.(疑难3,★★☆)下列计算或化简结果正确的是(　　)

A.=2

B.若sin θ·cos θ=,则tan θ+=2

C.若tan x=,则=1

D.若α为第一象限角,则+=2

6.(疑难3,★★☆)若α是第二象限角,则下列各式中成立的是(　　)

A.=sin α-cos α          B.cos α=-

C.=sin α+cos α        D.sin α=-

三、填空题

7.(2019浙江嘉兴高一期末,疑难1,★★☆)已知sin α-cos α=(0<α<π),则sin α=　　　　,tan α=　　　　. 

8.(疑难2,★★☆)已知sin θ+3cos θ=0,则cos2θ-sin2θ=　　　　. 

9.(疑难1,★★☆)已知π<α<2π,sin α+cos α=,则tan α=　　　　. 

10.(2019上海普陀一模,★★★)设a>0且a≠1,若loga(sin x-cos x)=0,则sin8x+cos8x=　　　　. 

四、解答题

11.(2019浙江台州高一期末,疑难1、2,★★☆)已知sin α+2cos α=.

(1)求tan α的值;

(2)求的值.

12.(2019黑龙江鹤岗一中高一期末,疑难1、3,★★★)已知-<x<,sin x+cos x=.

(1)求的值;

(2)求sin x-cos x的值.

答案全解全析

基础过关练

1.B　∵cos2α=1-sin2α=1-=,

∴sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=-=-.

2.D　∵sin θ=,θ∈,

∴cos θ=-=-,

∴tan θ===-.

3.A　由sin4θ+cos4θ=,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,∴sin2θcos2θ=.

∵θ是第三象限角,

∴sin θcos θ>0,∴sin θcos θ=.

4.答案　-

解析　∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=,即sin2α+2sin αcos α+cos2α=,

即1+2sin αcos α=,∴sin αcos α=-.

5.答案　-

解析　由cos α=-<0,tan α>0知α是第三象限角,所以sin α=-,

故=

=sin α(1+sin α)=×

=-.

6.A　

=

=

=|sin 50°-cos 50°|=sin 50°-cos 50°.

故选A.

7.答案　-3

解析　∵α为第三象限角,∴sin α<0,cos α<0,

∴原式=+=+=-1-2=-3.

8.答案　-

解析　原式=

===-.

9.证明　证法一:原式左边

=

=

=

=

===右边,

∴原等式成立.

证法二:∵原式右边==,

原式左边==

=

=,

∴左边=右边,故原等式成立.

10.C　解法一:由=2,得=2,解得tan θ=3,所以sin θcos θ===.

解法二:由题意得sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ),所以(sin θ+cos θ)2=4(sin θ-cos θ)2,

解得sin θcos θ=.故选C.

11.A　==,解得tan θ=-4.

12.答案　10

解析　根据角α的终边过点P(3,4),利用三角函数的定义,可以求得tan α=,

所以====10.

13.解析　(1)+=+,将tan α=代入,得原式=+=.

(2)==,将tan α=代入,得原式=.

(3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α

=

=,将tan α=代入,得原式==.

14.解析　(1)2cos2α+3cos αsin α-3sin2α

=

==1,

即4tan2α-3tan α-1=0,

解得tan α=-或tan α=1.

∵α∈-,-π,

∴α为第二象限角,

∴tan α<0,∴tan α=-.

(2)∵tan α=-,

∴原式==

==.

能力提升练

一、单项选择题

1.D　由tan α=,得=,即sin α=cos α,代入sin2α+cos2α=1,得cos α=±.

∵sin α<0,tan α>0,∴α为第三象限角,

∴cos α=-.

2.D　因为cos2θ==,

又tan θ=3,所以cos2θ=.

3.B　由题意,根据根与系数的关系得sin α+cos α=,sin αcos α=,

∵sin2α+cos2α=1,

∴sin2α+cos2α=(sin α+cos α)2-2sin αcos α=-=1,解得a=-.

把a=-代入原方程,得3x2-2x-=0,∵Δ>0,∴a=-符合题意.

4.C　由=可知,cos α≠0,

∴==,∴tan α=-3,

∴sin2α-sin αcos α-3cos2α

=

===.

二、多项选择题

5.ABD　A正确,=·=2;

B正确,tan θ+=+==2;

C不正确,===2;

D正确,∵α为第一象限角,∴原式=+=2.

综上,A,B,D正确,故选ABD.

6.AB　因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0,sin α+cos α的符号不确定,所以==sin α-cos α,所以A,B正确,C,D错误.

三、填空题

7.答案　;-1

解析　由题意可得

解得则tan α==-1.

8.答案　-

解析　由sin θ+3cos θ=0得tan θ=-3,所以cos2θ-sin2θ====-.

9.答案　-

解析　∵π<α<2π,sin α+cos α=,∴sin α<0,cos α>0.

由sin2α+cos2α=1,可得+cos2α=1,

解得cos α=或cos α=-(舍去),∴sin α=-,可得tan α=-.

10.答案　1

解析　已知a>0且a≠1,∵loga(sin x-cos x)=0,∴sin x-cos x=a0=1,

∴(sin x-cos x)2=1.

又sin2x+cos2x=1,∴sin x·cos x=0,

∴(sin x+cos x)2=1,

sin8x+cos8x=(sin4x-cos4x)2+2sin4x·cos4x

=[(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)]2+0

=[(sin x+cos x)(sin x-cos x)]2

=(sin x+cos x)2(sin x-cos x)2=1.

四、解答题

11.解析　(1)因为sin α+2cos α=,

所以sin α=-2cos α,

代入sin2α+cos2α=1可得5cos2α-4·cos α+4=0,

所以(cos α-2)2=0,

故cos α=,sin α=,

所以tan α=.

(2)因为=,所以将tan α=代入,得原式==.

12.解析　(1)∵sin x+cos x=,

∴1+2sin xcos x=,即sin xcos x=-.

=

=

=sin xcos x=-.

(2)由(1)知sin xcos x=-<0,

又∵-<x<,∴cos x>0,sin x<0,∴sin x-cos x<0,

∴sin x-cos x=-

=-=-.