高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式背景图课件ppt

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1.理解同角三角函数的基本关系式:2.会利用同角三角函数的基本关系式解决相关问题.
美国气象学家爱德华·罗伦兹1963年提出一个观点:“一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风.”这就是闻名于世的“蝴蝶效应”.此效应的本义是事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.
从这个比喻我们还可以看出,南美洲亚马孙热带雨林中的一只蝴蝶与美国得克萨斯州的一场龙卷风看起来是毫不相干的两种事物,却有这样的联系,这也验证了哲学理论中事物之间是普遍联系的这一观点.看似不相关的事物间都是相互联系的,那么“同一个角”的三角函数间会存在什么样的关系呢?本节课我们就来探索这个问题.
知识点:同角三角函数的基本关系
名师点析 (1)基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角.(3)sin2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的.
微拓展同角三角函数基本关系式的变形1.sin2α+cs2α=1的变形(1)sin2α=1-cs2α;(2)cs2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cs2α;(4)(sin α+cs α)2=1+2sin αcs α;(5)(sin α-cs α)2=1-2sin αcs α.
微练习(1)sin22 021°+cs22 021°=(　　)A.0B.1C.2 021D.2 021°(2)若sin θ+cs θ=0,则tan θ=　　　　　. 解析(1)由平方关系知sin22 021°+cs22 021°=1.(2)由sin θ+cs θ=0得sin θ=-cs θ,答案(1)B　(2)-1
利用同角三角函数基本关系式求值
反思感悟 利用同角三角函数基本关系式解决给值求值问题的方法(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
反思感悟 已知角α的正切值,求由sin α和cs α构成的代数式的值(1)对分式齐次式,因为cs α≠0,一般可在分子和分母中同时除以csnα,使所求代数式化成关于tan α的代数式,从而得解;(2)对整式(一般是指关于sin2α,cs2α)齐次式,把分母看为“1”,用sin2α+cs2α替换“1”,从而把问题转化成分式齐次式,在分子和分母中同时除以cs2α,即可得关于tan α的代数式,从而得解.
利用同角三角函数关系式化简
=|sin 40°-cs 40°|,因为sin 40°反思感悟 三角函数式化简的常用方法(1)化切为弦,即把正切函数化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cs2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
利用同角三角函数关系式证明
反思感悟 1.证明恒等式的常用思路:(1)从一边证到另一边,一般由繁到简;(2)左右开弓,即证左边、右边都等于第三者;(3)比较法(作差法,作比法).2.常用的技巧:(1)巧用“1”的代换;(2)化切为弦;(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).
变式训练3已知tan2α=2tan2β+1,求证sin2β=2sin2α-1.
平方关系的应用技巧在sin α+cs α,sin α-cs α和sin αcs α三个式子中,已知其中一个可以求另外两个的值,即“知一求二”.它们的关系是(sin α+cs α)2=1+2sin αcs α,(sin α-cs α)2=1-2sin αcs α.另外,在化简、证明时,经常利用“1”的代换,将1±2sin αcs α化为完全平方式(sin α±cs α)2.
方法点睛 可以通过平方、切化弦、分解因式或配方等手段将所求代数式变形,从而找到所求代数式与已知代数式的关系,达到求值的目的.