人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案设计，共12页。

气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国得克萨斯的一场龙卷风．这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化．蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索．从中我们还可以看出，南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美得克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点．
问题 既然感觉毫不相干的事物都是互相联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？
[提示] sin2α＋cs2α＝1，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))．
知识点 同角三角函数的基本关系式
(1)“同角”一词的含义是什么？
(2)两个公式成立的条件分别是什么？
[提示] (1)一是“角相同”，如sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cs215°＝1，sin2(α＋β)＋cs2(α＋β)＝1等．
(2)平方关系对于α∈R都成立；商数关系中公式成立的条件为：α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)因为sin2eq \f(9,4)π＋cs2eq \f(π,4)＝1，所以sin2α＋cs2β＝1成立，其中α，β为任意角．( )
(2)对任意角θ，sin2eq \f(θ,2)＋cs2eq \f(θ,2)＝1都成立．( )
(3)对任意的角α，都有eq \f(sin α,cs α)＝tan α成立．( )
[提示] (1)×．由同角三角函数的基本关系式知：sin2α＋cs2α＝1，且α为任意角．
(2)√．在sin2α＋cs2α＝1中，令α＝eq \f(θ,2)可得sin2eq \f(θ,2)＋cs2eq \f(θ,2)＝1．
(3)×．当α＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z时就不成立．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcs θ＝－eq \f(1,8)，则sin θ－cs θ的值为 ( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(\r(5),2) D．eq \f(\r(5),2)
D [θ是△ABC的一个内角，
由sin θcs θ＝－eq \f(1,8)0，
cs θ0，又(sin θ－cs θ)2
＝sin2θ＋cs2θ－2sin θcs θ＝eq \f(5,4)，
所以有sin θ－cs θ＝eq \f(\r(5),2)．]
3．若sin α＋3cs α＝0，则eq \f(cs α＋2sin α,2cs α－3sin α)的值为________．
－eq \f(5,11) [因为sin α＋3cs α＝0，所以tan α＝－3，因此
原式＝eq \f(1＋2tan α,2－3tan α)＝eq \f(1＋2×－3,2－3×－3)＝－eq \f(5,11)．]
类型1 同角三角函数的基本关系式及简单应用
【例1】 (1)(对接教材P23例1改编)若sin α＝－eq \f(4,5)，且α是第三象限角，求cs α，tan α的值；
(2)若cs α＝eq \f(8,17)，求tan α的值；
(3)若tan α＝－eq \f(15,8)，求sin α的值．
[解] (1)因为sin α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(3,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))＝eq \f(4,3)．
(2)因为cs α＝eq \f(8,17)>0，
所以α是第一、四象限角．
当α是第一象限角时，
sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,17)))eq \s\up12(2))＝eq \f(15,17)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(15,8)；
当α是第四象限角时，
sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,17)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(15,17)，
所以tan α＝－eq \f(15,8)．
(3)因为tan α＝－eq \f(15,8)