2021-2022学年内蒙古通辽市科左中旗八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年内蒙古通辽市科左中旗八年级下学期期中数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30分）
化简：
A. B. C. D.
数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图所示的正方形，则正方形的边长为
A. B. C. D.
下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
下列三个数中，能组成一组勾股数的是
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上下列结论：其中正确的有
≌；；；
A. 个B. 个C. 个D. 个
某街区街道如图所示，其中垂直平分，，从站到站有两条公交线路；线路是，线路是，则两条线路的长度关系为
A. 路线较短
B. 路线较短
C. 两条路线长度相等
D. 两条线路长度不确定
以不共线的三点、、为顶点的平行四边形共有个．
A. B. C. D. 无数
是整数，正整数的最小值是
A. B. C. D.
下列各数中，与的积为有理数的是
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
计算：______，______，______．
如图，四边形是一个矩形，其中，，直线上有一个动点，平面上有一点，当以，，，为顶点的四边形为菱形时，则的长为______．
如果二次根式有意义，则______．
如图，为平行四边形的对角线，、分别在、上，且，则______填“”、“”或“”．
当______时，式子有意义．
如图，四边形、是正方形，点、分别在、上，连接，过点作，交于点，若，，则______ ．
如图所示，是由沿水平方向平移得到的，如果，，，则______，______，______．
如图，中，，垂足为下列条件中，能证明是直角三角形的有______多选、错选不得分．


．
三、解答题（本大题共6小题，共48分）
在边长为的等边中，点是边边上的一动点，点在边上，且，射线绕点顺时针旋转交边于．
如图，求证：；
如图，在射线上取，连接，
求的度数；
取边的中点，当取最小值时，求的长．
如图，在四边形中，，，，，求：
的长；
的度数．
如图，在▱中，，分别是，上的点，且，求证：四边形是菱形．
先化简，再求值：当时，求的值．
如图，矩形中，，，过对角线中点的直线分别交，边于点，．
求证：四边形是平行四边形；
当四边形是菱形时，求的长．
如图，在中，，，是内一点，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据二次根式乘法、商的算术平方根等概念分别判断．
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的乘除法，二次根式的性质，注意是非正数．
2.【答案】
【解析】解：如图，图中，连接．
图中，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
正方形的边长为，
故选：．
如图，图中，连接在图中，证是等边三角形，得出即可得到答案．
本题考查菱形的性质、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】解：、，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D、，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4.【答案】
【解析】解：、，不符合勾股数的定义；
B、，不符合勾股数的定义；
C、，不符合勾股数的定义；
D、，符合勾股数的定义；
故选：．
勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
本题考查了勾股数的定义，注意：作为勾股数的三个数必须是正整数．一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．记住常用的勾股数再做题可以提高速度．
5.【答案】
【解析】解：和都是等腰直角三角形，
，，，，，
，
，故正确；
，
，
在和中，，
≌，故正确；
，，
，
是直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，故正确；
在上截取，连接，如图所示：
在和中，，
≌，
，
当时，是等边三角形，
则，此时，故不正确；
故选：．
由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出正确；由证出≌，正确；证出是直角三角形，由勾股定理得出正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出不正确；即可得出答案．
本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：这两条路线路程的长度一样．
理由如下：延长交于点，
，，
四边形是平行四边形，
，
垂直平分，
，，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
垂直平分，
，，
，
路线的长度为：，路线的长度为：，
路线路程长度与路线路程长度相等．
故选：．
延长交于点，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质、结合图形判断即可．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，根据平行四边形的判定定理得出四边形是平行四边形是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，分别以、、为对角线作平行四边形，共可以作出个平行四边形．
故选：．
分别以的三边为对角线作出平行四边形即可得解．
本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线．
8.【答案】
【解析】解：是整数，
正整数的最小值为，
故选B
根据为整数，为正整数，确定出的最小值即可．
此题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式定义是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：、为无理数，故本选项不符合题意；
B.为无理数，故本选项不符合题意；
C. 为无理数，故本选项不符合题意；
D. 为有理数，故本选项符合题意．
故选：．
应用二次根式的乘法法则进行计算，再根据有理数的定义进行判定即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的乘法及有理数的定义，熟练掌握二次根式的乘法运算法则进行计算及有理数的定义进行判定是解决本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：已知，，三点的坐标分别是，，，
在轴上，
点与点的纵坐标相等，都为，
又点相对于点横坐标移动了，
点横坐标为，
即顶点的坐标．
故选：．
因为点坐标为，由平行四边形的性质，可知点的纵坐标一定是，又由点相对于点横坐标移动了，故可得点横坐标为，即顶点的坐标．
本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余补角的等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．
11.【答案】
【解析】解：、、，
故答案为：、、．
根据二次根式的性质逐一计算可得．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．
12.【答案】或或
【解析】解：在矩形中，，，
，
，
当时为等边三角形，
分别以，，为对角线作菱形，
，，
，
，
，
当 时，可得菱形，
或或．
故答案为：或或．
根据矩形的性质得，分两种情况：当时为等边三角形，当时，可得菱形，利用菱形的性质及勾股定理可得答案．
此题考查的是矩形的性质、菱形的判定与性质，正确作出图形是解决此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：连结，，如图，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
连结，，根据平行四边形的性质可得，，由已知条件，根据等底同高的三角形面积相等可得，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形面积表示方法，正确表示出，是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零可得：，在解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
四边形，都是正方形，
，
又，
四边形平行四边形，
，
四边形，都是正方形，
，，
，
．
故答案为：．
求出的长，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求出四边形平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，再根据正方形的性质可得，，然后求出即可得解．
本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记性质并求出四边形平行四边形是解题的关键，也是本题的难点．
17.【答案】
【解析】解：在中，，
是由沿水平方向平移得到的，
，，．
故答案为，，．
由平移性质和勾股定理解答即可．
本题考查了勾股定理和平移的性质，熟知平移前后的两个图形的对应边相等是解决此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：三角形内角和是，由知，
，
是直角三角形．故选项正确．
，，分别为三个边，由勾股定理的逆定理可知，正确．
题目所给的比例线段不是和的对应边，且夹角不相等，无法证明与相似，也就不能得到是直角，故错误；
若是直角三角形，已知，
又，即
∽
是直角三角形
故选项正确；
故答案为：．
根据三角形内角和是、勾股定理、余弦函数、相似三角形的性质等来逐一判断各结论是否符合题意即可．
本题考查直角三角形的性质和勾股定理等知识的应用，只要利用直角三角形的这些特性加以判断即可．
19.【答案】解：如图，
在等边中，，，
，
，
；
如图，在上取，
又，
≌，
，，
，
，
；
如图，在上取，
由可知，；
当时，取得最小值；
在中：，，
，；
过点作于点，
，
；
在中：，
，
．
【解析】如图，根据等边三角形的性质和证得结论；
在上取，证明≌，即可得解；
在上取，当时，取最小值，得到，，过点作于点，利用直角三角形的性质求解即可．
本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的综合应用，准确计算是解题的关键．
20.【答案】解：在中，，，，
，
，，
，
．
【解析】利用勾股定理求出．
利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题．
本题考查勾股定理以及逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【解析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：原式
，
，
原式
．
【解析】先利用二次根式的性质得到原式，然后把代入计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
23.【答案】证明：四边形是矩形，是的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：当四边形是菱形时，，
设，则 ，，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
，
．
【解析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．
根据平行四边形的性质，判定≌，得出四边形的对角线互相平分，进而得出结论；
在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理求出，即可得出的长．
24.【答案】解：如图所示，以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，连接，连接，交于点
由旋转可得，≌，
，，，，
、都是等边三角形，
，
，
点、、、四点共线时，有最小值，
，，
，
当、、、四点共线时，由，，
垂直平分，
，，
此时，
的最小值为．
【解析】以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，根据、都是等边三角形，可得；根据当、、、四点共线时，由，可得垂直平分，进而求得的最小值．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键．
题号
一
二
三
总分
得分