2023-2024学年内蒙古通辽市科左中旗保康二中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古通辽市科左中旗保康二中八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图案中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列所给的各组线段，能组成三角形的是( )
A. 2，11，13B. 5，12，7C. 5，5，11D. 5，12，13
3.下列各运算中，正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. (−4a3)2=16a6
C. a6÷a2=a3D. (a−1)2=a2−1
4.无论x取什么数，总有意义的分式是( )
A. 4xx3+1B. x(x+1)2C. 3xx2+1D. x−2x2
5.如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是
( )
A. ∠A=∠DB. ∠ACB=∠DBCC. AC=DBD. AB=DC
6.如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是( )
A. 43
B. 34
C. 12
D. 2
7.如果x2−kxy+9y2是一个完全平方式，那么k的值是( )
A. 3B. ±6C. 6D. ±3
8.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为( )
A. 36°B. 54°C. 72°或36°D. 54°或126°
9.“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则下面所列方程中正确的是( )
A. 60x−60(1+25%)x=30B. 60(1+25%)x−60x=3
C. 60×(1+25%)x−60x=30D. 60x−60×(1+25%)x=30
10.如图点A，B，C在同一条直线上，△CBE，△ADC都是等边三角形，AE，BD相交于点O，且分别与CD，CE交于点M，N，连接M，N，有如下结论：①△DCB≌△ACE；②AM=DN；③△CMN为等边三角形；④∠EOB=60°.其中正确的结论个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若点M(m,−1)关于x轴的对称点是N(2,n)，则m+n的值是______．
12.如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC/​/OA，PD⊥OA于D，PC=10，则PD=______．
13.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若△ABC的面积为4m2，则阴影部分的面积为______ cm2．
14.如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成______个三角形．
15.若∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P，若∠BAC=62°，∠PAC等于______ ．
16.如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…，按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是______．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：|−2|+(π−3)0−(13)−2+(−1)2024．
18.(本小题5分)
解方程：xx−5=22x−10−1．
19.(本小题6分)
先化简(1−3a+2)÷a2−2a+1a2−4，然后从−2，−1，1，2中选择一个合适的整数作为a的值代入求值．
20.(本小题7分)
如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．
(1)求证：AB=DC；
(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．
21.(本小题8分)
如图，△ABC的三个顶点坐标分别是A(3,3)，B(1,1)，C(4,−1)．
(1)直接写出点A，B，C关于x轴对称的点A1，B1，C1的坐标：A1(______)，B1(______)，C1(______).
(2)在图中作出△ABC关于y轴对称的图象△A2B2C2．
(3)在y轴上求作一点P，使得PA+PB的值最小，请画出作图痕迹，不写作法．
22.(本小题7分)
我市某县为创建省文明卫生城市，计划将城市道路两旁的人行道进行改造，经调查可知，若该工程由甲工程队单独来做恰好在规定时间内完成；若该工程由乙工程队单独完成，则需要的天数是规定时间的2倍，若甲、乙两工程队合作6天后，余下的工程由甲工程队单独来做还需3天完成．
(1)问该县要求完成这项工程规定的时间是多少天？
(2)已知甲工程队做一天需付给工资5万元，乙工程队做一天需付给工资3万元．现该工程由甲、乙两个工程队合作完成，该县准备了工程工资款65万元．请问该县准备的工程工资款是否够用？
23.(本小题8分)
探究下面的问题：
(1)如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，这个等式是______(用式子表示)，即乘法公式中的______公式．
(2)运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7；
②(x+2y−3z)(x−2y−3z)．
24.(本小题7分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB，∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
(1)连接BD，求证：△ABD是等边三角形；
(2)试猜想：线段AE、AF与AD之间有怎样的数量关系？并给以证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是做轴对称图形，
选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是做轴对称图形，
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、11+2=13，不能够组成三角形；
B、5+7=12，不能构成三角形；
C、5+5<11，不能构成三角形；
D、5+12>13，能构成三角形．
故选：D．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
根据整式的乘除法的运算方法，以及整式的乘方的运算方法，逐项判定即可．
此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
【解答】
解：∵a3⋅a2=a5，∴选项A不符合题意；
∵(−4a3)2=16a6，∴选项B符合题意；
∵a6÷a2=a4，∴选项C不符合题意；
∵(a−1)2=a2−2a+1，∴选项D不符合题意．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【试题解析】
解：A．4xx3+1，x3+1≠0，x≠−1，
B.x(x+1)2，(x+1)2≠0，x≠−1，
C.3xx2+1，x2+1≠0，x为任意实数，
D.x−2x2，x2≠0，x≠0；
故选：C．
按照分式有意义，分母不为零即可求解．
本题考查的是分式有意义的条件．
5.【答案】C
【解析】本题考查了全等三角形的判定，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS.根据定理逐个判断即可．
解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不合题意；
B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不合题意；
C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不合题意．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】解：∵AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，
∴12AB⋅CE=12BC⋅AD，
∴12×8CE=12×6AD，
∴ADCE=86=43．
故选：A．
根据等积即可求解．
本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式．
7.【答案】B
【解析】解：∵x2−kxy+9y2是一个完全平方式，
∴x2−kxy+9y2=(x±3)2=x2±6x+9，
∴k=±6．
故选：B．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=36°，
∴∠A=54°，
即顶角的度数为54°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=36°，
∴∠BAD=54°，
∴∠BAC=126°．
故选：D．
首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°.另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．
本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
9.【答案】C
【解析】解：设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则原计划每天绿化的面积x1+25%万平方米，
依题意得：60x1+25%−60x=30，即60×(1+25%)x−60x=30．
故选：C．
设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵△CBE，△ADC均是等边三角形，
∴CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCD=60°，
∴∠ACE=∠BCD=120°
在△ACE和△DCB中
CA=CD∠ACE=∠DCBCE=CB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，所以①正确；
∴∠CAE=∠CDB，
∵∠CAM=∠CDN，∠ACM=∠DCN=60°，CA=CD，
∴△ACM≌△DCN(AAS)，
∴CM=CN，AM=DN，所以②正确；
∵∠ACD=∠BCE=60°，点A，B，C在同一条直线上，
∴∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形，所以③正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，
∵∠ONE=∠CNB，
∴∠EOB=∠BCE=60°，所以④正确．
故选：D．
根据等边三角形的性质得到CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCD=60°，求得∠ACE=∠BCD=120°根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CDB，推出△ACM≌△DCN(AAS)，由全等三角形的性质得到CM=CN，AM=DN，所以②正确，根据平角的定义得到∠MCN=60°，推出△CMN为等边三角形，，所以③正确，根据三角形的内角和定理得到∠EOB=∠BCE=60°，所以④正确．
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．也考查了等边三角形的性质．
11.【答案】3
【解析】解：∵点M(m,−1)关于x轴的对称点是N(2,n)，
∴m=2，n=1，
∴m+n=3．
故答案为：3．
直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
12.【答案】5
【解析】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOP=2×15°=30°，
∵PC/​/OA，
∴∠PCE=∠AOB=30°，
∴PE=12PC=12×10=5，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE=5．
故答案为：5．
过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线的定义可得∠AOB=2∠AOP，根据两直线平行，同位角相等可得∠PCE=∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PE=12PC，最后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形以及与PD相等的线段是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：如图，∵E为AD的中点，
∴S△ABC：S△BCE=2：1，
同理可得，S△BCE：S△EFB=2：1，
∵S△ABC=14cm，
∴S△EFB=14S△ABC=14×4=1(cm)．
故答案为：1．
由点E为AD的中点，可得△ABC与△BCE的面积之比，同理可得△BCE和△EFB的面积之比，即可解答出．
本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
14.【答案】7
【解析】解：设多边形的边数为n，
由题意得(n−2)⋅180°=1260°，
解得n=9，
则从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数为n−3=9−3=6(条)，
这些对角线将多边形分成的三角形的个数为n−2=9−2=7(个)．
故答案为：7．
根据多边形的内角和定理可求解多边形的边数，再利用n边形对角线的定义可求解从一个顶点发出的对角线的条数，结合对角线的条数可得分成的三角形的个数．
本题主要考查多边形的内角和定理，多边形的对角线，由三角形的内角和定理求解多边形的边数是解题的关键．
15.【答案】59°
【解析】解：过点P作PN⊥BD于N，PF⊥BA交BA的延长线于F，PM⊥AC于M，
∵∠BAC=62°，
∴∠CAF=180°−62°=118°，
∵CP平分∠ACD，PM⊥AC，PN⊥BD，
∴PM=PN，
同理，PF=PN，
∴PF=PM，
∵PF⊥BA，PM⊥AC，
∴∠PAC=∠PAF=12×118°=59°，
故答案为：59°．
过点P作PN⊥BD于N，PF⊥BA交BA的延长线于F，PM⊥AC于M，根据平角的定义求出∠CAF，根据角平分线的性质定理和判定定理得到∠PAC=∠PAF，得到答案．
本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16.【答案】∠An=(12)n×150°．
【解析】解：∵∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°．
∴2∠BA1C=150°．
∴∠BA1C=12×150°=75°．
∵A1A2=A1D，
∴∠DA2A1=∠A1DA2．
∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．
∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×12×150°．
同理可得：∠EA3A2=12∠DA2A1=12×12×12×150°．
…
以此类推，∠An=(12)n×150°．
故答案为：∠An=(12)n×150°．
根据等腰三角形的性质，由∠B=30°，A1B=CB，得∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°，那么∠BA1C=12×150°=75°.由A1A2=A1D，得∠DA2A1=∠A1DA2.根据三角形外角的性质，由∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1，得∠DA2A1=12∠BA1C=12×12×150°.以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
17.【答案】解：原式=2+1−9+1
=−5．
【解析】直接利用零指数幂幂的性质、负整数指数幂幂的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：方程两边都乘2(x−5)，得2x=2−2(x−5)，
解得：x=3，
检验：当x=3时，2(x−5)≠0，所以x=3是原方程的解，
即原方程的解是x=3．
【解析】根据题意得出方程，再方程两边都乘2(x−5)得出2x=2−2(x−5)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19.【答案】解：原式=a+2−3a+2÷(a−1)2(a+2)(a−2)
=a−1a+2⋅(a+2)(a−2)(a−1)2
=a−2a−1，
由分式有意义的条件可知：a不能取−2，2，1，
当a=−1时，
原式=−1−2−1−1
=32．
【解析】根据分式的加减运算以乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】(1)证明：因为BE=CF，
所以BE+EF=CF+EF，
即BF=CE．
又因为∠A=∠D，∠B=∠C，
在△ABF与△DCE中，
∠A=∠D∠B=∠CBF=CE，
所以△ABF≌△DCE(AAS)，
所以AB=DC．
(2)△OEF为等腰三角形
理由如下：因为△ABF≌△DCE(AAS)，
所以∠AFB=∠DEC，
所以OE=OF，
所以△OEF为等腰三角形．
【解析】(1)根据BE=CF得到BF=CE，又∠A=∠D，∠B=∠C，所以△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应边相等即可得证；
(2)根据三角形全等得∠AFB=∠DEC，所以是等腰三角形．
本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据BE=CF得到BF=CE是证明三角形全等的关键．
21.【答案】3，−3 1，−1 4，−1
【解析】解：(1)如图所示：
A1(3,−3)，B1(1,−1)，C1( 4,−1)．
故答案为：3，−3；1，−1；4，−1；
(2)如图所示：
(3)如图所示．
(1)根据关于x轴的对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数求解即可；
(2)分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
(3)作点A关于y轴的对称点A2，连接A2B交y轴于P即可．
本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
22.【答案】解：(1)设规定时间是x天，
根据题意得，6(1x+12x)+3x=1，
解得x=12，
经检验：x=12是原方程的解．
答：该县要求完成这项工程规定的时间是12天；
(2)由(1)知，由甲工程队单独做需12天，乙工程队单独做需24天，
∴甲乙两工程队合作需要的天数是1÷(112+124)=8天，
∴所需工程工资款为(5+3)×8=64万<65万，
故该县准备的工程工资款已够用．
【解析】(1)本题是工程问题，也就是总工作量、效率与时间问题，根据题意，规定时间就是甲单独需要的时间，所以设规定时间是x天，那么甲单独完成的时间就是x天，乙单独完成的时间为2x，甲乙一天的工作效率分别为1x,12x，甲、乙两工程队合作6天的工作量表示为6(1x+12x)，甲又单独干了3天表示为3x，没交代具体工作量是多少的情况下，一般是总工作量为1，所以列方程6(1x+12x)+3x=1；(2)由(1)可以知道甲乙分别单独做需要的时间，用工作量除以两队合作一天的工作效率就是二者合作所用的时间，就可以进一步求出所需的工资款，作出判断，是否够用．
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
23.【答案】解：(1)(a+b)(a−b)=a2−b2，平方差;
(2)①原式=(10+0.3)×(10−0.3)=102−0.32=100−0.09=99.91；
②原式=(x−3z)2−(2y)2=x2−6xz+9z2−4y2．
【解析】【分析】
本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．
(1)根据面积法解答；
(2)利用平方差公式解答．
【解答】
解：(1)(a+b)(a−b)=a2−b2；
故答案为(a+b)(a−b)=a2−b2，平方差．
(2)见答案．
24.【答案】(1)证明：连接BD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=12×120°=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形；
(2)猜想：AE+AF=AD，
理由如下：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，AB=BD=AD
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
∠DBE=∠DAF=60°BD=AD∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴AF=BE，
∴AB=BE+AE=AF+AE=AD
【解析】(1)连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=12×120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；
(2)由△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出AF=BE，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．