湖南省永州市京华中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份湖南省永州市京华中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分）
1. 将图中的小兔进行平移后，得到的图案是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，据此求解即可．
【详解】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，将所示的图案通过平移后可以得到的图案是C选项中的图案，其它三项皆改变了方向或者形状
故选：C．
2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
【详解】解：、，不属于因式分解，不符合题意；
、是完全平方公式运算，不属于因式分解，不符合题意；
、，属于因式分解，符合题意；
、分解不完全，不符合题意；试卷源自 每来这里 全站资源一元不到！日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。故选：．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方和积的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4. 在下列四个图中，与是同位角的图是（ ）．
A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此求解即可．
【详解】解：图①与是同位角；
图②的两边所在的直线没有任何一条和的两边所在的直线公共，和不是同位角；
图③与是同位角；
图④的两边所在的直线没有任何一条和的两边所在的直线公共，和不是同位角；
故选：B．
5. 如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积可表示为其边长×边长和4个全等长方形的面积+中间小正方形的面积求解即可．
【详解】解：∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积可表示为：．
∵4个全等长方形的长和宽分别为a，b，中间小正方形的边长为，
∴大正方形的面积还可表示为：，
∴用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为：．
故选D．
6. 若多项式展开后不含和项，则m，n的值分别是（ ）
A. 3，5B. 5，3C. 4，2D. 2，4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据多项式乘多项式运算法则，得出，列出关于m、n的方程，求出m、n的值即可．
【详解】解：
由题意得，
解得：．
故选：A．
7. 已知，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式展开整理即可得解．
【详解】解：∵，
∴
即，
∴
故选：D．
8. 运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，原式化为即可求解．
【详解】解：
，故选：B．
9. 若与互为相反数，则的值为（ ）
A. 2B. 6C. 8D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列方程，分解因式，结合绝对值和平方数的非负性，根据几个非负数的和为0，得到它们同时为0，求出，的值，根据完全平方公式变形即得．
此题主要考查了相反数，绝对值，完全平方公式．熟练掌握相反数性质，完全平方公式分解因式，绝对值与平方数的非负性，完全平方公式变形，是解决问题的关键．
【详解】∵若与互为相反数，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
10. 我国古代数字的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为（ ）
A. 2024B. 2023C. 191D. 190
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索题，观察得出规律：的第三项系数为，进而可求解，准确找出其规律是解题的关键．
【详解】解：找规律发现：
的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
……
不难发现的第三项系数为，
∴第三项系数为，
故选D．
二、填空题（每题3分）
11. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______．
【答案】
【解析】
分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12. 多项式中各项的公因式是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】利用确定公因式的方法求解即可．
【详解】中各项的公因式是：，故答案为：．
【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是确定多项式中各项的公因式．
13. 若关于，的方程是二元一次方程，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得．
故答案为：．
14. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查有理数的运算，解得的关键是根据同底数幂的乘法将式子转化为，进一步利用积的乘方将式子转化为，即可得解．
【详解】解：
．故答案为：．
15. 已知为正整数，则的值为_______．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂分乘法运算及其逆运算，幂的乘方运算及其逆运算，掌握以上知识是解题的关键．
由可得：再把化为，代入即可求解．
【详解】解：


∴
故答案为：．
16. 若是关于的完全平方式，则___________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】由是关于的完全平方式，得出，进而得出，即可求出的值．
【详解】解：∵是关于的完全平方式，
∴，
∴，
解得：或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点，考虑两种情况是解决问题的关键．
17. 如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为______．
【答案】##20厘米
【解析】
【分析】本题考查了平移性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．先根据平移的性质得到，，而，则四边形的周长，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：沿方向平移得到，
，，
的周长为，
，
四边形的周长
．
故答案为：
18. 如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有______．（填写序号）

①小长方形C的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．【答案】①③④
【解析】
【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意．
【详解】解：∵大长方形的长为y，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，说法①符合题意；
∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为，
当时，，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键．
三、解答题
19. 解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为；
【小问2详解】解：
整理得：，
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为．
20. 用简便方法计算
（1）；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式：
（1）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可；
（2）利用完全平方公式把原式变形为，据此求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
21. 因式分解
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】本题主要考查了因式分解：
（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
22. 先化简，再求值，其中，．
【答案】，．
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算化简求值，利用平方差公式和完全平方公式化简，再合并同类项即可，正确运用乘法公式化简是解题关键．
【详解】解：
，
当，时，原式．
23. 填空：如图，在四边形中，分别于相交于点E、F．，，试说明．
解：∵，
∴____________．（______），
又∵，
∴____________（______），
∴____________（______）．
【答案】1；2；两直线平行，内错角相等；2；3；两直线平行，同位角相等；1；3；等量代换．
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质结合已给推理过程证明即可．
【详解】解：∵，
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵，
∴（两直线平行，同位角相等）
∴（等量代换）．
故答案为：1；2；两直线平行，内错角相等；2；3；两直线平行，同位角相等；1；3；等量代换．
24. 为丰富同学们的课余活动，学校成立了篮球课外小组，计划到某体育用品专卖店购买一批篮球．已知购买3个A型篮球和2个B型篮球共需340元，购买2个A型篮球和1个B型篮球共需要210元．
（1）求购买一个A型篮球、一个B型篮球各需多少元？
（2）学校在该专卖店购买A、B两种型号篮球共300个，经协商，专卖店给出如下优惠：A种篮球每个降价8元，B种篮球打9折，计算下来，学校共付费16740元，学校购买A、B两种篮球各多少个？
【答案】（1）购买一个A型篮球80元、一个B型篮球50元 （2）学校购买A、B两种篮球分别为120个、180个
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用；
（1）设购买一个A型篮球a元、一个B型篮球b元，根据题意列出方程组求解即可得；
（2）购进的A型篮球为x个，则购进B型篮球个，根据A型篮球与B型篮球的优惠政策求出单价，然后列方程，解方程求解即可得．
【小问1详解】
解：设购买一个A型篮球a元、一个B型篮球b元，由题意可得：
，
解得，
答：购买一个A型篮球80元、一个B型篮球50元；
【小问2详解】
解：设购进的A型篮球为x个，则购进B型篮球个，
由题意可得：，
解得，
∴，
答：学校购买A、B两种篮球分别为120个、180个．
25. 先阅读下面的内容，再解决问题，
已知，求m，n的值．
解：等式可变形为，即，
因为，，所以，，所以，．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请你利用配方法，解决下列问题：
（1）已知a，b分别是长方形的长、宽，且满足，则长方形的面积为______．
（2）求代数式的最小值，并求出此时a的值．（3）请比较多项式与的大小，并说明理由．
【答案】（1）12 （2）代数式的最小值为5，
（3）
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的应用，平方的非负性，整式的加减运算．理解题意，掌握“配方法”是解题关键．
（1）根据题意可将变形为，结合非负数的性质可求出，，在计算长方形面积即可；
（2）可变形为，根据平方的非负性可求出，即得出答案；
（3）用代数式减去，并整理得：．根据平方的非负性可求出，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，即．
∵，，
∴，，
解得：，，
∴长方形的面积为．
故答案为：12；
【小问2详解】
解：
．
∵，
∴，
∴代数式的最小值为5，此时，即；【小问3详解】
解：
．
∵，
∴，
∴，
∴．
26. 已知，，点为射线上一点．
（1）如图，若，，则 ．
（2）如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，并说明理由．
（3）如图，当点在延长线上时，平分，且，，，求的度数并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等，角平分线的定义
（1）过作，根据平行线的性质得到，，即可求得；
（2）过作，根据平行线的性质得到，，可得结论；
（3）设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线定义及得到，求出值再通过三角形内角和求；
正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：过作，
∵，，，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：；
【小问2详解】
．
理由如下：
过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
【小问3详解】
过作，过作，设交于点，
∵，，，
设，则，
∴，∵，点在延长线上，
∴，
∴，
∵，点在延长线上，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的度数为．