湖南省永州市柳子中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（总分：120分 时间：120分钟）
一、选择题：（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列方程中，为二元一次方程的是（ ）
A. 2x＋3＝0B. 3x－y＝2zC. x2＝3D. 2x－y＝5
【答案】D
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
【详解】解：A．是一元一次方程，故本选项不合题意；
B．含有三个未知数，不是二元一次方程，故本选项不合题意；
C．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项不合题意；
D．符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
2. 下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个多项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
【详解】解：、，不是整式的乘法运算，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
、，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
、，属于因式分解，符合题意；
、，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
故选：．
4. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A. 3B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入，即可转化为关于m的一元一次方程，解答即可．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】将代入，
得，
解得．
故选：A．
5. 若，，则（ ）．
A 3B. 5C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法计算即可．
【详解】解：∵，
==，
∴=5，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握公式的逆用．
6. 如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．
【详解】解：左边图形的阴影部分的面积=a2-b2
右边的图形的面积
=（a+b）（a-b）．
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式．掌握利用图形面积证明代数恒等式是解本题的关键．
7. 若是一个关于的完全平方式，则的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：．
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组即可．
【详解】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴．
∴所列方程组为．
故选：B．
9. 计算的值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形为，据此计算求解即可．
【详解】解：
，
故选：C．
10. 若，则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了代数式的值与提公因式，由，得，然后整体代入即可求解，熟练掌握利用整体代入进行求解代数式的值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
故选：．
二、填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分）
11. 将方程变形成用含的代数式表示，则__________．
【答案】7x-5
【解析】
【分析】把x看做已知数求出y即可．
【详解】解：7x-y=5，
7x-5=y，
即y=7x-5．
故答案为：7x-5．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握“解方程步骤”是解本题的关键．
12. 计算： ___________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用单项式与单项式相乘的乘法法则运算．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
13. 已知，，则____．
【答案】
【解析】
【分析】提取公因式分解因式，把，整体代入即可．
【详解】解：，
，，
原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式法分解因式，整体代入是解题关键．
14. 若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式，由等式左边利用多项式乘多项式法则计算，根据多项式相等的条件求出与的值即可求解，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
15. 如果方程组与方程组的解相同，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组，先解方程组得，进而把代入方程组得到，解方程组求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：解方程组得，
∵方程组与方程组的解相同，
∴是方程组的解，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
16. 若的乘积展开式中不含项，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合结果不含项，则其相应的系数为，从而可求解，解题的关键是掌握运算法则及明确结果不含项，则其相应的系数为．
【详解】解：
，
，
，
∵乘积展开式中不含项，
∴，解得：，
故答案为：．
17. 已知多项式因式分解后有一个因式为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，设多项式的一个因式为，则，再根据多项式乘多项式法则展开合并，即可作答．
【详解】解：设多项式的一个因式为，
∵多项式因式分解后有一个因式为，
∴
则
∴
则
故答案为：．
18. 我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a+b）6的展开式中，从左起第四项是 _____．
【答案】20a3b3
【解析】
【分析】通过观察可知“杨辉三角”的规律：①每个数等于上方两数之和．②每行数字左右对称，由1开始逐渐变大．③a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大．依据此规律，可得出最后答案．
【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，
∴（a+b）5的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1，
∴（a+b）6的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1，
又∵a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大，
∴（a+b）6展开式左起第四项是20a3b3，
故答案为：20a3b3．
【点睛】本题属于规律探索型问题，考查观察以及归纳总结能力，找到蕴含的规律是解题的关键．
三、解答题（共8个小题，满分66分）
19. 解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．
【小问1详解】
解：，
由①，可得：，
③代入②，可得：，
解得，
把代入③，可得：，
∴原方程组的解是．
【小问2详解】
解：，
由①，可得：，
，可得，
解得，
把代入②，可得：，
解得，
∴原方程组的解是．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
20. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解；
本题考查了因式分解的综合运用，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，综合运用提公因式法及公式法因式分解是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式，
；
【小问2详解】
解：原式，
．
21 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，先根据完全平方公式以及平方差公式进行展开，再合并同类项，得出，再把代入，即可作答．
【详解】解：
；
把代入，得．
22. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．试用含，的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
【答案】．
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算，绿化面积等于长方形的面积减去中间正方形的面积，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：绿化的面积为,
，
．
23. 甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组解为，试计算：的值．
【答案】2
【解析】
【分析】将代入，求得的值，将代入，求得的值，即可求出最后结果．
【详解】解：将代入，得，
解得，
将代入，得，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组错解问题，关键是将解代入没看错的方程即可求出参数的值．
24. 用2辆A型车和1辆型车载满货物一次可运华10吨；用1辆A型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司现有27吨货物，计划两种车型都要租，其中A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，列二元一次方程（组）解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）若A型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请你帮物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨；
（2）最省钱的租车方案为：租用1辆A型车，6辆B型车，最少租车费为820元．
【解析】
【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨，根据“用2辆A型车和1辆型车载满货物一次可运华10吨；用1辆A型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据“现有27吨货物，计划两种车型都要租，其中A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物”，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出各租车方案，再求出选择各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
【小问1详解】
设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨；
【小问2详解】
依题意得：，
．
又，均为自然数，
或，
共有2种租车方案，
方案1：租用5辆A型车，3辆B型车，所需总租金为（元；
方案2：租用1辆A型车，6辆B型车，所需总租金为（元．
，
最省钱的租车方案为：租用1辆A型车，6辆B型车，最少租车费为820元．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的实际应用和二元一次方程有整数解的实际意义．在解与实际问题有关的二元一次方程组时，要结合未知数的实际意义求解．
25. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解答一些数学问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，因式分解，最值问题等都有着广泛的应用．
例1．用配方法因式分解：；
原式．
例2．若，利用配方法求的最小值．
；
∵，，∴当时，有最小值．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
（1）若，则的最小值为______；
（2）用配方法因式分解：；
（3）已知，求值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）类比例题求的最小值即可；
（）类比例题进行分解因式即可；
（）根据配方法把等式配成的形式，根据，具有非负性，，即可求出答案.
本题主要考查了配方法的运用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
∵，
∴当时，有最小值，
故答案为：；
【小问2详解】
，
，
，
；
【小问3详解】
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴．
26. 完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．
解：因为，
所以，即：，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值；
（3）如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分（三角形）的面积．
【答案】（1）；
（2）；
（3）阴影部分的面积为．
【解析】
【分析】（）根据完全平方公式得出，整体代入求值即可；
（）根据完全平方公式将转化为，再整体代入求值即可；
（）设，可得，，求出即可；
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
小问1详解】
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
，
，
；
【小问3详解】
设，，
∵，
∴，
又，
∴，
由完全平方公式可得，，
∴，
∴，
∴，
答：阴影部分的面积为．