2021-2022学年湖南省永州市冷水滩区京华中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省永州市冷水滩区京华中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列计算正确是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则两个数与的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 计算正确的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 对于多项式；；；中，能用平方差公式分解的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 班级要用元钱买、两种型号的口罩，两种型号口罩必须都买，已知型口罩每个元，型口罩每个元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6. 下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 的计算结果是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若为一个完全平方式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知与互为相反数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知、满足等式，，则、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. 多项式的公因式是______．
12. 关于、的二元一次方程，则______．
13. 已知常数、满足，则______．
14. 已知，则______．
15. 若二项式与相乘，化简后结果中不出现一次项，则的值是______．
16. 若满足方程组的、的值相等，则______．
17. 为提升永州市城市交通形象，督促市民规划停车．自年月日起，中心城区开启公共区域停车收费模式．帝王广场属于一类区域，收费标准如下：白天时段【：：】内首分钟免费，不超过小时按小时收费，标准为元小时；小时之后，每分钟计费一次，元分钟．白天该停车场两台车分别停车小时和小时，分别收费元和元，求该停车场收费标准？可列方程组：______．
18. 我国宋代数学家杨辉发现、、、展开数系数的规律：
    
    以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

19. 解下列方程组：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共7小题，共70分）

20. 因式分解：
    ；
    ．
21. 先化简，再代入求值：，其中．
22. 李大伯把一块型的菜地．按如图所示的虚线分成面积相等的两个梯形，这两个梯形的上底都是，下底都是，高都是，请你算一算这块菜地的面积是多少，并求出当，时这块菜地的总面积．

23. 请同学们观察以下三个等式，并结合这些等式，回答下列问题：
    请你再写出另外两个符合上述规律的算式：______；______．
    观察上述算式，我们发现，如果两个连续奇数分别为和其中为正整数，则它们的平方差是的倍数，请你含的式子说明上述规律的正确性．

24. 做这样一道题目：“若满足，求的值”时，我们采用如下方法：设
    ，，则
    ，
    ，
    
    
    
    
    ．
    请你根据上述材料，解决以下问题：若满足，求的值．
25. 某超市第一次用元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品件，乙种商品件已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵元甲种商品售价为元件，乙种商品售价为元件．
    甲、乙两种商品每件进价各名少元？
    该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
    该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少元；甲种商品按原售价提价销售，乙种商品按原售价降价销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，那么的值是多少？
26. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系”，这就是“算两次”原理，也称为富比尼原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算如图的面积，把图看作一个大正方形，它的面积是；如果把图看作是由个长方形和个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
    
    如图，正方形是由四个边长为，的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图的面积进行计算，你发现的等式是______用，表示．
    应用探索结果解决问题：
    已知：两数，满足，，求的值．
    如图，四个三角形都是全等三角形，用不同的代数式表示正方形的面积，由此得到的等式为______用，，表示．
    请你用图提供的若干块长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解：要求：在图的框中画出图形，写出分解的因式．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、结果是，故本选项不符合题意；
B、和不能合并，故本选项不符合题意；
C、结果是，故本选项不符合题意；
D、结果是，故本选项符合题意；
故选：．
根据相关知识点化简各式，再判断即可．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，合并同类项法则，完全平方公式和同底数幂的乘法等知识点，能正确化简每个式子是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程组的解为
将代入，得，
将，代入得，，
，，
故选D．
根据题意将代入可以求出的值，即的值，再将，代入，可求出的值，本题得以解决．
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是明确题意，求出所求数的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据同底数幂的乘法法则计算，即可得出答案．
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式，
两平方项符号相反，可以利用平方差公式；
，两平方项符号相同，不能运用平方差公式；
虽然是两项，并且是差的形式，但不是平方差的形式；
，两平方项符号相反，可以利用平方差公式．
所以能用平方差公式分解．
故选：．
由于平方差公式必须只有两项，并且是两个数差的形式，利用这个特点即可确定哪几个能用平方差公式分解．
主要考查了平方差公式的特点，只要抓住平方差公式的特点：两平方项，符号相反，熟记公式结构特点是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设可以买个型口罩，个型口罩，
依题意得：，

又，均为正整数，
或或，
共有种购买方案．
故选：．
设可以买个型口罩，个型口罩，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；
D、分解错误，故D不符合题意；
故选：．
根据因式分解的意义求解即可．
本题考查了因式分解的意义，利用把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用积的乘方的法则对所求的式子进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用．
 

8.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
解得：．
故选：．
根据完全平方式得出，再求出即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：和．
 

9.【答案】 

【解析】解：与互为相反数，
，
则，
故．
故选：．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
把与代入中，判断差的正负即可得到大小关系．
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
多项式的公因式是．
故答案是：．
根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，的最低指数次幂，确定出公因式，然后提取公因式即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，根据公因式的定义确定出公因式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为是关于、的二元一次方程，
所以，
解得，
故答案为：．
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程．
本题考查了二元一次方程，掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，，
解得，，
．
故答案为：．
已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出、的值即可．
此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了同底数幂的乘法，属于基础题．
根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】
解：由，得．
，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
由结果中不出现一次项，得到，
解得：，
故答案为：．
利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不出现一次项确定出的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，所以方程组化为，
由得：，把代入，
解得：．
故答案为：
根据，把方程组中的换成，得到关于与的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到的值．
此题考查了二元一次方程组的解法，解题中注意利用消元的数学思想，是一道基础题．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意得，
故答案为：．
根据白天该停车场两台车分别停车小时和小时，分别收费元和元，列出方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，

当时，展开式的项系数和为，
故答案为：．
由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为．
本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．
 

19.【答案】解：，
把代入方程得：，
解得：．
．
方程组的解是．
方程组整理得：，
得：，
把代入得：，
解得．
方程组的解是． 

【解析】把代入方程，求出，进而求出即可．
方程组先整理，再用加减消元法求解即可．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本思想：消元．
 

20.【答案】解：

；




． 

【解析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用完全平方公式继续分解；
先提取公因式，再根据平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

21.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的混合运算与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

22.【答案】解：根据题意得：
菜地面积是：；
当，时，
原式 

【解析】根据梯形的面积公式列出代数式，然后把，的值代入，再根据整式的乘法公式进行计算即可；
此题考查了整式的混合运算，用到的知识点是平方差公式和梯形的面积公式，熟练运用梯形的面积公式以及平方差公式是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：按照题目范例可得算式：，，
故答案为：，；
由题意可得此题规律为：．
按照题目算式规律写出两个相邻奇数的平方差等于的整数倍形式算式；
按照题目规律可得此题结果为．
此题考查了数字变化类规律问题的解决能力，关键是能根据范例归纳出此题规律，并能用算式表述．
 

24.【答案】解：设，，则，，




． 

【解析】设，，利用完全平方公式求出所求即可．
此题考查了完全平方公式，整式的加减，以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

25.【答案】解：设甲种商品每件进价元，乙种商品每件进价元，
由题意可得：，
解得：，
答：甲种商品每件进价元，乙种商品每件进价元；
该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润元．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得元的利润．
由题意，
解得．
答：的值是． 

【解析】设该超市第一次购进甲种商品每件元，乙种商品每件元．根据总进价元列出方程即可解决问题．
求出甲、乙两种商品的利润和即可．
根据第二次的利润元，列出方程即可．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意、搞清楚进价、销售量、利润之间的关系，属于中考常考题型．
 

26.【答案】   

【解析】解：对于图，
可看作是由个长为，宽的小长方形和个边长为的小正方形组成的图形，
则它的面积为，
也可看作是一个边长为的大正方形，
则大正方形的面积为，
．
故答案为：．
，，，
，
．
对于图，
可看作是由个长为，宽为的小正方形和个边长为的小正方形组成的图形，
则它的面积为，
也可看作一个边长为的大正方形，
则大正方形的面积为，
．
故答案为：．
如图．

．
图可以看作是一个边长为的大正方形，也可以看作是由四个长为，宽的小长方形和一个边长为的小正方形组成的图形，分别求出面积，即可得出答案．
由，代入求解，即可得出答案．
对于图，可以看作一个边长为的大正方形，也可以看作是一个由个长为，宽为的小正方形和个边长为的小正方形组成的图形，分别表示出面积，列等式即可．
类比前三问可得出答案．
本题考查完全平方公式的几何背景、分解因式等知识，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．