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2024年甘肃省兰州五十六中中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年甘肃省兰州五十六中中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−12020的相反数是( )
A. 2020B. −2020C. 12020D. −12020
2.下面的几何体中，主视图不是矩形的是( )
A. B. C. D.
3.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 8B. 23C. 0.5D. 5
4.2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为( )
A. 38.4×104kmB. 3.84×105kmC. 0.384×10 6kmD. 3.84×106km
5.已知：在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(1,0)，(0,3)，将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是(2,−1)，那么点B的对应点B′的坐标是( )
A. (2,1)B. (2,3)C. (2,2)D. (1,2)
6.如图，在△ABC中，DE//BC，若ADDB=35，则AEAC=( )
A. 35
B. 25
C. 38
D. 58
7.父子二人并排竖直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的13，儿子露出水面的高度是他自身身高的14，父子二人的身高之和为3.4米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组( )
A. x+y=3.413x=14yB. x+y=3.4(1−13)x=14y
C. x+y=3.413x=(1−14)yD. x+y=3.4(1−13)x=(1−14)y
8.如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD=108°，则∠BCD的度数是( )
A. 127°
B. 108°
C. 126°
D. 125°
9.关于x的分式方程5x−2+2=m2−x有增根，则m的值为( )
A. m=2B. m=−2C. m=5D. m=−5
10.如图，一次函数y1=x+b与y2=kx−1的图象的交点坐标为(−2,3)，则关于x的不等式x+b≥kx−1的解集为( )
A. x≤−2
B. x≥−2
C. x≥3
D. x≤3
11.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )
A. 2 3
B. 2 6
C. 3
D. 6
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②9a+c>0；③ax2+bx+c=0的两个根是x1=−2，x2=4；④b：c=1：4，其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.分解因式：a2b−4ab+4b=______．
14.如图，已知点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，若S△ABC=2，则k的值为______．
15.如图，⊙O的直径AB=2，C是半圆上任意一点，∠BCD=60°，则劣弧AD的长为______．
16.已知已知a、b实数且满足(a2+b2)2−(a2+b2)−12=0，则a2+b2的值为______．
三、解答题：本题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：(13)−1−|−2|+2sin30°+( 3− 2)0．
18.(本小题4分)
化简：(2xx−3−xx+3)⋅x2−9x．
19.(本小题4分)
如图，已知∠A=∠D=90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF.求证：OE=OF．
20.(本小题6分)
先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图：
已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1．
求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．
小明的做法如下：
21.(本小题6分)
如图，一次函数y1=x+b的图象与与反比例函数y2=kx(k≠0,x<0)的图象交于点A(−2,1)，B两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积．
22.(本小题6分)
随着冬奥会的闭幕，坐落于冬奥核心区的国家跳台滑雪中心——“雪如意”，成为本次冬奥会比赛场馆中最具标志性和辨识度的建筑物之一．该跳台滑雪中心设计灵感来源于中国的传统吉祥饰物“如意”，从跳台环形顶端，再到剖面线形和底部看台，与“如意”的S型曲线完美契合，因此被称为“雪如意”，既体现了体育建筑的动感，又凸显了中国文化元素．如图，是“雪如意”的侧面示意图，“雪如意”由顶峰俱乐部AC、滑道(包括助滑区DE和着陆坡EF)及看台区GF三部分构成(AC、GF均与水平面平行)，其中BD⊥AC于点B，BD=14m，DE=109m，EF=198m，从点E处测得点D处的仰角为26°，点F处的俯角为31°，求“雪如意”的高BH的长(结果精确到1m，sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.80)．
23.(本小题6分)
为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩(百分制).制成如图不完整的统计图表：
表一
表二
根据以上信息回答下列问题：
(1)若抽取的学生成绩处在80≤x<90这一组的数据如下：88 87 81 80 82 88 84 86
根据以上数据将表一和表二补充完整：a______；b______；
(2)在扇形统计图中，表示问卷成绩在70≤x<80这一组的扇形圆心角度数为______；
(3)若成绩在80分以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？
24.(本小题6分)
如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，CD=6，求菱形BEDF的边长．
25.(本小题6分)
综合与实践
问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一.桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分(如图2)，在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
模型建立：
(1)如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．
问题解决：
(2)求在距离水面2米处桥拱宽度．
(3)现有两宽为4米，高3米(带货物)的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．
26.(本小题7分)
如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D．
(1)求证：DA为⊙O的切线；
(2)若BD=1，tan∠ABD=2，求⊙O的半径．
27.(本小题8分)
如图(1)，在矩形ABCD中，AD=nAB，点M，P分别在边AB，AD上(均不与端点重合)，且AP=nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．
【问题发现】
(1)如图(2)，当n=1时，BM与PD的数量关系为______，CN与PD的数量关系为______．
【类比探究】
(2)如图(3)，当n=2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图(3)给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图(3)说明理由．
【拓展延伸】
(3)在(2)的条件下，已知AD=4，AP=2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请写出线段CN的长并说明理由．
28.(本小题9分)
定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y−x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
(1)①点A(1,3)的“坐标差”为______；
②抛物线y=−x2+3x+3的“特征值”为______；
(2)某二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为−1，点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m=______；(用含c的式子表示)
②求此二次函数的表达式．
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M(2,3)为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−12020的相反数是：12020．
故选：C．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；
B为长方体，它的主视图应该为矩形；
C为圆台，它的主视图应该为梯形；
D为三棱柱，它的主视图应该为矩形．
故选：C．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解： 8=2 2，不是最简二次根式；
23= 63，不是最简二次根式；
0.5= 22，不是最简二次根式；
5是最简二次根式；
故选：D．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
4.【答案】B
【解析】解：科学记数法表示：384000=3.84×105km
故选：B．
利用科学记数法的表示形式即可
本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式(1≤a<10,n为整数)，这种记数法叫做科学记数法．
5.【答案】D
【解析】【解答】
解：∵A(1,0)的对应点A′的坐标为(2,−1)，
∴平移规律为横坐标加1，纵坐标减1，
∵点B(0,3)的对应点为B′，
∴B′的坐标为(1,2)．
故选：D．
【分析】
根据点A、A′的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B′的坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵在△ABC中，DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
∵ADDB=35，
∴AEEC=35，
∴AEAC=AEAE+EC=38；
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理进行解答即可．
此题考查了平行线成比例，熟练掌握平行线成比例定理、找准对应关系是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
x+y=3.4(1−13)x=(1−14)y，
故选：D．
根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠BOD=108°，
∴∠A=12∠BOD=54°，
∴∠BCD=180°−∠A=126°
故选：C．
先根据圆周角定理得到∠A=12∠BOD=54°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9.【答案】D
【解析】解：5x−2+2=m2−x，
5+2x−4=−m，
2x=−m+4−5，
2x=−m−1，
x=−m+12，
∵方程有增根，
∴x=2，
∴−m+12=2，
∴m=−5，
故选：D．
先解分式方程为x=−m+12，再由方程的增根为x=2，可得−m+12=2，求出m的值即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解，理解方程增根的意义是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：当x>−2，函数y=x+b的图象在函数y=kx−1图象的上方，
所以关于x的不等式x+b>kx−1的解集为x≥−2．
故选：B．
观察函数图象得到，当x>−2，函数y=x+b的图象都在函数y=kx−1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b≥kx−1的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
11.【答案】A
【解析】解：连接BP．
∵四边形ABCD为正方形，面积为12，
∴正方形的边长为 12=2 3，
∵△ABE为等边三角形，
∴BE=AB=2 3．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABP与△ADP关于AC对称．
∴PB=PD．
∴PD+PE=PB+PD≥BE．
∴PD+PE有最小值为BE=2 3．
故选：A．
先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知BE=AB=2 3，连接BP，依据正方形的对称性可知PB=PD，则PE+PD=PE+BP.由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值为BE的长．
本题考查轴对称−最短路线问题，正方形的性质和等边三角形的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：①抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴ab<0，
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，结论①正确；
②∵抛物线与x轴交于(−2,0)和(4,0)两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，
∵当x=−2时，y=4a−2b+c=0，
∴8a+c=0，
∵a>0，
∴9a+c>0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴交于(−2,0)和(4,0)两点，
∴ax2+bx+c=0的两个根是x1=−2，x2=4，结论③正确；
④∵b=−2a，
∴a=−12b，
∵当x=−2时，y=4a−2b+c=0，
∴−2b−2b+c=0，
∴4b=c，
∴b：c=1：4，结论④正确．
故选：D．
由抛物线的对称轴以及与y轴的交点即可判断①；当x=−2时，y=4a−2b+c=0，由抛物线与x轴的交点求得对称轴，得到b=−2a，代入得8a+c=0，由a>0，可得9a+c>0，即可判断②；由抛物线与x轴交于(−2,0)和(4,0)两点，可得ax2+bx+c=0的两个根是x1=−2，x2=4，即可判断③；把a=−12b代入y=4a−2b+c=0，整理得到4b=c，即可得出b：c=1：4，即可判断④．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
13.【答案】b(a−2)2
【解析】解：a2b−4ab+4b=b(a2−4a+4)=b(a−2)2
考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应先提公因式，再用完全平方公式．
本题考查因式分解的概念，注意必须将式子分解到不能分解为止．
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2．
14.【答案】−4
【解析】解：连接OA，
∵AC⊥y轴，
∴AC//x轴，
∴S△AOC=S△ABC=2=12|k|，
又∵k<0，
∴k=−4，
故答案为：−4．
根据反比例函数系数k的几何意义求出三角形OAC的面积即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的几何意义是解决问题的关键．
15.【答案】π3
【解析】解：由圆周角定理得，∠BOD=2∠BCD=120°，
∴∠AOD=180°−∠BOD=60°，
∴劣弧AD的长=60π×1180=π3，
故答案为：π3．
根据圆周角定理求出∠BOD，得到∠AOD的度数，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式l=nπr180是解题的关键．
16.【答案】4
【解析】【分析】
考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
设t=a2+b2(t≥0).由原方程得到t2−t−12=0求得t的值即可．
【解答】
解：设t=a2+b2(t≥0).由原方程得到t2−t−12=0．
整理，得(t−4)(t+3)=0．
所以t=4或t=−3(舍去)．
即a2+b2的值为4．
故答案是：4．
17.【答案】解：(13)−1−|−2|+2sin30°+( 3− 2)0
=3−2+2×12+1
=3−2+1+1
=3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：原式=(2x(x+3)(x−3)(x+3)−x(x−3)(x−3)(x+3))⋅(x−3)(x+3)x
=x(x+9)(x−3)(x+3)⋅(x−3)(x+3)x
=x+9．
【解析】对于分式混合运算，其实也就是在同一个算式中，综合了分式的加减、乘除及乘方中的一种或几种运算，关键是要注意各种运算的先后顺序．
对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．
19.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
AB=DCBE=CF，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF．
【解析】证明Rt△ABF≌Rt△DCE，根据全等三角形的性质得到∠AFB=∠DEC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20.【答案】(2)如图3，
(3)CF=BD；DF=BC；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；
【解析】【分析】
利用几何语言画出对应的几何图形，然后根据平行四边形的判定方法可证明四边形DBCF是平行四边形．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．
【解答】
(2)见答案；
(3)证明：如图3，
∵CF=BD，DF=BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)．
故答案为：CF=BD，DF=BC；两组对边分别相等的四边形为平行四边形．
21.【答案】解：(1)把A(−2,1)代入y1=x+b得−2+b=1，解得b=3；
把A(−2,1)代入y2=kx(k≠0,x<0)得k=−2×1=−2，
∴一次函数的表达式是y1=x+3，反比例函数的表达式y2=−2x；
(2)由y=x+3y=−2x，解得x=−1y=2或x=−2y=1，
∴B点坐标为(−1,2)，
设直线y=x+3与x轴的交点为C，
把y=0代入求得x=−3，
∴C(−3,0)，
∴△AOB的面积=△BOC的面积−△AOC的面积=12×3×2−12×3×1=32．
【解析】(1)分别把A点坐标代入y1=x+b和y2=kx(k≠0,x<0)中计算出b和k的值即可；
(2)先确定B点坐标，然后设直线y=x+3与x轴的交点为C，求得C的坐标，再根据三角形面积公式求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
22.【答案】解：过点E分别作EM⊥DH于点M，EN⊥FH于点N，
则∠EFN=31°，且四边形EMHN是矩形，
∴EN=MH，
在Rt△DEM中，∠DEM=26°，DE=109米，
∴DM=DE⋅sin∠DEM=109×sin26°≈109×0.44=47.96(米)，
在Rt△EFN中，EF=198米，
∴EN=EF⋅sin∠EFN=198×sin31°≈198×0.52=102.96(米)，
∴EN=MH=102.96米，
∴BH=BD+DM+MH=14+47.96+102.96=164.92≈165(米)，
∴“雪如意”BH的高度约为165m．
【解析】过点E分别作EM⊥DH于点M，EN⊥FH于点N，根据题意可得∠EFN=31°，四边形EMHN是矩形，从而可得EN=MH，然后在Rt△DEM中，利用锐角三角函数的定义求出DM的长，再在Rt△EFN中，利用锐角三角函数的定义求出FN的长，从而求出MH的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】5 81.5 90°
【解析】解：(1)根据抽取的60≤x<70为2人，在扇形中所占比例为10%，求得总抽取人数为2÷10%=20人．因此a=20−1−2−8−4=5.根据中位数定义，在所有抽取的的20人中，中位数是排名第10和第11两位同学成绩的平均数，因此只需找到排名第10和第11的两位同学即可．根据图表一得知，排名第10和第11的两位同学在80≤x<90范围当中，80≤x<90范围之前已有8名同学，因此在80≤x<90范围中找寻排名第二和第三的即可．将80≤x<90这一组的数据进行从小到大排列，得到：80 81 82 84 86 87 88 88.因此第10名为81分，第11名为82分，因此中位数b=(81+82)÷2=81.5．
(2)70≤x<80这一范围共有5人，占抽取总人数的比例为5÷20=25%，因此对应圆心角的度数为：360°×25%=90°．
(3)根据图表一，成绩在80分以上的同学共有8+4=12人，占抽取总人数的比例为12÷20=60%，因此该校九年级一共有300×60%=180名学生的体质达标．
首先根据60≤x<70以及扇形图中所占的比例求得抽取学生总人数．再根据总人数求得70≤x<80的人数．对于中位数的计算，还需熟练掌握中位数的定义．对于扇形圆心角度，需要求得70≤x<80的人数占总抽取人数的比例，再根据比例转化到360度的扇形中，求得圆心角的度数．对于第三问，根据抽取的同学推测全部同学，依据部分推断整体思想，根据比例求得．
本题主要考查扇形统计图的画法及用样本估计总体等知识．另外还需着重理解中位数的含义．
24.【答案】证明：(1)∵DE//BC，DF//AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF=12∠ABC，
∴∠ABD=∠EDB，
∴DE=BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
(2)如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF//AB，
∴∠ABC=∠DFC=60°，
∵DH⊥BC，
∴∠FDH=30°，
∴FH=12DF，DH= 3FH= 32DF，
∵∠C=45°，DH⊥BC，
∴∠C=∠HDC=45°，
∴DC= 2DH= 62DF=6，
∴DF=2 6，
∴菱形BEDF的边长为2 6．
【解析】(1)由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；
(2)过点D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意得，点O和点A的坐标分别为(0,0)和(20,0)，
∵B为函数顶点，
∴B(10,4)，
设抛物线解析式为y=a(x−h)2+k，
∵顶点B(10,4)，
∴y=a(x−10)2+4，
再将O(0,0)代入解析式可得，a(0−10)2+4=0，
解得a=−125，
∴抛物线的解析式为y=−125(x−10)2+4(0≤x≤20)；
(2)由题意得，令y=2可得，−125(x−10)2+4=2，
解得x1=10+5 2,x2=10−5 2，
∴桥拱宽度为：10+5 2−(10−5 2)=10 2(米)
(3)两小舟能同时从桥下穿过，理由如下：
∵两小舟的高均为3米，
∴当y=3时，−125(x−10)2+4=3，
解得x1=15，x2=5，
∴最大能通行的宽度为：15−5=10(米)，
∵两小周宽为4米，
∴10>4+4=8，
∴两小舟能同时从桥下穿过．
【解析】(1)设抛物线解析式为y=a(x−h)2+k，再根据题意求解即可；
(2)由题意得，令y=2解出方程即可得到解答；
(3)由题意得，令y=3解出方程，再进行判断即可得到解答．
本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
26.【答案】(1)证明：连接OA；
∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，
∴DA为⊙O的切线．
(2)解：∵BD=1，tan∠ABD=2，
∴AD=2，
∴AB= AD2+BD2= 22+12= 5，
∴cs∠DBA= 55；
∵∠DBA=∠CBA，
∴BC=ABcs∠CBA= 5 55=5．
∴⊙O的半径为2.5．
【解析】(1)要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．
(2)根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．
本题考查了切线的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．
27.【答案】BM=PD CN= 2PD
【解析】解：(1)BM=PD，CN= 2PD，理由如下：
当n=1，则AD=AB，AP=AM，
∴AD−AP=AB−AM，
∴DP=BM，
∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，
∴AD=CD=AB，AP=AM=NP，∠ADC=∠APN=90°，
∴AC= 2AD，AN= 2AP，
∴AC−AN= 2(AD−AP)，
∴CN= 2PD，
故答案为：BM=PD，CN= 2PD；
(2)CN与PD之间的数量关系发生变化，CN= 52PD，理由如下：
如图(1)在矩形ABCD和矩形AMNP中，
∵当n=2时，AD=2AB，AP=2AM，
∴AC= 52AD，AN= 52AP，
∴ACAD=ANAP= 52，
如图(3)，连接AC，
∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，
∴∠NAC=∠PAD，
∴△ANC∽△APD，
∴CNPD=ACAD= 52，
∴CN= 52PD；
(3)线段CN的长为 19−2或 19+2.理由如下：
如图3.1，当点N在线段CM上时，
∵AD=4，AD=2AB，
∴AB=CD=2，
∴AC= AD2+CD2= 16+4= 20，
∵AP=2，AP=2AM，
∴AM=1，
∴CM= AC2−AM2= 20−1= 19，
∴CN=CM−MN= 19−2；
如图3.2，当点M在线段CN上时，
同理可求CM= 19，
∴CN=CM+MN= 19+2；
综上所述：线段CN的长为 19−2或 19+2．
(1)根据题意得出AD=AB，AP=AM，即可推出DP=BM，根据矩形的性质得出AD=CD=AB，AP=AM=NP，∠ADC=∠APN=90°，则AC= 2AD，AN= 2AP，即可得出CN= 2PD；
(2)根据题意得出AD=2AB，AP=2AM，进而得出AC= 52AD，AN= 52AP，则ACAD=ANAP= 52，连接AC，通过证明△ANC∽△APD，即可得出结论；
(3)当点N在线段CM上时，根据勾股定理求出AC= AD2+CD2= 20，则CM= AC2−AM2= 19，即可得出CN=CM−MN= 19−2；当点M在线段CN上时，同理可求CM= 19，则CN=CM+MN= 19+2．
本题考查了矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
28.【答案】解：(1)①2；②4
(2)① −c；
②②∵C(0,c)，
又∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴B(−c,0)，
把(−c,0)代入y=−x2+bx+c，得到：0=−c2−bc+c，
∴c=1−b，
∵二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为−1
所以y−x=−x2+(b−1)x+1−b的最大值为−1，
∴−4(1−b)−(b−1)2−4=−1，
解得b=3，
∴c=−2，
∴二次函数的解析式为y=−x2+3x−2．
(3)1+2 2
【解析】解：(1)①点A(1,3)的“坐标差”为=3−1=2，
故答案为2；
②设P(x,y)为抛物线y=−x2+3x+3上一点，
坐标差=−x2+2x+3，=−(x−1)2+4，最大值为4，
所以抛物线y=−x2+3x+3的“特征值”为4
故答案为4．
(2)①由题意：0−m=c−0，可得m=−c．
②∵C(0,c)，
又∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴B(−c,0)，
把(−c,0)代入y=−x2+bx+c，得到：0=−c2−bc+c，
∴c=1−b，
∵二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为−1
所以y−x=−x2+(b−1)x+1−b的最大值为−1，
∴−4(1−b)−(b−1)2−4=−1，
解得b=3，
∴c=−2，
∴二次函数的解析式为y=−x2+3x−2．
故答案为−c．
(3)如图，设M(2,3)，作M⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．
作TF⊥x轴于E交MJ于F．
易知△TMF是等腰直角三角形，
∵TF=FM= 2，EF=KM=3，EK=FK=M= 2，
∴OE=OK−EK=2− 2，TE=3+ 2，
半径为2的圆的“特征值”为3+ 2−(2− 2)=1+2 2．
故答案为1+2 2．
(1)①②根据“坐标差”，“特征值”的定义计算即可；
(2)因为点B与点C的“坐标差”相等，推出B(−c,0)，把(−c,0)代入y=−x2+bx+c，得到：0=−c2−bc+c，推出c=1−b，因为二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为−1，所以y−x=−x2+(b−1)x+1−b的最大值为−1，可得−4(1−b)−(b−1)2−4=−1，解得b=3，由此即可解决问题；
(3)如图，设M(2,3)，作M⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．
本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题．(1)设计方案
先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法．
(2)设计作图步骤，完成作图．
作法：如图3，
①以点C为圆心、BD为半径画弧；
②再以点D为圆心、BC为半径画弧，两弧交于点F；
③连接DF与CF．
∴四边形DBCF即为所求．
请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹
(3)推理论证
证明：∵ ，
∴四边形DBCF是平行四边形.( )(填推理依据)
成绩x
X<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x<100
人数
1
2
a
8
4
统计量
平均数
中位数
众数
成绩
79.7
b
72
1.−12020的相反数是( )
A. 2020B. −2020C. 12020D. −12020
2.下面的几何体中，主视图不是矩形的是( )
A. B. C. D.
3.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 8B. 23C. 0.5D. 5
4.2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为( )
A. 38.4×104kmB. 3.84×105kmC. 0.384×10 6kmD. 3.84×106km
5.已知：在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(1,0)，(0,3)，将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是(2,−1)，那么点B的对应点B′的坐标是( )
A. (2,1)B. (2,3)C. (2,2)D. (1,2)
6.如图，在△ABC中，DE//BC，若ADDB=35，则AEAC=( )
A. 35
B. 25
C. 38
D. 58
7.父子二人并排竖直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的13，儿子露出水面的高度是他自身身高的14，父子二人的身高之和为3.4米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组( )
A. x+y=3.413x=14yB. x+y=3.4(1−13)x=14y
C. x+y=3.413x=(1−14)yD. x+y=3.4(1−13)x=(1−14)y
8.如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD=108°，则∠BCD的度数是( )
A. 127°
B. 108°
C. 126°
D. 125°
9.关于x的分式方程5x−2+2=m2−x有增根，则m的值为( )
A. m=2B. m=−2C. m=5D. m=−5
10.如图，一次函数y1=x+b与y2=kx−1的图象的交点坐标为(−2,3)，则关于x的不等式x+b≥kx−1的解集为( )
A. x≤−2
B. x≥−2
C. x≥3
D. x≤3
11.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )
A. 2 3
B. 2 6
C. 3
D. 6
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②9a+c>0；③ax2+bx+c=0的两个根是x1=−2，x2=4；④b：c=1：4，其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.分解因式：a2b−4ab+4b=______．
14.如图，已知点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，若S△ABC=2，则k的值为______．
15.如图，⊙O的直径AB=2，C是半圆上任意一点，∠BCD=60°，则劣弧AD的长为______．
16.已知已知a、b实数且满足(a2+b2)2−(a2+b2)−12=0，则a2+b2的值为______．
三、解答题：本题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：(13)−1−|−2|+2sin30°+( 3− 2)0．
18.(本小题4分)
化简：(2xx−3−xx+3)⋅x2−9x．
19.(本小题4分)
如图，已知∠A=∠D=90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF.求证：OE=OF．
20.(本小题6分)
先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图：
已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1．
求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．
小明的做法如下：
21.(本小题6分)
如图，一次函数y1=x+b的图象与与反比例函数y2=kx(k≠0,x<0)的图象交于点A(−2,1)，B两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积．
22.(本小题6分)
随着冬奥会的闭幕，坐落于冬奥核心区的国家跳台滑雪中心——“雪如意”，成为本次冬奥会比赛场馆中最具标志性和辨识度的建筑物之一．该跳台滑雪中心设计灵感来源于中国的传统吉祥饰物“如意”，从跳台环形顶端，再到剖面线形和底部看台，与“如意”的S型曲线完美契合，因此被称为“雪如意”，既体现了体育建筑的动感，又凸显了中国文化元素．如图，是“雪如意”的侧面示意图，“雪如意”由顶峰俱乐部AC、滑道(包括助滑区DE和着陆坡EF)及看台区GF三部分构成(AC、GF均与水平面平行)，其中BD⊥AC于点B，BD=14m，DE=109m，EF=198m，从点E处测得点D处的仰角为26°，点F处的俯角为31°，求“雪如意”的高BH的长(结果精确到1m，sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.80)．
23.(本小题6分)
为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩(百分制).制成如图不完整的统计图表：
表一
表二
根据以上信息回答下列问题：
(1)若抽取的学生成绩处在80≤x<90这一组的数据如下：88 87 81 80 82 88 84 86
根据以上数据将表一和表二补充完整：a______；b______；
(2)在扇形统计图中，表示问卷成绩在70≤x<80这一组的扇形圆心角度数为______；
(3)若成绩在80分以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？
24.(本小题6分)
如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，CD=6，求菱形BEDF的边长．
25.(本小题6分)
综合与实践
问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一.桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分(如图2)，在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
模型建立：
(1)如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．
问题解决：
(2)求在距离水面2米处桥拱宽度．
(3)现有两宽为4米，高3米(带货物)的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．
26.(本小题7分)
如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D．
(1)求证：DA为⊙O的切线；
(2)若BD=1，tan∠ABD=2，求⊙O的半径．
27.(本小题8分)
如图(1)，在矩形ABCD中，AD=nAB，点M，P分别在边AB，AD上(均不与端点重合)，且AP=nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．
【问题发现】
(1)如图(2)，当n=1时，BM与PD的数量关系为______，CN与PD的数量关系为______．
【类比探究】
(2)如图(3)，当n=2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图(3)给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图(3)说明理由．
【拓展延伸】
(3)在(2)的条件下，已知AD=4，AP=2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请写出线段CN的长并说明理由．
28.(本小题9分)
定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y−x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
(1)①点A(1,3)的“坐标差”为______；
②抛物线y=−x2+3x+3的“特征值”为______；
(2)某二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为−1，点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m=______；(用含c的式子表示)
②求此二次函数的表达式．
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M(2,3)为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−12020的相反数是：12020．
故选：C．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；
B为长方体，它的主视图应该为矩形；
C为圆台，它的主视图应该为梯形；
D为三棱柱，它的主视图应该为矩形．
故选：C．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解： 8=2 2，不是最简二次根式；
23= 63，不是最简二次根式；
0.5= 22，不是最简二次根式；
5是最简二次根式；
故选：D．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
4.【答案】B
【解析】解：科学记数法表示：384000=3.84×105km
故选：B．
利用科学记数法的表示形式即可
本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式(1≤a<10,n为整数)，这种记数法叫做科学记数法．
5.【答案】D
【解析】【解答】
解：∵A(1,0)的对应点A′的坐标为(2,−1)，
∴平移规律为横坐标加1，纵坐标减1，
∵点B(0,3)的对应点为B′，
∴B′的坐标为(1,2)．
故选：D．
【分析】
根据点A、A′的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B′的坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵在△ABC中，DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
∵ADDB=35，
∴AEEC=35，
∴AEAC=AEAE+EC=38；
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理进行解答即可．
此题考查了平行线成比例，熟练掌握平行线成比例定理、找准对应关系是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
x+y=3.4(1−13)x=(1−14)y，
故选：D．
根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠BOD=108°，
∴∠A=12∠BOD=54°，
∴∠BCD=180°−∠A=126°
故选：C．
先根据圆周角定理得到∠A=12∠BOD=54°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9.【答案】D
【解析】解：5x−2+2=m2−x，
5+2x−4=−m，
2x=−m+4−5，
2x=−m−1，
x=−m+12，
∵方程有增根，
∴x=2，
∴−m+12=2，
∴m=−5，
故选：D．
先解分式方程为x=−m+12，再由方程的增根为x=2，可得−m+12=2，求出m的值即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解，理解方程增根的意义是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：当x>−2，函数y=x+b的图象在函数y=kx−1图象的上方，
所以关于x的不等式x+b>kx−1的解集为x≥−2．
故选：B．
观察函数图象得到，当x>−2，函数y=x+b的图象都在函数y=kx−1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b≥kx−1的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
11.【答案】A
【解析】解：连接BP．
∵四边形ABCD为正方形，面积为12，
∴正方形的边长为 12=2 3，
∵△ABE为等边三角形，
∴BE=AB=2 3．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABP与△ADP关于AC对称．
∴PB=PD．
∴PD+PE=PB+PD≥BE．
∴PD+PE有最小值为BE=2 3．
故选：A．
先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知BE=AB=2 3，连接BP，依据正方形的对称性可知PB=PD，则PE+PD=PE+BP.由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值为BE的长．
本题考查轴对称−最短路线问题，正方形的性质和等边三角形的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：①抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴ab<0，
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，结论①正确；
②∵抛物线与x轴交于(−2,0)和(4,0)两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，
∵当x=−2时，y=4a−2b+c=0，
∴8a+c=0，
∵a>0，
∴9a+c>0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴交于(−2,0)和(4,0)两点，
∴ax2+bx+c=0的两个根是x1=−2，x2=4，结论③正确；
④∵b=−2a，
∴a=−12b，
∵当x=−2时，y=4a−2b+c=0，
∴−2b−2b+c=0，
∴4b=c，
∴b：c=1：4，结论④正确．
故选：D．
由抛物线的对称轴以及与y轴的交点即可判断①；当x=−2时，y=4a−2b+c=0，由抛物线与x轴的交点求得对称轴，得到b=−2a，代入得8a+c=0，由a>0，可得9a+c>0，即可判断②；由抛物线与x轴交于(−2,0)和(4,0)两点，可得ax2+bx+c=0的两个根是x1=−2，x2=4，即可判断③；把a=−12b代入y=4a−2b+c=0，整理得到4b=c，即可得出b：c=1：4，即可判断④．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
13.【答案】b(a−2)2
【解析】解：a2b−4ab+4b=b(a2−4a+4)=b(a−2)2
考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应先提公因式，再用完全平方公式．
本题考查因式分解的概念，注意必须将式子分解到不能分解为止．
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2．
14.【答案】−4
【解析】解：连接OA，
∵AC⊥y轴，
∴AC//x轴，
∴S△AOC=S△ABC=2=12|k|，
又∵k<0，
∴k=−4，
故答案为：−4．
根据反比例函数系数k的几何意义求出三角形OAC的面积即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的几何意义是解决问题的关键．
15.【答案】π3
【解析】解：由圆周角定理得，∠BOD=2∠BCD=120°，
∴∠AOD=180°−∠BOD=60°，
∴劣弧AD的长=60π×1180=π3，
故答案为：π3．
根据圆周角定理求出∠BOD，得到∠AOD的度数，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式l=nπr180是解题的关键．
16.【答案】4
【解析】【分析】
考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
设t=a2+b2(t≥0).由原方程得到t2−t−12=0求得t的值即可．
【解答】
解：设t=a2+b2(t≥0).由原方程得到t2−t−12=0．
整理，得(t−4)(t+3)=0．
所以t=4或t=−3(舍去)．
即a2+b2的值为4．
故答案是：4．
17.【答案】解：(13)−1−|−2|+2sin30°+( 3− 2)0
=3−2+2×12+1
=3−2+1+1
=3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：原式=(2x(x+3)(x−3)(x+3)−x(x−3)(x−3)(x+3))⋅(x−3)(x+3)x
=x(x+9)(x−3)(x+3)⋅(x−3)(x+3)x
=x+9．
【解析】对于分式混合运算，其实也就是在同一个算式中，综合了分式的加减、乘除及乘方中的一种或几种运算，关键是要注意各种运算的先后顺序．
对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．
19.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
AB=DCBE=CF，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF．
【解析】证明Rt△ABF≌Rt△DCE，根据全等三角形的性质得到∠AFB=∠DEC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20.【答案】(2)如图3，
(3)CF=BD；DF=BC；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；
【解析】【分析】
利用几何语言画出对应的几何图形，然后根据平行四边形的判定方法可证明四边形DBCF是平行四边形．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．
【解答】
(2)见答案；
(3)证明：如图3，
∵CF=BD，DF=BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)．
故答案为：CF=BD，DF=BC；两组对边分别相等的四边形为平行四边形．
21.【答案】解：(1)把A(−2,1)代入y1=x+b得−2+b=1，解得b=3；
把A(−2,1)代入y2=kx(k≠0,x<0)得k=−2×1=−2，
∴一次函数的表达式是y1=x+3，反比例函数的表达式y2=−2x；
(2)由y=x+3y=−2x，解得x=−1y=2或x=−2y=1，
∴B点坐标为(−1,2)，
设直线y=x+3与x轴的交点为C，
把y=0代入求得x=−3，
∴C(−3,0)，
∴△AOB的面积=△BOC的面积−△AOC的面积=12×3×2−12×3×1=32．
【解析】(1)分别把A点坐标代入y1=x+b和y2=kx(k≠0,x<0)中计算出b和k的值即可；
(2)先确定B点坐标，然后设直线y=x+3与x轴的交点为C，求得C的坐标，再根据三角形面积公式求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
22.【答案】解：过点E分别作EM⊥DH于点M，EN⊥FH于点N，
则∠EFN=31°，且四边形EMHN是矩形，
∴EN=MH，
在Rt△DEM中，∠DEM=26°，DE=109米，
∴DM=DE⋅sin∠DEM=109×sin26°≈109×0.44=47.96(米)，
在Rt△EFN中，EF=198米，
∴EN=EF⋅sin∠EFN=198×sin31°≈198×0.52=102.96(米)，
∴EN=MH=102.96米，
∴BH=BD+DM+MH=14+47.96+102.96=164.92≈165(米)，
∴“雪如意”BH的高度约为165m．
【解析】过点E分别作EM⊥DH于点M，EN⊥FH于点N，根据题意可得∠EFN=31°，四边形EMHN是矩形，从而可得EN=MH，然后在Rt△DEM中，利用锐角三角函数的定义求出DM的长，再在Rt△EFN中，利用锐角三角函数的定义求出FN的长，从而求出MH的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】5 81.5 90°
【解析】解：(1)根据抽取的60≤x<70为2人，在扇形中所占比例为10%，求得总抽取人数为2÷10%=20人．因此a=20−1−2−8−4=5.根据中位数定义，在所有抽取的的20人中，中位数是排名第10和第11两位同学成绩的平均数，因此只需找到排名第10和第11的两位同学即可．根据图表一得知，排名第10和第11的两位同学在80≤x<90范围当中，80≤x<90范围之前已有8名同学，因此在80≤x<90范围中找寻排名第二和第三的即可．将80≤x<90这一组的数据进行从小到大排列，得到：80 81 82 84 86 87 88 88.因此第10名为81分，第11名为82分，因此中位数b=(81+82)÷2=81.5．
(2)70≤x<80这一范围共有5人，占抽取总人数的比例为5÷20=25%，因此对应圆心角的度数为：360°×25%=90°．
(3)根据图表一，成绩在80分以上的同学共有8+4=12人，占抽取总人数的比例为12÷20=60%，因此该校九年级一共有300×60%=180名学生的体质达标．
首先根据60≤x<70以及扇形图中所占的比例求得抽取学生总人数．再根据总人数求得70≤x<80的人数．对于中位数的计算，还需熟练掌握中位数的定义．对于扇形圆心角度，需要求得70≤x<80的人数占总抽取人数的比例，再根据比例转化到360度的扇形中，求得圆心角的度数．对于第三问，根据抽取的同学推测全部同学，依据部分推断整体思想，根据比例求得．
本题主要考查扇形统计图的画法及用样本估计总体等知识．另外还需着重理解中位数的含义．
24.【答案】证明：(1)∵DE//BC，DF//AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF=12∠ABC，
∴∠ABD=∠EDB，
∴DE=BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
(2)如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF//AB，
∴∠ABC=∠DFC=60°，
∵DH⊥BC，
∴∠FDH=30°，
∴FH=12DF，DH= 3FH= 32DF，
∵∠C=45°，DH⊥BC，
∴∠C=∠HDC=45°，
∴DC= 2DH= 62DF=6，
∴DF=2 6，
∴菱形BEDF的边长为2 6．
【解析】(1)由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；
(2)过点D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意得，点O和点A的坐标分别为(0,0)和(20,0)，
∵B为函数顶点，
∴B(10,4)，
设抛物线解析式为y=a(x−h)2+k，
∵顶点B(10,4)，
∴y=a(x−10)2+4，
再将O(0,0)代入解析式可得，a(0−10)2+4=0，
解得a=−125，
∴抛物线的解析式为y=−125(x−10)2+4(0≤x≤20)；
(2)由题意得，令y=2可得，−125(x−10)2+4=2，
解得x1=10+5 2,x2=10−5 2，
∴桥拱宽度为：10+5 2−(10−5 2)=10 2(米)
(3)两小舟能同时从桥下穿过，理由如下：
∵两小舟的高均为3米，
∴当y=3时，−125(x−10)2+4=3，
解得x1=15，x2=5，
∴最大能通行的宽度为：15−5=10(米)，
∵两小周宽为4米，
∴10>4+4=8，
∴两小舟能同时从桥下穿过．
【解析】(1)设抛物线解析式为y=a(x−h)2+k，再根据题意求解即可；
(2)由题意得，令y=2解出方程即可得到解答；
(3)由题意得，令y=3解出方程，再进行判断即可得到解答．
本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
26.【答案】(1)证明：连接OA；
∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，
∴DA为⊙O的切线．
(2)解：∵BD=1，tan∠ABD=2，
∴AD=2，
∴AB= AD2+BD2= 22+12= 5，
∴cs∠DBA= 55；
∵∠DBA=∠CBA，
∴BC=ABcs∠CBA= 5 55=5．
∴⊙O的半径为2.5．
【解析】(1)要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．
(2)根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．
本题考查了切线的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．
27.【答案】BM=PD CN= 2PD
【解析】解：(1)BM=PD，CN= 2PD，理由如下：
当n=1，则AD=AB，AP=AM，
∴AD−AP=AB−AM，
∴DP=BM，
∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，
∴AD=CD=AB，AP=AM=NP，∠ADC=∠APN=90°，
∴AC= 2AD，AN= 2AP，
∴AC−AN= 2(AD−AP)，
∴CN= 2PD，
故答案为：BM=PD，CN= 2PD；
(2)CN与PD之间的数量关系发生变化，CN= 52PD，理由如下：
如图(1)在矩形ABCD和矩形AMNP中，
∵当n=2时，AD=2AB，AP=2AM，
∴AC= 52AD，AN= 52AP，
∴ACAD=ANAP= 52，
如图(3)，连接AC，
∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，
∴∠NAC=∠PAD，
∴△ANC∽△APD，
∴CNPD=ACAD= 52，
∴CN= 52PD；
(3)线段CN的长为 19−2或 19+2.理由如下：
如图3.1，当点N在线段CM上时，
∵AD=4，AD=2AB，
∴AB=CD=2，
∴AC= AD2+CD2= 16+4= 20，
∵AP=2，AP=2AM，
∴AM=1，
∴CM= AC2−AM2= 20−1= 19，
∴CN=CM−MN= 19−2；
如图3.2，当点M在线段CN上时，
同理可求CM= 19，
∴CN=CM+MN= 19+2；
综上所述：线段CN的长为 19−2或 19+2．
(1)根据题意得出AD=AB，AP=AM，即可推出DP=BM，根据矩形的性质得出AD=CD=AB，AP=AM=NP，∠ADC=∠APN=90°，则AC= 2AD，AN= 2AP，即可得出CN= 2PD；
(2)根据题意得出AD=2AB，AP=2AM，进而得出AC= 52AD，AN= 52AP，则ACAD=ANAP= 52，连接AC，通过证明△ANC∽△APD，即可得出结论；
(3)当点N在线段CM上时，根据勾股定理求出AC= AD2+CD2= 20，则CM= AC2−AM2= 19，即可得出CN=CM−MN= 19−2；当点M在线段CN上时，同理可求CM= 19，则CN=CM+MN= 19+2．
本题考查了矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
28.【答案】解：(1)①2；②4
(2)① −c；
②②∵C(0,c)，
又∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴B(−c,0)，
把(−c,0)代入y=−x2+bx+c，得到：0=−c2−bc+c，
∴c=1−b，
∵二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为−1
所以y−x=−x2+(b−1)x+1−b的最大值为−1，
∴−4(1−b)−(b−1)2−4=−1，
解得b=3，
∴c=−2，
∴二次函数的解析式为y=−x2+3x−2．
(3)1+2 2
【解析】解：(1)①点A(1,3)的“坐标差”为=3−1=2，
故答案为2；
②设P(x,y)为抛物线y=−x2+3x+3上一点，
坐标差=−x2+2x+3，=−(x−1)2+4，最大值为4，
所以抛物线y=−x2+3x+3的“特征值”为4
故答案为4．
(2)①由题意：0−m=c−0，可得m=−c．
②∵C(0,c)，
又∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴B(−c,0)，
把(−c,0)代入y=−x2+bx+c，得到：0=−c2−bc+c，
∴c=1−b，
∵二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为−1
所以y−x=−x2+(b−1)x+1−b的最大值为−1，
∴−4(1−b)−(b−1)2−4=−1，
解得b=3，
∴c=−2，
∴二次函数的解析式为y=−x2+3x−2．
故答案为−c．
(3)如图，设M(2,3)，作M⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．
作TF⊥x轴于E交MJ于F．
易知△TMF是等腰直角三角形，
∵TF=FM= 2，EF=KM=3，EK=FK=M= 2，
∴OE=OK−EK=2− 2，TE=3+ 2，
半径为2的圆的“特征值”为3+ 2−(2− 2)=1+2 2．
故答案为1+2 2．
(1)①②根据“坐标差”，“特征值”的定义计算即可；
(2)因为点B与点C的“坐标差”相等，推出B(−c,0)，把(−c,0)代入y=−x2+bx+c，得到：0=−c2−bc+c，推出c=1−b，因为二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为−1，所以y−x=−x2+(b−1)x+1−b的最大值为−1，可得−4(1−b)−(b−1)2−4=−1，解得b=3，由此即可解决问题；
(3)如图，设M(2,3)，作M⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．
本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题．(1)设计方案
先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法．
(2)设计作图步骤，完成作图．
作法：如图3，
①以点C为圆心、BD为半径画弧；
②再以点D为圆心、BC为半径画弧，两弧交于点F；
③连接DF与CF．
∴四边形DBCF即为所求．
请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹
(3)推理论证
证明：∵ ，
∴四边形DBCF是平行四边形.( )(填推理依据)
成绩x
X<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x<100
人数
1
2
a
8
4
统计量
平均数
中位数
众数
成绩
79.7
b
72
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