2024年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷（含解析）卷

这是一份2024年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷（含解析）卷试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下是2023年中国国际汉字文化创意设计大赛中，以“甘肃”“广东”为主题创作的作品，其中轴对称图形是( )
A. B. C. D.
2.2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心发射成功.火箭起飞质量约497000千克.数据497000用科学记数法表示为( )
A. 0.497×106B. 4.97×105C. 4.97×104D. 49.7×104
3.如图，已知∠1=∠2，∠3=118°，则∠4=( )
A. 48°
B. 62°
C. 68°
D. 72°
4.因式分解：a2−4=( )
A. (a+4)(a−4)B. (a+4)(a−2)C. (a+2)(a−4)D. (a+2)(a−2)
5.一元二次方程x2−5x+5=0的根的情况为( )
A. 无实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 不能判定
6.实数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论正确的是( )
A. a>−2B. a+b>0C. |a|<|b|D. b−a>0
7.如图，在数学实践课上，老师要求学生在一张A4纸(矩形ABCD)上剪出一个面积为100 3cm2的等边三角形AEF.某小组分析后，先作了∠MAB=60°，再算出了AF的长，然后分别在AM，AB上截取了AE=AF，则AF的长为( )
A. 5 3cmB. 10cmC. 10 3cmD. 20cm
8.在一定温度范围内，声音在空气中的传播速度v(m/s)可看作是温度t(℃)的一次函数，根据下表数据，则v与t的函数表达式为( )
A. v=6t+330B. v=−6t+330C. v=0.6t+330D. v=−0.6t+330
9.兰州市现行城镇居民用水量划分为三级，水价分级递增.第一级为每户每年不超过144m3的用水量，执行现行居民用水价格；第二级为超出144m3但不超过180m3的用水量，执行现行居民用水价格的1.5倍；第三级为超出180m3的用水量，执行现行居民用水价格的3倍.某小区志愿队为了解该小区居民的用水情况，随机抽样调查了50户家庭的年用水量，并整理绘制了频数分布直方图(如图)，若该小区共有1000户居民，请根据相关信息估计该小区年用水量达到第三级标准的户数( )
A. 30B. 45C. 60D. 90
10.《九章算术》中记载了这样一个问题：今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉.下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉.问上、下禾实一秉各几何？大意是：3束上等禾的产量再加6斗，相当于10束下等禾的产量；5束下等禾的产量再加1斗，相当于2束上等禾的产量.问上等禾、下等禾每束的产量各为几斗？
设上等禾每束产量x斗，下等禾每束产量y斗，根据题意可列方程组为( )
A. 3x+6=10y5y+1=2xB. 3x+6=10y5x+1=2yC. 3x−6=10y5y−1=2xD. 10x=3y+62y=5x+1
11.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C.若AB=3，则BC=( )
A. π
B. 2π
C. 1.5π
D. 3π
12.如图，在钝角△ABC中(∠BAC为钝角)，∠B=45°，AB=6 2，AC=10，在其内部作一个矩形MNQP，使矩形的一边NQ在边BC上，顶点M，P分别在边AB，AC上.设矩形的一边MN=x，矩形的面积为y，则y与x的函数关系式可用函数图象表示为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若x为正整数，要使 3−x有意义，则x= ______(写出1个即可)．
14.自然界绝大多数的彩色光都可以利用红、绿、蓝三种色光按不同比例混合而成，这叫做三原色原理，如：红光与绿光重叠现黄色.如图所示，小明制作了两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的扇形，同时转动两个转盘，根据三原色原理配得黄色的概率为______．
15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，ABA′B′=12，已知A(1,2)，则顶点A′的坐标为______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，AE与BD相交于点P，则线段AP= ______．
三、解答题：本题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
解不等式组：7x+11>3(x+1)2x−118.(本小题4分)
解方程：3x+1=x3(x+1)−1．
19.(本小题4分)
先化简，再求值：4x(x+2y)−(2x+3)2+12x，其中x=15，y=−5．
20.(本小题6分)
如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(1,3)，与x轴交于点B．
(1)求反比例函数y=kx与一次函数y=x+b的表达式；
(2)过点A作AC⊥x轴于点C，求△ABC的面积．
21.(本小题6分)
甘肃省公用品牌“甘味”中的区域品牌“兰州百合”荣登农业产业品牌百强榜，甘肃某地区为深入推进乡村振兴产业发展，采购了A，B两种型号包装机同时包装百合，某质检部门从已包装好的产品中随机各抽取10袋测得实际质量(单位：g)，规定质量在(500±5)g为合格产品.将所得数据进行收集整理，部分信息如下：
信息一：A，B型号包装机包装的每袋百合质量的折线统计图

信息二：A，B型号包装机包装的每袋百合质量的统计量
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的m= ______；
(2)根据统计图来看，______型号包装机包装的百合的质量比较稳定；(填“A”或“B”)
(3)综合以上信息，你认为该地区应选择哪种型号的包装机包装百合较为合适？并说明理由．
22.(本小题6分)
如图，在△AOB中，∠B=30°，⊙O与AB相切于点A，与OB相交于点C，延长AO交⊙O于点D，连接CD．
(1)求∠D的大小；
(2)当BC=2时，求CD的长．
23.(本小题6分)
数学家为解决“化圆为方”问题，将其转化为特殊的“化矩形为方”问题.化矩形为方指的是给定任意矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形．
如图，已知矩形ABCD.尺规作图完成“化矩形ABCD为正方形BPQR“问题.以下为作图过程：
①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB延长线于点E；
②分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接MN交AE于点F，则点F为AE的中点；
③以点F为圆心，AF长为半径画弧，交CB延长线于点P；
④以BP为边，在边BP右侧作正方形BPQR，即“化矩形ABCD为正方形BPQR”．
(1)请按照作图过程中④的要求，用无刻度直尺和圆规将所给图形补充完整；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)根据已补充完整的图形解决问题：
在矩形ABCD中，已知AB=5，AD=1，则BF= ______，PF= ______，进而求得正方形BPQR的边BP= ______.由此可得S矩形ABCD=S正方形BPQR，即达到“化矩形为方”的目的．
24.(本小题6分)
小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下：
请你根据上述信息解决以下问题：
(1)求∠CBN的大小；
(2)求鹅卵石的像G到水面的距离GH.(结果精确到0.1m)
(参考数据：sin41.7°≈0.665，cs41.7°≈0.747，tan41.7°≈0.891， 3≈1.73)
25.(本小题6分)
如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥方案设计.深安黄河大桥主拱形OAB呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连.如图2所示，建立平面直角坐标系，吊杆CD到原点O的水平距离OC=26m，吊杆EF到原点O的水平距离OE=134m，且CD=EF，主拱形离桥面的距离y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=−0.006(x−h)2+k，其对称轴为直线x=h．
(1)求OH的长度；
(2)求主拱形到桥面的最大高度AH的长．
26.(本小题7分)
如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上.将矩形ABCD分别沿BE，EF翻折后点A，D均落在点G处，此时B，G，F三点共线，若BG=2EG．
(1)求证：矩形ABCD为正方形；
(2)若DF=2，求BC的长．
27.(本小题8分)
综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为平面内一点(点A，B，D三点不共线)，AE为△ABD的中线．
【初步尝试】(1)如图1，小林同学发现：延长AE至点M，使得ME=AE，连接DM.始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：
①DM=AC；②∠MDA+∠DAB=180°；
【类比探究】(2)如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接CF.小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：AE=12CF，请你帮他证明；
【拓展延伸】(3)如图3，在(2)的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，AD为半径的圆上运动(AD>AB)，直线AE与直线CF相交于点G，连接BG，在点D的运动过程中BG存在最大值.若AB=4，请直接写出BG的最大值．
28.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形W和图形W外一点P，若在图形W上存在点M，N，使PM=2PN，则称点P是图形W的一个“2倍关联点”.例如：如图1，已知图形W：△ABC，A(0,2)，B(−1,0)，C(1,0)；点P(0,−1)到△ABC上的点的最小距离为PO=1，到△ABC上的点的最大距离为PA=3，则PA>2PO.因此在△ABC上存在点M，N，使得PM=2PN，则点P是△ABC的一个“2倍关联点”．
(1)如图2，已知A(0,1)，B(2,1)．
①判断点P1(2,−1) ______线段AB的一个“2倍关联点”；(填“是”或“不是”)
②若点P2(1,m)是线段AB的“2倍关联点”，求m的最小值；
(2)如图3，⊙O的圆心为原点，半径为1，若在直线l：y=x+b上存在点Q是⊙O的“2倍关联点”，求b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
根据轴对称图形的概念解答即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：497000=4.97×105，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：如图，
∵∠1=∠2，
∴a/​/b，
∴∠4=∠5，
∵∠3=118°，∠3+∠5=180°，
∴∠5=62°，
∴∠4=62°，
故选：B．
根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：a2−4=(a+2)(a−2)．
故答案为：(a+2)(a−2)．
故选：D．
利用平方差公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵Δ=(−5)2−4×1×5=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
6.【答案】D
【解析】解：由数轴可知，−3A、∵−3B、∵−3C、∵−3|a|>2，2>|b|>1，∴|a|>|b|，故选项C不符合题意；
D、∵−30，故选项D符合题意；
故选：D．
由数轴可知，−3本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布以及从数轴上获取已知条件是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：过E作EH⊥AF于H，
∴∠EHA=90°，
∵∠EAH=60°，
∴∠AEH=30°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AH=FH=12AE，
设AH=x，AE=AF=2x，
∴EH= AE2−AH2= 3x，
∵等边三角形AEF的面积=100 3cm2，
∴12×2x⋅ 3x=100 3，
解得x=10，
∴AF的长为20cm，
故选：D．
过E作EH⊥AF于H，得到∠EHA=90°，根据三角形的内角和定理得到∠AEH=30°，得到AH=FH=12AE，设AH=x，AE=AF=2x，根据勾股定理得到EH= AE2−AH2= 3x，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设一次函数的解析式为v=kt+b，
根据题意b=33010k+b=336，
解得k=0.6b=330，
∴v与t的函数表达式为v=0.6t+330，
故选：C．
设一次函数的解析式为v=kt+b，待定系数法求解即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求解析式．
9.【答案】C
【解析】解：1000×332+15+3=60(户)，
估计该小区年用水量达到第三级标准的户数大约为60．
故选：C．
用1000户乘样本中用水量达到第三级标准的户数所占百分比即可．
此题主要考查了利用样本估计总体以及频数分布直方图与频数(率)分布表综合应用，根据已知得出样本数据总数是解题关键．
10.【答案】A
【解析】解：根据题意知：3x+6=10y5y+1=2x．
故选：A．
设上等禾每束产量x斗，下等禾每束产量y斗，等量关系：3束上等禾的产量+6斗=10束下等禾的产量；5束下等禾的产量+1斗=2束上等禾的产量．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
11.【答案】C
【解析】解：连接OC，OB，
∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C，
∴∠OCB=∠OBC=90°，OC=OB，
∵∠CAB=60°+30°=90°，
∴四边形ABOC是正方形，
∴∠BOC=90°OB=AB=3，
∴BC的长度=90⋅π×3180=1.5π，
故选：C．
连接OC，OB，根据切线的性质得到∠OCB=∠OBC=90°，OC=OB，推出四边形ABOC是正方形，求得∠BOC=90°，OB=AB=3，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，AE交MP于点F，如图，
∵∠B=45°，AB=6 2，AE⊥BC，
∴BE=AE= 22AB=6，
∴EC= AC2−AE2= 102−62=8，
∴BC=BE+EC=14．
∵四边形MNQP为矩形，
∴∠PMN=∠MNQ=90°，
∵AE⊥BC，
∴四边形MNEF为矩形，
∴EF=MN=x，
∴AF=6−x．
∵MP//BC，
∴△AMP∽△ABC，
∴MPBC=AFAE，
∴MP14=6−x6，
∴MP=−73x+14，
∴y=x(−73x+14)=−73x2+14x=−73(x−3)2+21．
∵矩形MNQP，使矩形的一边NQ在边BC上，顶点M，P分别在边AB，AC上，
∴0∵−73<0，
∴当x=3时，矩形的面积取得最大值为21．
∴y与x的函数的函数图象为抛物线y=−73(x−3)2+21上的0----6的一段．
故选：A．
过点A作AE⊥BC于点E，AE交MP于点F，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理求得BC的长度，利用相似三角形的判定定理和相似三角形的对应高的比等于相似比的性质求得MP，利用矩形的面积公式求得y与x的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的面积，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的图象与性质，配方法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：由题意得：3−x≥0，
解得：x≤3，
所以x=3符合题意．
故答案为：3(答案不唯一)．
根据二次根式有意义的条件可得3−x≥0，再解即可．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
14.【答案】13
【解析】解：列表如下：
由表格知，共有6种等可能结果，其中根据三原色原理配得黄色的有2种结果，
所以根据三原色原理配得黄色的概率为26=13，
故答案为：13．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查列表法与树状图法，列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
15.【答案】(2,4)
【解析】解：∵△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，ABA′B′=12，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为12，
∵A(1,2)，
∴点A′的坐标为(1×2,2×2)，即(2,4)，
故答案为：(2,4)．
根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
16.【答案】103
【解析】解：∵E为BC的中点，
∴BE=12BC=3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AE= AB2+BE2= 42+32=5．
设AP=x，则PE=5−x，
∵AD/​/BC，
∴△APD∽△EPB，
∴ADAP=BEPE，
∴6x=35−x，
∴x=103．
∴AP=103．
故答案为：103．
利用矩形的性质和直角三角形的性质，勾股定理求得AE的长度，设AP=x，则PE=5−x，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：7x+11>3(x+1)①2x−1解不等式①，得x>−2，
解不等式②，得x<2，
所以原不等式组的解集为：−2【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
18.【答案】解：3x+1=x3(x+1)−1，
方程两边都乘3(x+1)，得9=x−3(x+1)，
9=x−3x−3，
3x−x=−3−9，
2x=−12，
x=−6，
检验：当x=−6时，3(x+1)≠0，
所以分式方程的解是x=−6．
【解析】方程两边都乘3(x+1)得出9=x−3(x+1)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19.【答案】解：原式=4x2+8xy−4x2−12x−9+12x
=8xy−9，
当x=15，y=−5时，原式=8×15×(−5)−9=−8−9=−17．
【解析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)把A(1,3)代入反比例函数y=kx和一次函数y=x+b中，得k1=3，解得k=3，
1+b=3，解得b=2，
∴反比例函数的表达式为y=3x，一次函数的表达式为y=x+2；
(2)当y=0时，x+2=0，解得x=−2，
∴B(−2,0)，
∵AC⊥x轴于点C，A(1,3)，
∴C(1,0)，
∴BC=1−(−2)=3，
∴△ABC的面积为：12×3×3=92．
【解析】(1)把A(1,3)代入反比例函数y=kx和一次函数y=x+b中，求出k和b即可解答；
(2)求出点B和C的坐标，利用三角形的面积公式解答即可．
本题考查了待定系数法求函数解析式及反比例函数与一次函数图象交点的问题，求得点的坐标是解题的关键．
21.【答案】506.5 B
【解析】解：(1)A型号包装机包装的每袋质量由小到大排列如下：
497，499，501，506，506，507，508，508，508，508，
∴A型中位数m=(506+507)÷2=506.5，
故答案为：506.5；
(2)从统计图来看，B型号包装机包装的百合的质量比较稳定；
故答案为：B；
(3)该地区应选择B型号的包装机包装百合较为合适．
理由如下：从统计图看A型波动比B型波动大，从A，B型号包装机包装的每袋百合质量的统计量来看，B型中位数和众数都没有超出规定质量，而A型中位数和众数都超出规定质量，且B型极差小于A型极差，
∴该地区应选择B型号的包装机包装百合较为合适．
(1)根据中位数的意义解答即可；
(2)根据统计图直观判断即可；
(3)综合所有信息，利用统计图和统计量的意义作出判断，再说明理由即可．
本题考查折线统计图，平均数，中位数，众数，能从统计图表中获取有用信息，明确相关统计量的意义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵⊙O与AB相切于点A，
∴∠BAO=90°，
∵∠B=30°，
∴∠AOB=90°−30°=60°，
∵∠AOB=2∠D，
∴2∠D=60°，
∴∠D=30°；
(2)在Rt△AOB中，∠B=30°，
∴OA=12OB，
∴OB=2OA=OC+BC=OA+2，
∴OA=2，
∴AD=OB=4，
∴AB= OB2−OA2=2 3，
连接AC，
AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
在△ADC和△OBA中，
∠D=∠B=30°∠ACD=∠OAB=90°AD=OB，
∴△ADC≌△OBA(AAS)，
∴CD=AB=2 3．
【解析】(1)由切线的性质和三角形内角和定理求得∠AOB=60°，根据圆周角定理即可求出∠D；
(2)根据含30度直角三角形的性质结合已知条件求出OA，OB，进而得到AD=OB，根据勾股定理求出AB，证明△ADC≌△OBA，根据全等三角形的性质即可求得答案．
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键．
23.【答案】2 3 5
【解析】解：(1)如图所示，正方形PBQR即为补充完整的图形；
(2)∵AB=5，BE=AD=1，
∴AE=AB+BE=5+1=6，
由作图过程可知：直线MN是线段AE的垂直平分线，
∴AF=EF=12AE=3，
∴BF=EF−BE=3−1=2，PF=AF=3，
∴BP= PF2−BF2= 32−22= 5，
故答案为：2，3， 5．
(1)根据基本作图方法即可将所给图形补充完整；
(2)由作图过程可得MN是AE的垂直平分线，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了作图−复杂作图，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
24.【答案】解：(1)∵sin∠ABMsin∠CBN=1.33，sin∠ABM=sin41.7°≈0.665，
∴sin∠CBN=sin∠ABM1.33=12，
∴∠CBN=30°，
∴∠CBN的大小为30°；
(2)∵∠ABM=∠NBG=41.7°，BN=CH=3m，
∵BN//HC，
∴∠CBN=∠BCH=30°，∠BGH=∠NBG=41.7°，
在Rt△BCH中，
BH=CH⋅tan∠BCH=3× 33= 3(m)，
在Rt△BHG中，
HG=BHtan∠BGH=BHtan41.7∘≈1.9(m)，
∴鹅卵石的像G到水面的距离GH为1.9m．
【解析】(1)根据sin∠ABMsin∠CBN=1.33代入，进而作答即可；
(2)BN//HC，∠CBN=∠BCH，在Rt△BCH中，根据三角函数求出BH，在Rt△BHG中，根据三角函数求出HG．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，熟悉角的正切值，正弦值．
25.【答案】解：(1)由题意得，其对称轴为直线x=134+262=80，即h=80，OH=80m，
答：OH的长度为80m；
(2)∵h=80，
∴y=−0.006(x−80)2+k，
∵直线x=80是其对称轴，
∴B(160,0)，
将B点代入函数y=−0.006(x−80)2+k，
得，−0.006(160−80)2+k=0，
解得：k=38.4，
∴y=−0.006(x−80)2+38.4，
∴A(80,38.4)，即AH=38.4m，
答：主拱形到桥面的最大高度AH的长为38.4m．
【解析】(1)因为OC=26m，OE=134m，且CD=EF，所以其对称轴为直线x=134+262，可得OH的长；
(2)将(1)求得h的值代入该二次函数，已知对称轴，可得B点坐标，将B点代入该二次函数，解得k的值，可得该二次函数的表达式，可得主拱形到桥面的最大高度AH的长．
本题考查了二次函数的实际应用，关键是掌握二次函数的对称轴．
26.【答案】(1)证明：由翻折得EA=EG，ED=EG，BG=BA，
∴EA=ED=EG，
∴AD=2ED=2EG，
∵BG=2EG，
∴AD=BG，
∴AD=BA，
∵四边形ABCD是矩形，且AD=BA，
∴四边形ABCD是正方形．
(2)解：由翻折得∠GEB=∠AEB，∠GEF=∠DEF，
∴∠AEG=2∠GEB，∠DEG=2∠GEF，
∴2∠GEB+2∠GEF=180°，
∴∠BEF=∠GEB+∠BEF=90°，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠AEB=∠DFE=90°−∠DEF，
∵AB=AD=2AE，DF=2，
∴EDDF=tan∠DFE=tan∠AEB=ABEA=2，
∴EA=ED=2DF=4，AB=2EA=8，
∴BC=AB=8，
∴BC的长是8．
【解析】(1)由翻折得EA=EG，ED=EG，BG=BA，则EA=ED=EG，所以AD=2ED=2EG，而BG=2EG，即可证明AD=BA，而四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD是正方形；
(2)由翻折得∠GEB=∠AEB，∠GEF=∠DEF，则∠BEF=∠GEB+∠BEF=90°，而∠A=∠D=90°，可证明∠AEB=∠DFE，则EDDF=tan∠DFE=tan∠AEB=ABEA=2，求得EA=ED=2DF=4，则BC=AB=2EA=8．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、正方形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形等知识，推导出∠BEF=90°是解题的关键．
27.【答案】(1)证明：①∵AE为△ABD的中线，
∴BE=DE，
在△ABE和△MDE中，
BE=DE∠AEB=∠MEDAE=ME，
∴△ABE≌△MDE(SAS)，
∴AB=DM，
∵AB=AC，
∴DM=AC；
②由①知△ABE≌△MDE，
∴∠BAE=∠DME，
∴AB/​/DM，
∴∠MDA+∠DAB=180°；
(2)证明：延长AE至点M，使得ME=AE，连接DM．

由旋转得：AF=AD，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，∠DAF+∠BAC+∠BAD+∠CAF=360°，
∴∠BAD+∠CAF=180°，
由(1)②得：∠MDA+∠DAB=180°，DM=AB=AC，
∴∠CAF=∠MDA，
在△ACF和△DMA中，
AF=AD∠CAF=∠MDAAC=DM，
∴△ACF≌△DMA(SAS)，
∴CF=AM，
∵AE=12AM，
∴AE=12CF；
(3)如图3，延长DA至M，使AM=AD，设AM交CF于N，连接BM交CF于K，取AC中点P，连接GP，

由旋转得：AF=AD，∠DAF=90°，
∴AF=AM，∠MAF=180°−90°=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠MAF+∠CAM=∠BAC+∠CAM，
即∠CAF=∠BAM，
在△ACF和△ABM中，
AC=AB∠CAF=∠BAMAF=AM，
∴△ACF≌△ABM(SAS)，
∴∠AFC=∠AMB，即∠AFN=∠KMN，
∵∠ANF=∠KNM，
∴∠FAN=∠MKN=90°，
∴BM⊥CF，
∵E、A分别是DB、DM的中点，
∴AE是△BDM的中位线，
∴AE//BM，即AG//BM，
∴AG⊥CF，
∴∠AGC=90°，
∵点P是AC的中点，
∴GP=12AC=12AB=2，
∴点G在以P为圆心，2为半径的⊙P上运动，
连接BP并延长交⊙P于G′，
∴BG′的长为BG的最大值，
在Rt△ABP中，BP= AB2+AP2= 42+22=2 5，
∴BG′=BP+PG′=2 5+2，
∴BG的最大值为2 5+2．
【解析】(1)利用SAS证明△ABE≌△MDE，可得AB=DM，再结合AB=AC，即可证得DM=AC；由全等三角形性质可得∠BAE=∠DME，再运用平行线的判定和性质即可证得∠MDA+∠DAB=180°；
(2)延长AE至点M，使得ME=AE，连接DM.利用SAS证得△ACF≌△DMA，可得CF=AM，再由AE=12AM，可证得AE=12CF；
(3)延长DA至M，使AM=AD，设AM交CF于N，连接BM交CF于K，取AC中点P，连接GP，可证得△ACF≌△ABM(SAS)，利用三角形中位线定理可得AE//BM，即AG//BM，利用直角三角形性质可得GP=12AC=12AB=2，得出点G在以P为圆心，2为半径的⊙P上运动，连接BP并延长交⊙P于G′，可得BG′的长为BG的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．
本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．
28.【答案】不是
【解析】解：(1)①不是，理由如下：
P1B= (2−2)2+(−1−1)2=2，P1A= 22+[1−(−1)]2=2 2，
∵点P到线段AB的最小距离为P1B=2，最大距离为P1A=2 2，且P1A<2P1B，
∴点P1(2.−1)不是线段AB的一个“2倍关联点”，
故答案为：不是；
②如图2，过点P作P2C⊥AB于点C．
当P2A=2P2C时，点P2是线段AB的“2倍关联点”，此时m的值最小．
在Rt△ACP2中，∠P2AC=30°，
∴P2CAC=tan30°
∴P2C=AC⋅tan30°= 33，
又∵P2C=1−m，
∴1−m= 33，
解得：m=1− 33，
∴点m的最小值为1− 33；
(2)如图3，
y=x+b交y轴于(0,b)，分两种情况：
①当直线l在⊙O的左上方时，记为直线l1，过圆心O作OQ1⊥l于点Q1，若Q1是直线l上⊙O的唯一“2倍关联点”，此时QM=2QN，
∵⊙O的半径为1，OQ1+1=2(OQ1−1)，
∴OQ1=3，
∵直线y=x+b，
∴C(−b,0)，D(0,b)．
∴OC=OD=b，
∴∠CDO=45°，
在Rt△ODQ1中，OQ1OD=sin45°,b=OD=OQ1sin45∘=3 2；
②当直线l在⊙O的右下方时，记为直线l2，过圆心O作OQ2⊥l2于点Q2.同①的方法求得b=−3 2．
综上，b的取值范围是−3 2(1)①根据“2倍关联点”的定义判断即可；
②过点P作P2C⊥AB于点C，当P2A=2P2C时，点P2是线段AB的“2倍关联点”，此时m的值最小，根据定义解直角三角形，即可求出m的值；
(2)由题得出y=x+b交y轴于(0,b)，分两种情况：①当直线l在⊙O的左上方时，记为直线l1，过圆心O作OQ⊥l于点Q1，若Q1是直线上⊙O的唯一“2倍关联点”，此时Q1M=2Q1N，得出OQ1=3，然后判定△ODQ1为等腰三角形，解直角三角形得出b=3 2；
②当直线l在⊙O的右下方时，记为直线l2，过圆心O作OQ2⊥l2于点Q2.同①的方法求得b=−3 2，即可求出b得取值范围．
本题主要考查了一次函数与圆的综合问题，“2倍关联点”的新定义下的运算，两点之间的距离公式，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．理解并会运用“2倍关联点”是解题的关键．温度t(℃)
…
−10
0
10
20
30
…
传播速度v(m/s)
…
324
330
336
342
348
…
统计量
型号
平均数
中位数
众数
极差
合格率
A型
504.8
m
508
11
30%
B型
504.8
505
505
8
60%
问题
鹅卵石的像到水面的距离
工具
纸、笔、计算器、测角仪等
图形
说明
根据实际问题画出示意图(如图)，鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为BN，且BN=CH，MN⊥NC于点N，MN⊥BH于点B，CH⊥BH于点H，点G在CH上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得sin∠ABMsin∠CBN=1.33．
数据
BN=3m，∠ABM=41.7°．
红
黄
绿
红
(红，红)
(红，黄)
(红，绿)
绿
(绿，红)
(绿，黄)
(绿，绿)