2024年甘肃省兰州市第五十六中学等校中考一模考试数学试题

这是一份2024年甘肃省兰州市第五十六中学等校中考一模考试数学试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．2020B．﹣2020C．D．﹣
2．（3分）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为（ ）
A．38.4×104kmB．3.84×105km
C．0.384×10 6kmD．3.84×106km
5．（3分）已知：在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，0），（0，3），将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是（2，﹣1），那么点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（2，3）C．（2，2）D．（1，2）
6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）父子二人并排竖直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.4米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是（ ）
A．127°B．108°C．126°D．125°
9．（3分）关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2B．m＝﹣2C．m＝5D．m＝﹣5
10．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与y2＝kx﹣1的图象的交点坐标为（﹣2，3），则关于x的不等式x+b≥kx﹣1的解集为（ ）
A．x≤﹣2B．x≥﹣2C．x≥3D．x≤3
11．（3分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②9a+c＞0；③ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4；④b：c＝1：4，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：a2b﹣4ab+4b＝ ．
14．（3分）如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，若S△ABC＝2，则k的值为 ．
15．（3分）如图，⊙O的直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，则劣弧AD的长为 ．
16．（3分）已知a、b实数且满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣12＝0，则a2+b2的值为 ．
三、解答题（共72分）
17．（4分）计算：（）﹣1﹣|﹣2|+2sin30°+（﹣）0．
18．（4分）化简：．
19．（4分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
20．（6分）先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图：
已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1．
求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．
小明的做法如下：
21．（6分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
22．（6分）随着冬奥会的闭幕，坐落于冬奥核心区的国家跳台滑雪中心——“雪如意”，成为本次冬奥会比赛场馆中最具标志性和辨识度的建筑物之一．该跳台滑雪中心设计灵感来源于中国的传统吉祥饰物“如意”，从跳台环形顶端，再到剖面线形和底部看台，与“如意”的S型曲线完美契合，因此被称为“雪如意”，既体现了体育建筑的动感，又凸显了中国文化元素．如图，是“雪如意”的侧面示意图，“雪如意”由顶峰俱乐部AC、滑道（包括助滑区DE和着陆坡EF）及看台区GF三部分构成（AC、GF均与水平面平行），其中BD⊥AC于点B，BD＝14m，DE＝109m，EF＝198m，从点E处测得点D处的仰角为26°，点F处的俯角为31°，求“雪如意”的高BH的长（结果精确到1m，sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.80）．
23．（6分）为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制）．制成如图不完整的统计图表：
表一
表二
根据以上信息回答下列问题：
（1）若抽取的学生成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：88 87 81 80 82 88 84 86
根据以上数据将表一和表二补充完整：a ；b ；
（2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在70≤x＜80这一组的扇形圆心角度数为 ；
（3）若成绩在80分以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？
24．（6分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
25．（6分）综合与实践
问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
模型建立：
（1）如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．
问题解决：
（2）求在距离水面2米处桥拱宽度．
（3）现有两宽为4米，高3米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．
26．（7分）如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D．
（1）求证：DA为⊙O的切线；
（2）若BD＝1，tan∠ABD＝2，求⊙O的半径．
27．（8分）如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．
【问题发现】
（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为 ，CN与PD的数量关系为 ．
【类比探究】
（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请写出线段CN的长并说明理由．
28．（9分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 ；
②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 ；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝ ；（用含c的式子表示）
②求此二次函数的表达式．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y＝x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为 ．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．2020B．﹣2020C．D．﹣
【解答】解：﹣的相反数是：．
故选：C．
2．（3分）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；
B为长方体，它的主视图应该为矩形；
C为圆台，它的主视图应该为梯形；
D为三棱柱，它的主视图应该为矩形．
故选：C．
3．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：＝2，不是最简二次根式；
＝，不是最简二次根式；
＝，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
故选：D．
4．（3分）2019年1月3日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为384000km，把384000km用科学记数法可以表示为（ ）
A．38.4×104kmB．3.84×105km
C．0.384×10 6kmD．3.84×106km
【解答】解：
科学记数法表示：384 000＝3.84×105km
故选：B．
5．（3分）已知：在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，0），（0，3），将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是（2，﹣1），那么点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（2，3）C．（2，2）D．（1，2）
【解答】解：∵A（1，0）的对应点A′的坐标为（2，﹣1），
∴平移规律为横坐标加1，纵坐标减1，
∵点B（0，3）的对应点为B′，
∴B′的坐标为（1，2）．
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵在△ABC中，DE∥BC，
∴＝，
∵，
∴＝，
∴＝＝；
故选：C．
7．（3分）父子二人并排竖直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.4米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是（ ）
A．127°B．108°C．126°D．125°
【解答】解：∵∠BOD＝108°，
∴∠A＝∠BOD＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°
故选：C．
9．（3分）关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2B．m＝﹣2C．m＝5D．m＝﹣5
【解答】解：，
5+2x﹣4＝﹣m，
2x＝﹣m+4﹣5，
2x＝﹣m﹣1，
x＝﹣，
∵方程有增根，
∴x＝2，
∴﹣＝2，
∴m＝﹣5，
故选：D．
10．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与y2＝kx﹣1的图象的交点坐标为（﹣2，3），则关于x的不等式x+b≥kx﹣1的解集为（ ）
A．x≤﹣2B．x≥﹣2C．x≥3D．x≤3
【解答】解：当x＞﹣2，函数y＝x+b的图象在函数y＝kx﹣1图象的上方，
所以关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为x≥﹣2．
故选：B．
11．（3分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【解答】解：连接BP．
∵四边形ABCD为正方形，面积为12，
∴正方形的边长为＝，
∵△ABE为等边三角形，
∴BE＝AB＝．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABP与△ADP关于AC对称．
∴PB＝PD．
∴PD+PE＝PB+PD≥BE．
∴PD+PE有最小值为BE＝．
故选：A．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②9a+c＞0；③ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4；④b：c＝1：4，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，结论①正确；
②∵抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴8a+c＝0，
∵a＞0，
∴9a+c＞0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，
∴ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4，结论③正确；
④∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣b，
∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴﹣2b﹣2b+c＝0，
∴4b＝c，
∴b：c＝1：4，结论④正确．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：a2b﹣4ab+4b＝ b（a﹣2）2 ．
【解答】解：a2b﹣4ab+4b＝b（a2﹣4a+4）＝b（a﹣2）2
故答案为：b（a﹣2）2
14．（3分）如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，若S△ABC＝2，则k的值为 ﹣4 ．
【解答】解：连接OA，
∵AC⊥y轴，
∴AC∥x轴，
∴S△AOC＝S△ABC＝2＝|k|，
又∵k＜0，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
15．（3分）如图，⊙O的直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，则劣弧AD的长为 ．
【解答】解：由圆周角定理得，∠BOD＝2∠BCD＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝60°，
∴劣弧AD的长＝＝，
故答案为：．
16．（3分）已知a、b实数且满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣12＝0，则a2+b2的值为 4 ．
【解答】解：设t＝a2+b2（t≥0）．由原方程得到t2﹣t﹣12＝0．
整理，得（t﹣4）（t+3）＝0．
所以t＝4或t＝﹣3（舍去）．
即a2+b2的值为4．
故答案为：4．
三、解答题（共72分）
17．（4分）计算：（）﹣1﹣|﹣2|+2sin30°+（﹣）0．
【解答】解：（）﹣1﹣|﹣2|+2sin30°+（﹣）0
＝3﹣2+2×+1
＝3﹣2+1+1
＝3．
18．（4分）化简：．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝x+9．
19．（4分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
20．（6分）先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图：
已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1．
求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．
小明的做法如下：
【解答】证明：如图3，
∵CF＝BD，DF＝BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形为平行四边形）．
故答案为CF＝BD，DF＝BC；两组对边分别相等的四边形为平行四边形．
21．（6分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入y1＝x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3；
把A（﹣2，1）代入y2＝（k≠0，x＜0）得k＝﹣2×1＝﹣2，
∴一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝﹣；
（2）由，解得或，
∴B点坐标为（﹣1，2），
设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
把y＝0代入求得x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴△AOB的面积＝△BOC的面积﹣△AOC的面积＝﹣＝．
22．（6分）随着冬奥会的闭幕，坐落于冬奥核心区的国家跳台滑雪中心——“雪如意”，成为本次冬奥会比赛场馆中最具标志性和辨识度的建筑物之一．该跳台滑雪中心设计灵感来源于中国的传统吉祥饰物“如意”，从跳台环形顶端，再到剖面线形和底部看台，与“如意”的S型曲线完美契合，因此被称为“雪如意”，既体现了体育建筑的动感，又凸显了中国文化元素．如图，是“雪如意”的侧面示意图，“雪如意”由顶峰俱乐部AC、滑道（包括助滑区DE和着陆坡EF）及看台区GF三部分构成（AC、GF均与水平面平行），其中BD⊥AC于点B，BD＝14m，DE＝109m，EF＝198m，从点E处测得点D处的仰角为26°，点F处的俯角为31°，求“雪如意”的高BH的长（结果精确到1m，sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.80）．
【解答】解：过点E分别作EM⊥DH于点M，EN⊥FH于点N，
则∠EFN＝31°，且四边形EMHN是矩形，
∴EN＝MH，
在Rt△DEM中，∠DEM＝26°，DE＝109米，
∴DM＝DE•sin∠DEM＝109×sin26°≈109×0.44＝47.96（米），
在Rt△EFN中，EF＝198米，
∴EN＝EF•sin∠EFN＝198×sin31°≈198×0.52＝102.96（米），
∴EN＝MH＝102.96米，
∴BH＝BD+DM+MH＝14+47.96+102.96＝164.92≈165（米），
∴“雪如意”BH的高度约为165m．
23．（6分）为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制）．制成如图不完整的统计图表：
表一
表二
根据以上信息回答下列问题：
（1）若抽取的学生成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：88 87 81 80 82 88 84 86
根据以上数据将表一和表二补充完整：a 5 ；b 81.5 ；
（2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在70≤x＜80这一组的扇形圆心角度数为 90° ；
（3）若成绩在80分以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？
【解答】解：（1）根据抽取的60≤x＜70为2人，在扇形中所占比例为10%，求得总抽取人数为2÷10%＝20人．因此a＝20﹣1﹣2﹣8﹣4＝5．根据中位数定义，在所有抽取的20人中，中位数是排名第10和第11两位同学成绩的平均数，因此只需找到排名第10和第11的两位同学即可．根据图表一得知，排名第10和第11的两位同学在80≤x＜90范围当中，80≤x＜90范围之前已有8名同学，因此在80≤x＜90范围中找寻排名第二和第三的即可．将80≤x＜90这一组的数据进行从小到大排列，得到：80 81 82 84 86 87 88 88．因此第10名为8（1分），第11名为8（2分），因此中位数b＝（81+82）÷2＝81.5．
（2）70≤x＜80这一范围共有5人，占抽取总人数的比例为5÷20＝25%，因此对应圆心角的度数为：360°×25%＝90°．
（3）根据图表一，成绩在8（0分）以上的同学共有8+4＝12人，占抽取总人数的比例为12÷20＝60%，因此该校九年级一共有300×60%＝180名学生的体质达标．
24．（6分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF∥AB，
∴∠ABC＝∠DFC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠FDH＝30°，
∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠HDC＝45°，
∴DC＝DH＝DF＝6，
∴DF＝2，
∴菱形BEDF的边长为2．
25．（6分）综合与实践
问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
模型建立：
（1）如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．
问题解决：
（2）求在距离水面2米处桥拱宽度．
（3）现有两宽为4米，高3米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，点O和点A的坐标分别为（0，0）和（20，0），
∵B为函数顶点，
∴B（10，4），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵顶点B（10，4），
∴y＝a（x﹣10）2+4，
再将O（0，0）代入解析式可得，a（0﹣10）2+4＝0，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由题意得，令y＝2可得，，
解得，
∴桥拱宽度为：（米）
（3）两小舟能同时从桥下穿过，理由如下：
∵两小舟的高均为3米，
∴当y＝3时，，
解得x1＝15，x2＝5，
∴最大能通行的宽度为：15﹣5＝10（米），
∵两小周宽为4米，
∴10＞4+4＝8，
∴两小舟能同时从桥下穿过．
26．（7分）如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D．
（1）求证：DA为⊙O的切线；
（2）若BD＝1，tan∠ABD＝2，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OA；
∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB＝∠BAC＝90°，∠DBA＝∠CBA；
∵∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAO＝∠DAB+∠BAO＝∠BAO+∠OAC＝90°，
∴DA为⊙O的切线．
（2）解：∵BD＝1，tan∠ABD＝2，
∴AD＝2，
∴AB＝＝＝，
∴cs∠DBA＝；
∵∠DBA＝∠CBA，
∴BC＝＝＝5．
∴⊙O的半径为2.5．
27．（8分）如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．
【问题发现】
（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为 BM＝PD ，CN与PD的数量关系为 CN＝PD ．
【类比探究】
（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请写出线段CN的长并说明理由．
【解答】解：（1）BM＝PD，，理由如下：
当n＝1，则AD＝AB，AP＝AM，
∴AD﹣AP＝AB﹣AM，
∴DP＝BM，
∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，
∴AD＝CD＝AB，AP＝AM＝NP，∠ADC＝∠APN＝90°，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：BM＝PD，；
（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，，理由如下：
如图（1）在矩形ABCD和矩形AMNP中，
∵当n＝2时，AD＝2AB，AP＝2AM，
∴，，
∴，
如图（3），连接AC，
∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，
∴∠NAC＝∠PAD，
∴△ANC∽△APD，
∴＝＝，
∴CN＝PD；
（3）线段CN的长为或．理由如下：
如图3.1，当点N在线段CM上时，
∵AD＝4，AD＝2AB，
∴AB＝CD＝2，
∴AC＝＝＝，
∵AP＝2，AP＝2AM，
∴AM＝1，
∴CM＝＝＝，
∴CN＝CM﹣MN＝﹣2；
如图3.2，当点M在线段CN上时，
同理可求CM＝，
∴CN＝CM+MN＝+2；
综上所述：线段CN的长为﹣2或+2．
28．（9分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 2 ；
②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 4 ；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝ ﹣c ；（用含c的式子表示）
②求此二次函数的表达式．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y＝x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为 1+2 ．
【解答】解：（1）①点A（1，3）的“坐标差”为＝3﹣1＝2，
故答案为2；
②设P（x，y）为抛物线y＝﹣x2+3x+3上一点，
坐标差＝﹣x2+2x+3，＝﹣（x﹣1）2+4，最大值为4，
所以抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为4
故答案为4．
（2）①由题意：0﹣m＝c﹣0，可得m＝﹣c．
②∵C（0，c），
又∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴B（﹣c，0），
把（﹣c，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得到：0＝﹣c2﹣bc+c，
∴c＝1﹣b，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1
所以y﹣x＝﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，
∴＝﹣1，
解得b＝3，
∴c＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x﹣2．
故答案为﹣c．
（3）如图，设M（2，3），作MK⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．
作TF⊥x轴于E交MJ于F．
易知△TMF是等腰直角三角形，
∵TF＝FM＝，EF＝KM＝3，EK＝FK＝M＝，
∴OE＝OK﹣EK＝2﹣，TE＝3+，
半径为2的圆的“特征值”为3+﹣（2﹣）＝1+2 ．
故答案为1+2．（1）设计方案
先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法．
（2）设计作图步骤，完成作图．
作法：如图3，
①以点C为圆心、BD为半径画弧；
②再以点D为圆心、BC为半径画弧，两弧交于点F；
③连接DF与CF．
∴四边形DBCF即为所求．
请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹
（3）推理论证
证明：∵ ，
∴四边形DBCF是平行四边形．（ ）（填推理依据）
成绩x
X＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
1
2
a
8
4
统计量
平均数
中位数
众数
成绩
79.7
b
72
（1）设计方案
先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法．
（2）设计作图步骤，完成作图．
作法：如图3，
①以点C为圆心、BD为半径画弧；
②再以点D为圆心、BC为半径画弧，两弧交于点F；
③连接DF与CF．
∴四边形DBCF即为所求．
请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹
（3）推理论证
证明：∵ CF＝BD ， DF＝BC
∴四边形DBCF是平行四边形．（ 两组对边分别相等的四边形为平行四边形 ）（填推理依据）
成绩x
X＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
1
2
a
8
4
统计量
平均数
中位数
众数
成绩
79.7
b
72