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2024年甘肃省武威二十六中教研联片中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2024年甘肃省武威二十六中教研联片中考数学二模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−2024的倒数是( )
A. −2024B. 2024C. −12024D. 12024
2.下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.在代数式x2+5，−1，x2−3x+2，π，5x，x2+1x+1中，整式有( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
4.把不等式x−4≤3x的解集在数轴上表示出来，则正确的是( )
A. B.
C. D.
5.正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和是( )
A. 1080°B. 720°C. 360°D. 1800°
6.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为
( )
A. ( 3,1)B. (2,1)C. (1, 3)D. (2, 3)
7.如图，在⊙O中，∠ABC=60°，则∠AOC的大小是( )
A. 30°
B. 120°
C. 135°
D. 150°
8.如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是( )
A. ∠B=∠ACD
B. ∠ADC=∠ACB
C. ACCD=ABBC
D. AC2=AD⋅AB
9.如右图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=2 3，则BC的长为( )
A. π
B. 2π
C. 43π
D. 32π
10.如图，已知点P(6,3)，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=kx的图象交PM于点A，交PN于点B.若四边形OAPB的面积为12，则k的值为( )
A. 6
B. −6
C. 12
D. −1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.多项式36x2−3x+5与3x3+12mx2−5x+7相加后，不含二次项，则常数m的值是______．
12.如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP//OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于______．
13.若关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=5x+2无解，则m的值为______．
14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长为______．
15.二次函数y=−(x−6)2+8的最大值是______．
16.分解因式：a3−25a=______．
17.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=8，EB=2，则⊙O的半径为______．
18.如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，它的主视图的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：2sin60°+ 12+|−2023|−(π+ 2)0；
(2)解方程：x−1x+1−3x2−1=1．
20.(本小题6分)
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画出BC边上的中线AD．
(2)在图②中，画出AC边上的点E，使得AEEC=13．
(3)在图③中，画出AB边上的高CF．
21.(本小题6分)
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？
22.(本小题6分)
有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字−1，−2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M的坐标为(x,y)．
(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
(2)求点M(x,y)在函数y=−x+1的图象上的概率．
23.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AC=BD，AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH．
24.(本小题8分)
如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．
25.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，连结BD，过点O作OF⊥AD于点E，交CD于点F．
(1)求证：∠ADC=∠AOF；
(2)若sinC=13，BD=8，求OF的长．
26.(本小题8分)
如图，△ABC中，AC=8，BC=10，CD是⊙O直径，且平分∠ACB，BC交⊙O于点E，BD是⊙O的切线．
(1)求BE的长；
(2)求⊙O直径CD和tan∠ACD的值．
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q，连接BP，当S△PBQS△OBQ=12时，求点P的坐标；
(3)点M为抛物线上的点，当∠BCM=∠ACO时，直接写出点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵−2024=−12024，
故选：C．
根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选B．
3.【答案】B
【解析】解：5x和x2+1x+1分母中含有未知数，则不是整式，其余的都是整式．
故选：B．
根据整式的定义进行解答．
本题重点对整式定义的考查：整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．
4.【答案】B
【解析】解：x−4≤3x，
移项得x−3x≤4，
合并同类项得−2x≤4，
把未知数系数化为1得x≥−2，
表示在数轴上如下：
故选：B．
根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再表示在数轴上即可．
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．
5.【答案】D
【解析】解：正多边形每个内角的度数为360°÷30°=12，
180°×(12−2)
=180°×10
=1800°．
故答案为：D．
先求出正多边形的边数，再根据多边形的内角和公式即可得出答案．
本题主要考查多边形的内角和外角，根据正多边形的外角求出正多边形的边数是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确识别图形是解题的关键．由已知条件得到AD′=AD=2，AO=12AB=1，根据勾股定理得到OD′= AD′2−OA2= 3，于是得到结论．
【解答】
解：∵AD′=AD=2，AO=12AB=1，
∴OD′= AD′2−OA2= 3 ，
∵C′D′=2，C′D′//AB，点C′在第一象限内，
∴点C′的坐标为(2， 3).
故选D．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠AOC和∠ABC都对AC，
∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．
故选：B．
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD⋅AB，即ACAD=ABAC，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选：C．
根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
9.【答案】C
【解析】解：连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于D，
则BD=DC=12BC= 3，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴OB=BDcs∠OBD=2，
∴BC的长=120π×2180=43π，
故选：C．
连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于D，根据垂径定理求出BD，根据圆周角定理求出∠BOC，根据余弦的定义求出OB，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、弧长的计算、垂径定理的应用，掌握圆周角定理、垂径定理、弧长公式是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴四边形OMPN是矩形，
又∵P(6,3)，
∴PM=3，PN=6，
∴S矩形OMPN=PM⋅PN=18，
∵点A、B在反比例函数y=kx的图象上，
∴S△ONB=S△OMA=12|k|
∵S四边形OAPB=S四边形OMPN−S△OMA−S△ONB=12，
即18−|k|=12，
∵k>0，
∴k=6，
故选：A．
根据反比例函数系数k的几何意义，利用S四边形OAPB=S四边形OMPN−S△OMA−S△ONB，即可解决问题．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是学会用方程的思想思考问题．
11.【答案】−3
【解析】解：因为多项式36x2−3x+5与3x3+12mx2−5x+7相加后，
所以36x2−3x+5+3x3+12mx2−5x+7=3x3+(12m+36)x2−8x+12，
所以不含二次项
所以12m+36=0，
解得：m=−3．
故答案为：−3．
直接利用整式的加减运算法则合并，因二次项系数为零，进而得出答案．
此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
12.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质以及角平分线的性质．
过点P作PE⊥OA，可得出∠PCE=30°，在直角三角形中，由直角三角形的性质得出PE的长，再由角平分线的性质求得PD的长．
【解答】
解：过点P作PE⊥OA，
∵PC//OB，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OB，
∴PD=PE，
∵PC=4，∠ECP=30°，
∴PE=12PC=2，
∴PD=2．
故答案为2．
13.【答案】10或−4或3
【解析】解：(1)x=−2为原方程的增根，
此时有2(x+2)+mx=5(x−2)，即2×(−2+2)−2m=5×(−2−2)，
解得m=10；
(2)x=2为原方程的增根，
此时有2(x+2)+mx=5(x−2)，即2×(2+2)+2m=5×(2−2)，
解得m=−4．
(3)方程两边都乘(x+2)(x−2)，
得2(x+2)+mx=5(x−2)，
化简得：(m−3)x=−14．
当m=3时，整式方程无解．
综上所述，当m=10或m=−4或m=3时，原方程无解．
故答案为：10或−4或3．
分式方程无解的情况有两种：(1)原方程存在增根；(2)原方程约去分母后，整式方程无解．
本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
14.【答案】3.5
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵AB+BC+CD+DA=28，
∴AD=7，
∵E为AD边中点，
∴OE=12AD=3.5；
故答案为：3.5．
由菱形的四边相等求出边长，再根据对角线互相垂直得出∠AOD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：二次函数y=−(x−6)2+8，
∵a=−1<0，
∴y有最大值，
当x=6时，y有最大值，最大值是8．
故答案为：8．
利用二次函数的性质解决问题．
本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
16.【答案】a(a+5)(a−5)
【解析】解：原式=a(a2−25)
=a(a+5)(a−5)．
故答案为：a(a+5)(a−5)．
首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17.【答案】5
【解析】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE=R−2，
∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴CE=12CD=4，
由勾股定理得，OC2=OE2+CE2，即R2=(R−2)2+42，
解得，R=5，
则⊙O的半径为5，
故答案为：5．
连接OC，设⊙O的半径为R，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理列式计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
18.【答案】5
【解析】解：主视图如图所示，
∵由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，
∴主视图的面积为5×12=5，
故答案为5．
根据立体图形画出它的主视图，再求出面积．
此题是简单组合体的三视图，主要考查了立体图的主视图，解本题的关键是画出它的主视图．
19.【答案】解：(1)2sin60°+ 12+|−2023|−(π+ 2)0
=2× 32+2 3+2023−1
= 3+2 3+2023−1
=3 3+2022．
(2)x−1x+1−3x2−1=1
两边都乘以(x+1)(x−1)得，(x−1)2−3=(x+1)(x−1)，
整理得，−2x=1，
解得，x=−12，
当x=−12时，(x+1)(x−1)=−34≠0，
∴原方程的解为x=−12．
【解析】(1)代入特殊角的三角函数值后，按照实数的运算法则和顺序进行计算即可；
(2)两边都乘以(x+1)(x−1)化为整式方程，求得x=−12，检验后得到分式方程的解．
此题考查了实数的混合运算和解分式方程，熟练掌握二次根式的混合运算和分式方程解法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1所示，线段AD即为所求；
(2)如图2所示，取格点G、H，连接GH交AC于E，点E即为所求；
由作图得△AEG∽△CEH，
∴AECE=AGCH=13；
(3)如图2所示，取格点I，连接CI交AB于F，线段CF即为所求．
【解析】(1)取BC于格线的交点D，连接AD，线段AD即为所求；
(2)如图所示，取格点G、H，连接GH交AC于E，点E即为所求；
(3)如图所示，取格点D，连接CD交AB于F，线段CF即为所求．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，画三角形的高和中线等等：
21.【答案】解：设买件衬衫应降价x元，
由题意得：(40−x)(20+2x)=1200，
即2x2−60x+400=0，
∴x2−30x+200=0，
∴(x−10)(x−20)=0，
解得：x=10或x=20
为了减少库存，所以x=20．
故买件衬衫应应降价20元．
【解析】设买件衬衫应降价x元，那么就多卖出2x件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每天在销售吉祥物上盈利1200元，可列方程求解．
本题考查一元二次方程的应用，理解题意的能力，关键是看到降价和销售量的关系，然后根据利润可列方程求解．
22.【答案】(1)解：列表如下：
共有9种等可能出现的结果：(0,−1)、(0,−2)、(0,0)、(1,−1)、(1,−2)、(1,0)、(2,−1)、(2,−2)、(2,0)．
(2)由(1)可知，满足点M(x,y)在函数y=x+1的图象上的结果有2种，
∴点M(x,y)在函数y=x+1的图象上的概率为P=29．
【解析】(1)利用列表法列举点M所有可能的坐标，再求出点M落在第四象限的可能的结果数；
(2)利用概率公式计算即可．
此题考查了用列表或画树状图的方法求随机事件的概率，熟练掌握列表法或画树状图的方法是解答此题的关键．
23.【答案】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF//BD，MF=12BD，
同理：ME//AC，ME=12AC，
∵AC=BD，
∴ME=MF，
∴∠MEF=∠MFE，
∵MF//BD，
∴∠MFE=∠OGH，
同理∠MEF=∠OHG，
∴∠OGH=∠OHG，
∴OG=OH．
【解析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF=∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH=∠OHG，根据等角对等边即可证得．
本题考查了三角形的中位线定理，正确证明△EMF是等腰三角形是关键．
24.【答案】 解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
{∠B=∠D∠BAC=∠DACAC=AC,
∴△ABC≌△ADC(AAS)；
(2)由(1)知：△ABC≌△ADC，
∴BC=DC=3，S△ABC=S△ADC，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12×4×3=6，
∴S△ADC=6，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12．
答：四边形ABCD的面积是12．
【解析】【分析】
(1)由AC平分∠BAD，得∠BAC=∠DAC，由CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B=∠D=90°，由AAS可得△ABC≌△ADC；
(2)由(1)知△ABC≌△ADC，得BC=DC=3，S△ABC=S△ADC，求出S△ABC=12AB⋅BC=6，即可得四边形ABCD的面积是12．
【解答】
解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
{∠B=∠D∠BAC=∠DACAC=AC,
∴△ABC≌△ADC(AAS)；
(2)由(1)知：△ABC≌△ADC，
∴BC=DC=3，S△ABC=S△ADC，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12×4×3=6，
∴S△ADC=6，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12．
答：四边形ABCD的面积是12．
【点评】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
25.【答案】(1)证明：连结OD，
∵CD是⊙O的切线，D是切点，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，
∴∠ADC+∠ADO=90°，
∵OF⊥AD于点E，
∴∠OEA=90°，
∴∠AOF+∠DAO=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ADC=∠AOF；
(2)解：设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，
∵sinC=ODOC=13，
∴OC=3r，BC=4r，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OF⊥AD于点E
，∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
∴OF//BD，
∴△CFO∽△CDB，
∴OFBD=OCBC，
∴OF8=3r4r，
∴OF=6．
【解析】(1)由切线的性质得到∠ADC+∠ADO=90°，由垂直的定义得到∠AOF+∠DAO=90°，由等腰三角形的性质得到∠ODA=∠DAO，由余角的性质即可证明问题；
(2)设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，由sinC=ODOC=13，得到OC=3r，BC=4r，由圆周角定理，垂直的定义可以证明OF//BD，得到△CFO∽△CDB，因此OFBD=OCBC，代入有关数据即可求出OF的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，余角的性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
26.【答案】解：(1)连接DE，AD，
∵CD是直径，
∴∠DAC=∠DEC=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴DA=DE，
∵CD=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△DAC(HL)，
∴CE=AC=8，
∴BE=BC−CE=10−8=2；
(2)∵BD是⊙O的切线，
∴∠BDC=90°，
∵∠BDE+∠CDE=∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠BDE=∠DCE，
∵∠BED=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DCE，
∴BEDE=DEEC，
∴DE2=BE⋅EC=2×8=16，
∴DE=AD=4，
∴CD2=DE2+EC2=42+82，
∴⊙O的直CD=4 5，
∴tan∠ACD=ADAC=48=12．
【解析】(1))连接DE，AD，由HL证明Rt△DEC≌Rt△DAC，得到CE=AC，即可求出EB的长；
(2)由△BDE∽△DCE，求出DE的长，由勾股定理即可求出CD的长，由锐角的正切即可求出tan∠ACD的值．
本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
27.【答案】解：(1)∵抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点，
∴−2−2b+c=0−8+4b+c=0，
∴b=1c=4，
∴y=−12x2+x+4；
(2)如图1，
∵S△PBQS△OBQ=12，
∴PQOQ=12，
作PD//y轴，交BC于D，
∴PDOC=PQOQ=12，
∵OC=4，
∴PD=2，
∵B(4,0)，C (0,4)，
∴直线BC的解析式为y=−x+4，
设P(m,−12m2+m+4)，则D(m,−m+4)，
∴PD=(−12m2+m+4)−(−x+4)=−12m2+2m=2，
∴m1=m2=2，
当m=2时，y=−12×22+2+4=4，
∴P(2,4)；
(3)如图2，
设CM交x轴与D，作DG⊥CM，交直线AC于G，过点D作EF//y轴，作CE⊥EF于E，作GF⊥EF于F，
∵∠ACO=∠BCM，
∴∠ACO+∠DCO=∠BCM+∠DCO=45°，
∴∠ACD=45°，
∴∠CGD=90°−∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠CGD，
∴CD=DG，
∵∠CDG=90°，
∴∠CDE+∠GDF=90°，
∵∠E=∠F=90°，
∴∠GDF+∠DGF=90°，
∴∠CDE=∠DGF，
∴△CDE≌△DGF(AAS)，
∴FG=DE=4，DF=CE，
设OD=a，
∴DF=CE=OD=a，
∴G(a−4,−a)，
∵C(0,4)，A(−2,0)，
∴直线AC的解析式为y=2x+4，
∴2(a−4)+4=−a，
∴a=43，
∴D(43,0)，
∴直线CM的解析式为y=−3x+4，
由−3x+4=−12x2+x+4得，
x1=0(舍去)，x2=8，
当x=8时，y=−3×8+4=−20，
∴M1(8,−20)，
如图3，
设射线CM交x轴于T，
∵OC=OB=4，∠BOC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
由上知：tan∠OCD=ODOC=13，∠BCD=∠ACO，∠BCD+∠OCD=45°，
∵∠BCM+∠CTB=∠OBC=45°，∠CBM=∠ACO，
∴∠CTB=∠OCD，
∴tan∠CTB=13，
∴OCOT=13，
∴OT=3OC=12，
∴直线CT的解析式为y=−13x+4，
由−13x+14=−12x2+x+4得，
x1=0(舍去)，x2=83，
当x=83时，y=−13×83+4=289，
∴M2(83,289)，
综上所述：M(8,−20)或(83,289)．
【解析】(1)根据交点式直接得出结果；
(2)作PD//y轴，交BC于D，先求得PQOQ=12，根据PD//OC得出PD=2，设出点P的坐标，表示出点D的坐标，进而表示出PD，从而得出方程，进一步得出结果；
(3)当∠BCM在BC的下方时，设CM交x轴与D，作DG⊥CM，交直线AC于G，过点D作EF//y轴，作CE⊥EF于E，作GF⊥EF于F，可推出∠ACD=45°，可推出△CDE≌△DGF，进而表示出点G的坐标，将其代入直线AC的解析式，从而求得点D的坐标，进一步得出结果；当AM在直线BC上方时，借助∠BCM在BC上方时的结果，得出CM与x轴夹角的锐角的正切值为13，进一步得出结果．
本题考查了求二次函数、一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．(x,y)
0
1
2
−1
(0,−1)
(1,−1)
(2,−1)
−2
(0,−2)
(1,−2)
(2,−2)
0
(0,0)
(1,0)
(2,0)
1.−2024的倒数是( )
A. −2024B. 2024C. −12024D. 12024
2.下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.在代数式x2+5，−1，x2−3x+2，π，5x，x2+1x+1中，整式有( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
4.把不等式x−4≤3x的解集在数轴上表示出来，则正确的是( )
A. B.
C. D.
5.正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和是( )
A. 1080°B. 720°C. 360°D. 1800°
6.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为
( )
A. ( 3,1)B. (2,1)C. (1, 3)D. (2, 3)
7.如图，在⊙O中，∠ABC=60°，则∠AOC的大小是( )
A. 30°
B. 120°
C. 135°
D. 150°
8.如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是( )
A. ∠B=∠ACD
B. ∠ADC=∠ACB
C. ACCD=ABBC
D. AC2=AD⋅AB
9.如右图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=2 3，则BC的长为( )
A. π
B. 2π
C. 43π
D. 32π
10.如图，已知点P(6,3)，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=kx的图象交PM于点A，交PN于点B.若四边形OAPB的面积为12，则k的值为( )
A. 6
B. −6
C. 12
D. −1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.多项式36x2−3x+5与3x3+12mx2−5x+7相加后，不含二次项，则常数m的值是______．
12.如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP//OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于______．
13.若关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=5x+2无解，则m的值为______．
14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长为______．
15.二次函数y=−(x−6)2+8的最大值是______．
16.分解因式：a3−25a=______．
17.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=8，EB=2，则⊙O的半径为______．
18.如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，它的主视图的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：2sin60°+ 12+|−2023|−(π+ 2)0；
(2)解方程：x−1x+1−3x2−1=1．
20.(本小题6分)
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画出BC边上的中线AD．
(2)在图②中，画出AC边上的点E，使得AEEC=13．
(3)在图③中，画出AB边上的高CF．
21.(本小题6分)
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？
22.(本小题6分)
有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字−1，−2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M的坐标为(x,y)．
(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
(2)求点M(x,y)在函数y=−x+1的图象上的概率．
23.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AC=BD，AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH．
24.(本小题8分)
如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．
25.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，连结BD，过点O作OF⊥AD于点E，交CD于点F．
(1)求证：∠ADC=∠AOF；
(2)若sinC=13，BD=8，求OF的长．
26.(本小题8分)
如图，△ABC中，AC=8，BC=10，CD是⊙O直径，且平分∠ACB，BC交⊙O于点E，BD是⊙O的切线．
(1)求BE的长；
(2)求⊙O直径CD和tan∠ACD的值．
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q，连接BP，当S△PBQS△OBQ=12时，求点P的坐标；
(3)点M为抛物线上的点，当∠BCM=∠ACO时，直接写出点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵−2024=−12024，
故选：C．
根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选B．
3.【答案】B
【解析】解：5x和x2+1x+1分母中含有未知数，则不是整式，其余的都是整式．
故选：B．
根据整式的定义进行解答．
本题重点对整式定义的考查：整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．
4.【答案】B
【解析】解：x−4≤3x，
移项得x−3x≤4，
合并同类项得−2x≤4，
把未知数系数化为1得x≥−2，
表示在数轴上如下：
故选：B．
根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再表示在数轴上即可．
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．
5.【答案】D
【解析】解：正多边形每个内角的度数为360°÷30°=12，
180°×(12−2)
=180°×10
=1800°．
故答案为：D．
先求出正多边形的边数，再根据多边形的内角和公式即可得出答案．
本题主要考查多边形的内角和外角，根据正多边形的外角求出正多边形的边数是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确识别图形是解题的关键．由已知条件得到AD′=AD=2，AO=12AB=1，根据勾股定理得到OD′= AD′2−OA2= 3，于是得到结论．
【解答】
解：∵AD′=AD=2，AO=12AB=1，
∴OD′= AD′2−OA2= 3 ，
∵C′D′=2，C′D′//AB，点C′在第一象限内，
∴点C′的坐标为(2， 3).
故选D．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠AOC和∠ABC都对AC，
∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．
故选：B．
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD⋅AB，即ACAD=ABAC，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选：C．
根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
9.【答案】C
【解析】解：连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于D，
则BD=DC=12BC= 3，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴OB=BDcs∠OBD=2，
∴BC的长=120π×2180=43π，
故选：C．
连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于D，根据垂径定理求出BD，根据圆周角定理求出∠BOC，根据余弦的定义求出OB，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、弧长的计算、垂径定理的应用，掌握圆周角定理、垂径定理、弧长公式是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴四边形OMPN是矩形，
又∵P(6,3)，
∴PM=3，PN=6，
∴S矩形OMPN=PM⋅PN=18，
∵点A、B在反比例函数y=kx的图象上，
∴S△ONB=S△OMA=12|k|
∵S四边形OAPB=S四边形OMPN−S△OMA−S△ONB=12，
即18−|k|=12，
∵k>0，
∴k=6，
故选：A．
根据反比例函数系数k的几何意义，利用S四边形OAPB=S四边形OMPN−S△OMA−S△ONB，即可解决问题．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是学会用方程的思想思考问题．
11.【答案】−3
【解析】解：因为多项式36x2−3x+5与3x3+12mx2−5x+7相加后，
所以36x2−3x+5+3x3+12mx2−5x+7=3x3+(12m+36)x2−8x+12，
所以不含二次项
所以12m+36=0，
解得：m=−3．
故答案为：−3．
直接利用整式的加减运算法则合并，因二次项系数为零，进而得出答案．
此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
12.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质以及角平分线的性质．
过点P作PE⊥OA，可得出∠PCE=30°，在直角三角形中，由直角三角形的性质得出PE的长，再由角平分线的性质求得PD的长．
【解答】
解：过点P作PE⊥OA，
∵PC//OB，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OB，
∴PD=PE，
∵PC=4，∠ECP=30°，
∴PE=12PC=2，
∴PD=2．
故答案为2．
13.【答案】10或−4或3
【解析】解：(1)x=−2为原方程的增根，
此时有2(x+2)+mx=5(x−2)，即2×(−2+2)−2m=5×(−2−2)，
解得m=10；
(2)x=2为原方程的增根，
此时有2(x+2)+mx=5(x−2)，即2×(2+2)+2m=5×(2−2)，
解得m=−4．
(3)方程两边都乘(x+2)(x−2)，
得2(x+2)+mx=5(x−2)，
化简得：(m−3)x=−14．
当m=3时，整式方程无解．
综上所述，当m=10或m=−4或m=3时，原方程无解．
故答案为：10或−4或3．
分式方程无解的情况有两种：(1)原方程存在增根；(2)原方程约去分母后，整式方程无解．
本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
14.【答案】3.5
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵AB+BC+CD+DA=28，
∴AD=7，
∵E为AD边中点，
∴OE=12AD=3.5；
故答案为：3.5．
由菱形的四边相等求出边长，再根据对角线互相垂直得出∠AOD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：二次函数y=−(x−6)2+8，
∵a=−1<0，
∴y有最大值，
当x=6时，y有最大值，最大值是8．
故答案为：8．
利用二次函数的性质解决问题．
本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
16.【答案】a(a+5)(a−5)
【解析】解：原式=a(a2−25)
=a(a+5)(a−5)．
故答案为：a(a+5)(a−5)．
首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17.【答案】5
【解析】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE=R−2，
∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴CE=12CD=4，
由勾股定理得，OC2=OE2+CE2，即R2=(R−2)2+42，
解得，R=5，
则⊙O的半径为5，
故答案为：5．
连接OC，设⊙O的半径为R，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理列式计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
18.【答案】5
【解析】解：主视图如图所示，
∵由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，
∴主视图的面积为5×12=5，
故答案为5．
根据立体图形画出它的主视图，再求出面积．
此题是简单组合体的三视图，主要考查了立体图的主视图，解本题的关键是画出它的主视图．
19.【答案】解：(1)2sin60°+ 12+|−2023|−(π+ 2)0
=2× 32+2 3+2023−1
= 3+2 3+2023−1
=3 3+2022．
(2)x−1x+1−3x2−1=1
两边都乘以(x+1)(x−1)得，(x−1)2−3=(x+1)(x−1)，
整理得，−2x=1，
解得，x=−12，
当x=−12时，(x+1)(x−1)=−34≠0，
∴原方程的解为x=−12．
【解析】(1)代入特殊角的三角函数值后，按照实数的运算法则和顺序进行计算即可；
(2)两边都乘以(x+1)(x−1)化为整式方程，求得x=−12，检验后得到分式方程的解．
此题考查了实数的混合运算和解分式方程，熟练掌握二次根式的混合运算和分式方程解法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1所示，线段AD即为所求；
(2)如图2所示，取格点G、H，连接GH交AC于E，点E即为所求；
由作图得△AEG∽△CEH，
∴AECE=AGCH=13；
(3)如图2所示，取格点I，连接CI交AB于F，线段CF即为所求．
【解析】(1)取BC于格线的交点D，连接AD，线段AD即为所求；
(2)如图所示，取格点G、H，连接GH交AC于E，点E即为所求；
(3)如图所示，取格点D，连接CD交AB于F，线段CF即为所求．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，画三角形的高和中线等等：
21.【答案】解：设买件衬衫应降价x元，
由题意得：(40−x)(20+2x)=1200，
即2x2−60x+400=0，
∴x2−30x+200=0，
∴(x−10)(x−20)=0，
解得：x=10或x=20
为了减少库存，所以x=20．
故买件衬衫应应降价20元．
【解析】设买件衬衫应降价x元，那么就多卖出2x件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每天在销售吉祥物上盈利1200元，可列方程求解．
本题考查一元二次方程的应用，理解题意的能力，关键是看到降价和销售量的关系，然后根据利润可列方程求解．
22.【答案】(1)解：列表如下：
共有9种等可能出现的结果：(0,−1)、(0,−2)、(0,0)、(1,−1)、(1,−2)、(1,0)、(2,−1)、(2,−2)、(2,0)．
(2)由(1)可知，满足点M(x,y)在函数y=x+1的图象上的结果有2种，
∴点M(x,y)在函数y=x+1的图象上的概率为P=29．
【解析】(1)利用列表法列举点M所有可能的坐标，再求出点M落在第四象限的可能的结果数；
(2)利用概率公式计算即可．
此题考查了用列表或画树状图的方法求随机事件的概率，熟练掌握列表法或画树状图的方法是解答此题的关键．
23.【答案】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF//BD，MF=12BD，
同理：ME//AC，ME=12AC，
∵AC=BD，
∴ME=MF，
∴∠MEF=∠MFE，
∵MF//BD，
∴∠MFE=∠OGH，
同理∠MEF=∠OHG，
∴∠OGH=∠OHG，
∴OG=OH．
【解析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF=∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH=∠OHG，根据等角对等边即可证得．
本题考查了三角形的中位线定理，正确证明△EMF是等腰三角形是关键．
24.【答案】 解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
{∠B=∠D∠BAC=∠DACAC=AC,
∴△ABC≌△ADC(AAS)；
(2)由(1)知：△ABC≌△ADC，
∴BC=DC=3，S△ABC=S△ADC，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12×4×3=6，
∴S△ADC=6，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12．
答：四边形ABCD的面积是12．
【解析】【分析】
(1)由AC平分∠BAD，得∠BAC=∠DAC，由CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B=∠D=90°，由AAS可得△ABC≌△ADC；
(2)由(1)知△ABC≌△ADC，得BC=DC=3，S△ABC=S△ADC，求出S△ABC=12AB⋅BC=6，即可得四边形ABCD的面积是12．
【解答】
解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
{∠B=∠D∠BAC=∠DACAC=AC,
∴△ABC≌△ADC(AAS)；
(2)由(1)知：△ABC≌△ADC，
∴BC=DC=3，S△ABC=S△ADC，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12×4×3=6，
∴S△ADC=6，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12．
答：四边形ABCD的面积是12．
【点评】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
25.【答案】(1)证明：连结OD，
∵CD是⊙O的切线，D是切点，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，
∴∠ADC+∠ADO=90°，
∵OF⊥AD于点E，
∴∠OEA=90°，
∴∠AOF+∠DAO=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ADC=∠AOF；
(2)解：设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，
∵sinC=ODOC=13，
∴OC=3r，BC=4r，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OF⊥AD于点E
，∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
∴OF//BD，
∴△CFO∽△CDB，
∴OFBD=OCBC，
∴OF8=3r4r，
∴OF=6．
【解析】(1)由切线的性质得到∠ADC+∠ADO=90°，由垂直的定义得到∠AOF+∠DAO=90°，由等腰三角形的性质得到∠ODA=∠DAO，由余角的性质即可证明问题；
(2)设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，由sinC=ODOC=13，得到OC=3r，BC=4r，由圆周角定理，垂直的定义可以证明OF//BD，得到△CFO∽△CDB，因此OFBD=OCBC，代入有关数据即可求出OF的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，余角的性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
26.【答案】解：(1)连接DE，AD，
∵CD是直径，
∴∠DAC=∠DEC=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴DA=DE，
∵CD=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△DAC(HL)，
∴CE=AC=8，
∴BE=BC−CE=10−8=2；
(2)∵BD是⊙O的切线，
∴∠BDC=90°，
∵∠BDE+∠CDE=∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠BDE=∠DCE，
∵∠BED=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DCE，
∴BEDE=DEEC，
∴DE2=BE⋅EC=2×8=16，
∴DE=AD=4，
∴CD2=DE2+EC2=42+82，
∴⊙O的直CD=4 5，
∴tan∠ACD=ADAC=48=12．
【解析】(1))连接DE，AD，由HL证明Rt△DEC≌Rt△DAC，得到CE=AC，即可求出EB的长；
(2)由△BDE∽△DCE，求出DE的长，由勾股定理即可求出CD的长，由锐角的正切即可求出tan∠ACD的值．
本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
27.【答案】解：(1)∵抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点，
∴−2−2b+c=0−8+4b+c=0，
∴b=1c=4，
∴y=−12x2+x+4；
(2)如图1，
∵S△PBQS△OBQ=12，
∴PQOQ=12，
作PD//y轴，交BC于D，
∴PDOC=PQOQ=12，
∵OC=4，
∴PD=2，
∵B(4,0)，C (0,4)，
∴直线BC的解析式为y=−x+4，
设P(m,−12m2+m+4)，则D(m,−m+4)，
∴PD=(−12m2+m+4)−(−x+4)=−12m2+2m=2，
∴m1=m2=2，
当m=2时，y=−12×22+2+4=4，
∴P(2,4)；
(3)如图2，
设CM交x轴与D，作DG⊥CM，交直线AC于G，过点D作EF//y轴，作CE⊥EF于E，作GF⊥EF于F，
∵∠ACO=∠BCM，
∴∠ACO+∠DCO=∠BCM+∠DCO=45°，
∴∠ACD=45°，
∴∠CGD=90°−∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠CGD，
∴CD=DG，
∵∠CDG=90°，
∴∠CDE+∠GDF=90°，
∵∠E=∠F=90°，
∴∠GDF+∠DGF=90°，
∴∠CDE=∠DGF，
∴△CDE≌△DGF(AAS)，
∴FG=DE=4，DF=CE，
设OD=a，
∴DF=CE=OD=a，
∴G(a−4,−a)，
∵C(0,4)，A(−2,0)，
∴直线AC的解析式为y=2x+4，
∴2(a−4)+4=−a，
∴a=43，
∴D(43,0)，
∴直线CM的解析式为y=−3x+4，
由−3x+4=−12x2+x+4得，
x1=0(舍去)，x2=8，
当x=8时，y=−3×8+4=−20，
∴M1(8,−20)，
如图3，
设射线CM交x轴于T，
∵OC=OB=4，∠BOC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
由上知：tan∠OCD=ODOC=13，∠BCD=∠ACO，∠BCD+∠OCD=45°，
∵∠BCM+∠CTB=∠OBC=45°，∠CBM=∠ACO，
∴∠CTB=∠OCD，
∴tan∠CTB=13，
∴OCOT=13，
∴OT=3OC=12，
∴直线CT的解析式为y=−13x+4，
由−13x+14=−12x2+x+4得，
x1=0(舍去)，x2=83，
当x=83时，y=−13×83+4=289，
∴M2(83,289)，
综上所述：M(8,−20)或(83,289)．
【解析】(1)根据交点式直接得出结果；
(2)作PD//y轴，交BC于D，先求得PQOQ=12，根据PD//OC得出PD=2，设出点P的坐标，表示出点D的坐标，进而表示出PD，从而得出方程，进一步得出结果；
(3)当∠BCM在BC的下方时，设CM交x轴与D，作DG⊥CM，交直线AC于G，过点D作EF//y轴，作CE⊥EF于E，作GF⊥EF于F，可推出∠ACD=45°，可推出△CDE≌△DGF，进而表示出点G的坐标，将其代入直线AC的解析式，从而求得点D的坐标，进一步得出结果；当AM在直线BC上方时，借助∠BCM在BC上方时的结果，得出CM与x轴夹角的锐角的正切值为13，进一步得出结果．
本题考查了求二次函数、一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．(x,y)
0
1
2
−1
(0,−1)
(1,−1)
(2,−1)
−2
(0,−2)
(1,−2)
(2,−2)
0
(0,0)
(1,0)
(2,0)
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