2022-2023学年甘肃省兰州五十六中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省兰州五十六中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，可以看作是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  点关于原点的对称点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  等腰三角形中有一个角为，则其底角为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.  下列各式从左到右是分解因式的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  在平面直角坐标系中，将三角形各顶点的纵坐标都加上，横坐标减去，所得图形的位置与原图形相比(    )

A. 向左平移个单位，向上平移个单位 B. 向上平移个单位，向左平移个单位
C. 向下平移个单位，向右平移个单位 D. 向上平移个单位，向右平移个单位

7.  在正三角形中，交于，则的度数(    )

A.
B.
C.
D.

8.  某次知识竞赛共有道选择题，答对一题得分；答错或不答，每题扣分．要使总得分不少于分，则至少要答对几道题？若设答对道题，可得式子为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，，，，添加一个条件____，即可证明≌下列添加的条件不正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，直线与相交于点，点的纵坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  若不等式组无解，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在中，，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  分解因式：______．

14.  用不等式表示“的倍与的差不小于”为______ ．

15.  如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为，，则 ______ ．

16.  如图，已知矩形，，，为边上一点，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，则当的值为______时，为等腰三角形．

三、解答题（本大题共12小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简：．

18.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：．
 

19.  本小题分
已知如图，在角的内部有两点、，请找出点，使，并且到角两边的距离相等．不写作法，保留作图痕迹

20.  本小题分
如图，中，、、，是向右平移个单位向上平移个单位之后得到的图形．
、两点的坐标分别为______、______；
作出平移之后的图形；
求的面积．

21.  本小题分
如图，，，垂足分别为，，且．
求证：．

22.  本小题分
阅读下列题目的解过程；
已知，，为的三边，且满足，试判断的形状．
解：


是直角三角形
问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______ ；
错误的原因为：______ ；
本题正确的结论为：______ ．

23.  本小题分
对于任意实数、、、，我们规定，若，求整数的值．

24.  本小题分
阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替即换元，不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，则
原式第一步
第二步
第三步
第四步
请根据上述材料回答下列问题：
小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______
A.提取公因式法
B.平方差公式法
C.完全平方公式法
老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______ ．
请你用换元法对多项式进行因式分解．

25.  本小题分
某校组织学生参加“周末郊游“甲旅行社说：“只要一名同学买全票，则其余学生可享受半价优惠“，乙旅行社说：“全体同学都可按折优惠“已知全票价为元．
设学生人数为，甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元，用含的式子分别表示出与；
就学生人数讨论哪一家旅行社更优惠？

26.  本小题分
如图，于点，于点，若，．
求证：平分；
请猜想与之间的数量关系，并给予证明．

27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为．
求的值和一次函数的解析式；
直接写出使函数的值大于函数的值的自变量的取值范围．

28.  本小题分
小明在学习过程中，对一个问题做如下探究．
【习题回顾】如图，在中，，是角平分线，是高，，相交于点求证：；
【变式思考】如图，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，判断与还相等吗？并说明理由；
【探究延伸】如图，在中，在上存在一点，使得，角平分线交于点，交于点的外角的平分线所在直线与的延长线交于点，请直接写出与之间的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：旋转，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；
B.旋转，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
C.旋转，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
D.旋转，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的性质得出图形旋转，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C符合题意；
D、，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点的坐标为．
故选：．
根据两个点关于原点对称时，它们的横坐标与纵坐标都互为相反数可直接得到答案．
本题考查关于原点对称的点的坐标特点，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

4.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的一个角，
的角是顶角，
底角是，
故选：．
先判断出的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，需要注意的角只能是顶角．
 

5.【答案】 

【解析】解：选项，等号的左边不是多项式，故该选项不符合题意；
选项，等号的右边不是积的形式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，等号的右边不是积的形式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解判断即可．
本题考查因式分解的意义，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，将三角形各顶点的纵坐标都加上，横坐标减去，所得图形的位置与原图形相比，向上平移个单位，向左平移个单位，
故选：．
根据平移的法则即可得出所得图形的位置．
本题考查了坐标与图形变化中的平移，根据平移的法则解答是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
，，
．
故选：．
根据正三角形得到，因为，根据等腰三角形的三线合一得到的度数．
本题考查的是等边三角形的性质，掌握等边三角形的三个内角都是和等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，
则．
故选：．
设答对的题数为道，则答错或不答的题数为道，根据总分答对题数答错或不答题数，结合总得分不少于分，即可得出关于的一元一次不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识，解答本题的关键是找到不等关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
A、，，，
≌，
故A不符合题意；
B、，，，
和不一定全等，
故B符合题意；
C、，，，
≌，
故C不符合题意；
D、，，，
≌，
故D不符合题意；
故选：．
根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．
本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：把代入，得
，解得．
当时，，
所以关于的不等式的解集为，
用数轴表示为：．
故选：．
先把代入，得出，再观察函数图象得到当时，直线都在直线的上方，即不等式的解集为，然后用数轴表示解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

11.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到．
故选：．
不等式组整理后，根据不等式组无解确定出的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转到的位置，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，然后根据平行线的性质由得，则，再根据三角形内角和计算出，所以．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．
此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
故答案为：．
首先表示“的倍”为，再表示“与的差”为，最后再表示“不小于”为．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于小于、不超过不低于、是正数负数”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
 

15.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长为，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形性质及线段垂直平分线性质，熟练掌握有关定理是解题的关键．
 

16.【答案】或或 

【解析】解：四边形是长方形，
，，
，
，
在中，，，，由勾股定理得：；
过作于，过作于，

则，
若是等腰三角形，则有三种可能：
当时，，
所以；
当时，，
所以；
当时，设，，则，
则，
解得：，
则，
综上所述或或时，为等腰三角形．
故答案为：或或．
根据矩形的性质求出，，求出后根据勾股定理求出；过作于，过作于，求出，当时，，即可求出；当时，求出，即可求出；当时，则，求出，即可求出．
本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先算完全平方，再合并同类项即可．
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示：

即点为所求． 

【解析】作已知角的平分线和线段的垂直平分线的交点就是所求的点．
本题考查了尺规作图和不等式的解法，在尺规作图中，理解角的平分线和线段的垂直平分线的性质定理是关键．
 

20.【答案】解： 
如图所示，即为所求；

的面积为：． 

【解析】解：平移的方向为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，、，
、两点的坐标分别为，．
故答案为；
同理可得，作图见答案；
见答案．
根据平移的方向为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，进而得出、两点的坐标；
根据各顶点的坐标，即可得到平移之后的图形；
根据割补法即可得到的面积．
本题主要考查了利用平移变换进行作图以及三角形面积的计算，掌握平移变换的性质，学会用割补法求面积是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，，垂足分别为，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由于点，于点，得，可根据直角三角形全等的判定定理“”证明≌，得．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】  没有考虑的情况  是等腰三角形或直角三角形 

【解析】解：由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：，
故答案为：；
错误的原因为：没有考虑的情况，
故答案为：没有考虑的情况；
本题正确的结论为：是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：是等腰三角形或直角三角形．
根据题目中的书写步骤可以解答本题；
根据题目中到可知没有考虑的情况；
根据题意可以写出正确的结论．
本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
 

23.【答案】解：．
根据题意得：，
解得，
解得．
则不等式组的解集是．
则整数解是，，． 

【解析】首先化简，转化为不等式组，然后解不等式组求得的范围，然后确定整数解即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，正确读懂题意，化简是关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：原式第一步
第二步
第三步
第四步，
由题意可知，选项C符合题意；
故答案为：．
，
设，
原式，
，
，
，
；
故答案为：；
设，
原式，
，
，
，
．
根据完全平方公式进行分解因式；
最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；根据材料，用换元法进行分解因式．
本题考查了因式分解换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意可得，
，
，
即，；
令，解得，，
答：当时，乙旅行社更优惠，当时，两家旅行社优惠一样，当时，甲旅行社更优惠． 

【解析】根据题意可以分别表示出甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元与之间的函数关系式；
令中的两个函数关系式相等，然后再根据题意即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．
 

26.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
平分．
解：，证明如下：
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据证明≌，得到，再根据角平分线的判定定理，求证即可；
通过证明≌，得到，利用线段之间的关系，求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
 

27.【答案】解：把代入得，则点的坐标为，
把代入得，解得，
所以一次函数解析式为；
由图象可知，使函数的值大于函数的值的自变量的取值范围是． 

【解析】先把代入正比例函数解析式可计算出，然后把代入计算出的值，从而得到一次函数解析式为；
观察函数图象得到当时，直线都在的上方，即函数的值大于函数的值．
本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．
 

28.【答案】【习题回顾】证明：，是高，
，，
．
是角平分线，
．
，，
；

【变式思考】解：；理由如下：
为的平分线，
．
为边上的高，，
．
又，平分，
，
，
；

【探究延伸】解：理由如下：
，，三点共线，，分别为，的平分线，
．
，
，
，，，
，
． 

【解析】习题回顾：根据角平分线的定义及三角形外角的性质求解即可；
变式思考：根据角平分线的性质和直角三角形的性质可得到结果；
探究延伸：由题可知，证明，即可得结论．
本题主要考查了三角形的内角和定理和三角形外角性质，利用角平分线的性质是解题的关键．