2024年甘肃省兰州市第五十六中学等校中考一模考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年甘肃省兰州市第五十六中学等校中考一模考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年甘肃省兰州市第五十六中学等校中考一模考试数学试题原卷版docx、2024年甘肃省兰州市第五十六中学等校中考一模考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。

1. 的相反数是（ ）
A. 2020B. C. ﹣2020D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的意义即可求解．
【详解】解：的相反数是．
故选：B．
【点睛】本题考查相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义．
2. 下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中：
A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；B为长方体，它的主视图应该为矩形；
C为圆台，它的主视图应该为梯形；D为三棱柱，它的主视图应该为矩形．
故选C．
3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义即可求就出答案．
【详解】解：A、，故A不是最简二次根式；
B、，故B不是最简二次根式
C、是最简二次根式；故C正确；
D、，故D不是最简二次根式；
故选：C.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
4. 2019 年 1 月 3 日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为 384 000km，把 384 000km用科学记数法可以表示为（ ）
A. 38.4 ×10 4 kmB. 3.84×10 5 kmC. 0.384× 10 6 kmD. 3.84 ×10 6 km
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】科学记数法表示：384 000km=3.84×105km
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5. 已知：在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，0），（0，3），将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是（2，﹣1），那么点B的对应点B′的坐标是（ ）
A. （2，1）B. （2，3）C. （2，2）D. （1，2）
【答案】D
【解析】
【分析】根据点A、A′的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B′的坐标即可．
【详解】∵A（1，0）的对应点A′的坐标为（2，﹣1），
∴平移规律为横坐标加1，纵坐标减1，
∵点B（0，3）的对应点为B′，
∴B′的坐标为（1，2）．
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．
6. 如图，在中，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行解得即可．
【详解】解：在△ABC中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．
7. 父子二人并排竖直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身高的，父子二人的身高之和为3.4米，若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得两个等量关系：①爸爸的身高＋儿子的身高＝3.4米；②父亲在水中的身高（1−）x＝儿子在水中的身高（1−）y，根据等量关系可列出方程组．
【详解】设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，
由题意得：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，解决此题的关键是知道父亲和儿子浸没在水中的身高是相等的．
8. 如图，四边形ABCD内接于圆O，，则的度数是（ ）
A. 127°B. 108°C. 126°D. 125°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出∠A的度数，根据圆内接四边形的性质得出∠A＋∠BCD＝180°，代入求出即可．
【详解】解：∵对的圆周角是∠A，圆心角是∠BOD，∠BOD＝108°，
∴∠A＝∠BOD＝54°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠A＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°-∠A=126°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出∠A的度数和得出∠A＋∠BCD＝180°．
9. 关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，即可求解．
【详解】
去分母得：，
∵关于的分式方程有增根，且增根x=2，
∴把x=2代入得，，即：m=-5，
故选D．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义：使分式方程的分母为零的根，叫做分式方程的增根，是解题的关键．
10. 如图，一次函数与的图象的交点坐标为，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过观察图象得到，当x﹥-2时，函数的图象都在的上方，即可解答．
【详解】通过观察图象得到，当x=-2时，函数的图象与相交，当x﹥-2时，函数的图象都在的上方，
∴关于的不等式的解集为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，解答的关键是熟练掌握一次函数图象及其性质．
11. 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）

A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】设与交于点，连接，根据点B与D关于对称得，可得，即P在与的交点上时最小，即的长度，根据正方形的面积为得，根据等边三角形的性质即可得．
【详解】解：如图所示，设与交于点，连接，

∵点B与D关于对称，
∴，
∴，
即P在与的交点上时最小，即的长度，
∵正方形的面积为，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，正方形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
12. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③的两个根是；④其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】①由抛物线开口向上，可得出a＞0，由抛物线与轴交点知对称轴为，即，所以，根据抛物线与轴的交点在轴下方，可得，根据可判断结论①正确；②由抛物线与x轴的交点求得对称轴，得到b＝−2a，当x＝−2时，y＝4a−2b＋c＝0，代入得8a＋c＝0，由a＞0，可得9a＋c＞0，结论②正确； ③根据抛物线与x轴的交点，可得结论③正确；④把a＝代入y＝4a−2b＋c＝0，整理得到4b＝c，即可得出b：c＝1：4，结论④正确．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与轴交点为，
∴抛物线的对称轴为，即，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴下方，
∴，
∴，结论①正确；
②∵抛物线与x轴交于（−2，0）和（4，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
∴
∴b＝−2a，
∵当x＝−2时，y＝4a−2b＋c＝0，
∴8a＋c＝0，
∵a＞0，
∴9a＋c＞0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴交于（−2，0）和（4，0）两点，
∴ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝−2，x2＝4，结论③正确；
④∵b＝−2a，
∴a＝，
∵当x＝−2时，y＝4a−2b＋c＝0，
∴−2b−2b＋c＝0，
∴4b＝c，
∴b：c＝1：4，结论④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数：△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
14. 如图，已知点A在反比例函数的图象上，轴于点C，点B在x轴的负半轴上，若，则k的值为_________．
【答案】-4
【解析】
【分析】连结OA，由AC⊥y轴，可得AC∥x轴，可知S△ACB=S△ACO=2，可得，由反比例函数图像在第二象限（x<0），可知k<0，可求k=-4．
【详解】解：连结OA，
∵AC⊥y轴，
∴AC∥x轴，
∴S△ACB=S△ACO=2，
∴，
∴，
∵反比例函数图像在第二象限（x<0），
∴k<0，

∴k=-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查反比例函数解析式，掌握反比例函数的性质，关键是反比例函数中k的几何意义．
15. 如图，⊙O的直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，则劣弧AD的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出∠BOD，得到∠AOD的度数，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：由圆周角定理得，∠BOD＝2∠BCD＝120°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝60°，
∴劣弧AD的长＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理和弧长公式，准确计算是解题的关键．
16. 已知a、b实数且满足（a2+b2）2-（a2+b2）-12=0，则a2+b2的值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】将a2+b2看成整体，设a2+b2=t，解关于t的一元二次方程即可，注意 a2+b2≥0．
【详解】解：设a2+b2=t，则t2﹣t﹣12=0，
解得：t1=4，t2=﹣3，
∵a2+b2=t≥0，
∴t=4，即a2+b2=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解答的关键，注意a2+b2≥0这一隐含条件．
三、解答题（共72分）
17. 计算: ．
【答案】3
【解析】
【分析】按顺序先分别负整数指数幂、化简绝对值、代入特殊角的三角函数值、进行零次幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可．
【详解】解：原式为：
=
=3-2+1+1
=3．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，包括负整数指数幂、化简绝对值、代入特殊角的三角函数值、进行零次幂运算，正确掌握以上概念的计算方法是本题的解题关键．
18. 化简：
【答案】
【解析】
【分析】先把括号内通分化简，再把分子分母分解因式约分即可.
【详解】原式=
=
=
=.
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19. 如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．
求证：OE=OF ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由题意根据HL定理可以证得RT△ABF≌RT△DCE，从而有∠AFE=∠DEF，最后即可得到OE=OF．
【详解】解：∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∴在RT△ABF和RT△DCE中，，
∴RT△ABF≌RT△DCE（HL），
∴∠AFE=∠DEF，
∴OE=OF．
【点睛】本题考查直角三角形与等腰三角形的综合运用，熟练掌握HL定理及等角对等边定理是解题关键．
20. 先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图：
已知：，D是边上一点，如图1．
求作：四边形，使得四边形是平行四边形．
小明的做法如下：
【答案】（1）图见解析；（2）CF=BD，DF=BC；两组对边相等的四边形是平行四边形．
【解析】
【分析】（1）根据两组对边相等的四边形是平行四边形，作对边相等即可解答；
（2）根据作法由两组对边相等的四边形是平行四边形即可完成解答．
【详解】解：（1）如图：
（2）证明：∵CF=BD，DF=BC
∴四边形DBCF是平行四边形．（两组对边相等的四边形是平行四边形）
故答案为：CF=BD，DF=BC；两组对边相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了基本作图-尺规作图作线段和平行四边形判定，掌握平行四边形的判定是解题关键．
21. 如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝﹣；（2）
【解析】
【分析】（1）分别把A点坐标代入y1=x+b和y2=（k≠0，x＜0）中计算出b和k的值即可；
（2）先确定B点坐标，然后设直线y=x+3与x轴的交点为C，求得C的坐标，再根据三角形面积公式求解．
【详解】解：（1）把A（﹣2，1）代入y1＝x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3；
把A（﹣2，1）代入y2＝（k≠0，x＜0）得k＝﹣2×1＝﹣2，
∴一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝；
（2）由，解得或，
∴B点坐标为（﹣1，2），
设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
把y＝0代入求得x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴△AOB的面积＝△BOC的面积﹣△AOC的面积＝＝．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
22. 随着冬奥会的闭幕，坐落于冬奥核心区的国家跳台滑雪中心——“雪如意”，成为本次冬奥会比赛场馆中最具标志性和辨识度的建筑物之一．该跳台滑雪中心设计灵感来源于中国的传统吉祥饰物“如意”，从跳台环形顶端，再到剖面线形和底部看台，与“如意”的S型曲线完美契合，因此被称为“雪如意”，既体现了体育建筑的动感，又凸显了中国文化元素．如图，是“雪如意”的侧面示意图，“雪如意”由顶峰俱乐部AC、滑道（包括助滑区DE和着陆坡EF）及看台区GF三部分构成（AC、GF均与水平面平行），其中BD⊥AC于点B，BD＝14m，DE＝109m，EF＝198m，从点E处测得点D处的仰角为26°，点F处的俯角为31°，求“雪如意”的高BH的长（结果精确到1m，，，，，，）．
【答案】“雪如意”BH的高度约为165m
【解析】
【分析】过点E分别作EM⊥DH于点M，EN⊥FH于点N，然后解直角三角形即可．
【详解】解：过点E分别作EM⊥DH于点M，EN⊥FH于点N，则∠EFN＝31°，且四边形EMHN是矩形，
∴EN＝MH，
在Rt△DEM中，，
∴（m），
在Rt△EFN中，，
∴（m），
∴（m）．
即“雪如意”BH的高度约为165m．
【点睛】此题综合考查了仰角和俯角的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
23. 为加强中学生体育锻炼，学校组织了九年级300名学生进行了体质监测，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制）．制成如图不完整的统计图表：
表一
表二
根据以上信息回答下列问题：
（1）若抽取的学生成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：
88 87 81 80 82 88 84 86
根据以上数据将表一和表二补充完整：a ；b ；
（2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在70≤x＜80这一组的扇形圆心角度数为 ；
（3）若成绩在80分以上为体质达标，请你估计该校九年级一共有多少名学生的体质达标？
【答案】（1）5，81.5；（2）90°（3）九年级一共有180名学生的体质达标
【解析】
【分析】（1）根据抽取的60≤x＜70为2人，在扇形中所占比例为10%，求得总抽取人数=小组人数÷小组所占的比例，因此a＝总抽取人数-其它各组人数．根据中位数定义，把总抽取人成绩进行排序，中位数是排名第10和第11两位同学成绩的平均数，两位同学在80≤x＜90范围当中．将80≤x＜90这一组的数据进行从小到大排列，得到：80 81 82 84 86 87 88 88．因此第10名为81分，第11名为82分，即可求出中位数b．
（2）70≤x＜80这一范围共有5人，求出占抽取总人数的百分比，对应圆心角的度数为：360°×百分比即可．
（3）用部分估计总体，根据图表一，统计成绩在80分以上的同学人，求出占抽取总人数的百分比，因此体质达标人数=该校九年级一共有300×占抽取总人数的百分比即可．
【详解】解：（1）根据抽取的60≤x＜70为2人，在扇形中所占比例为10%，求得总抽取人数为2÷10%＝20人．
因此a＝20﹣1﹣2﹣8﹣4＝5．
根据中位数定义，在所有抽取的的20人中，中位数是排名第10和第11两位同学成绩的平均数，因此只需找到排名第10和第11的两位同学即可．
根据图表一得知，排名第10和第11的两位同学在80≤x＜90范围当中，80≤x＜90范围之前已有8名同学，因此在80≤x＜90范围中找寻排名第二和第三的即可．
将80≤x＜90这一组的数据进行从小到大排列，得到：80 81 82 84 86 87 88 88．
因此第10名81分，第11名为82分，
因此中位数b＝（81+82）÷2＝81.5．
（2）70≤x＜80这一范围共有5人，占抽取总人数的比例为5÷20＝25%，
因此对应圆心角的度数为：360°×25%＝90°．
（3）用部分估计总体，根据图表一，成绩在80分以上的同学共有8+4＝12人，占抽取总人数的比例为12÷20＝60%，
因此该校九年级一共有300×60%＝180名学生的体质达标．
【点睛】本题考查统计图表有关问题，会用扇形图中所占的比例求得抽取学生总人数．会根据抽取总人数求分数段人数．会求中位数，会求扇形圆心角度=360º×分数段人数所占抽取人数的百分比是解题关键．
24. 如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求解．
【详解】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF∥AB，
∴∠ABC＝∠DFC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠FDH＝30°，
∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠HDC＝45°，
∴DC＝DH＝DF＝6，
∴DF＝2 ，
∴菱形BEDF的边长为2．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键．
25. 综合与实践
问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．
模型建立：
（1）如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．
问题解决：
（2）求在距离水面2米处桥拱宽度．
（3）现有两宽为4米，高3米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．
【答案】（1）
（2）在距离水面2米处桥拱宽度为米
（3）两小舟能同时从桥下穿过，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设抛物线解析式为，再根据题意求解即可；
（2）由题意得，令解出方程即可得到解答；
（3）由题意得，令解出方程，再进行判断即可得到解答．
【小问1详解】
由题意得，点O和点A的坐标分别为和，
∵B为函数顶点，
∴，
设抛物线解析式为，
∵顶点，
∴，
再将代入解析式可得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
由题意得，令可得，，
解得，
∴桥拱宽度为：（米）
【小问3详解】
两小舟能同时从桥下穿过，理由如下：
∵两小舟的高均为3米，
∴当时，，
解得，
∴最大能通行的宽度为：（米），
∵两小周宽为4米，
∴，
∴两小舟能同时从桥下穿过．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
26. 如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D．
（1）求证：DA为⊙O的切线；
（2）若BD＝1，tan∠ABD＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）2.5
【解析】
【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO＝90°即可．
（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．
【详解】解：（1）证明：连接OA；
∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB＝∠BAC＝90°，∠DBA＝∠CBA，
∴∠BAD=∠OCA，
∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC=∠BAD，
∴∠DAO＝∠DAB＋∠BAO＝∠BAO＋∠OAC＝90°，
∴DA为⊙O的切线；
（2）∵BD＝1，tan∠ABD＝2，
∴AD＝2，
∴AB＝＝＝，
∴cs∠DBA＝；
∵∠DBA＝∠CBA，
∴BC＝＝＝5，
∴⊙O的半径为2.5．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．
27. 如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和邻边作矩形，连接，．
（1）如图（2），当时，与的数量关系为 ，与的数量关系为 ．
【类比探究】
（2）如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请写出线段的长并说明理由．
【答案】（1），
（2）与之间的数量关系发生变化，，理由见解析过程
（3）或，理由见解析过程
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，，即可推出，根据矩形的性质得出，，，则，，即可得出；
（2）根据题意得出，，进而得出，，则，连接，通过证明，即可得出结论；
（3）当点在线段上时，根据勾股定理求出，则，即可得出；当点在线段上时，同理可求，则．
【详解】解：（1），．
理由如下：
当，则，，
，
，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
故答案为：，；
（2）与之间的数量关系发生变化，．
理由如下：
如图（1）在矩形和矩形中，
当时，，，
，，
，
如图（3），连接，
矩形绕点顺时针旋转，
，
，
，
；
（3）线段的长为或．
理由如下：
当点在线段上时，如图3.1，
，，
，
，
，，
，
，
；
当点在线段上时，如图3.2，
同理，由勾股定理可求，
；
综上所述：线段的长为或．
【点睛】本题考查了矩形性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
28. 定义：在平面直角坐标系中，图形 G 上点 P（x，y）的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差 y﹣x 称为 P 点的“坐标差”，而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“特征值”．
（1）①点 A（1，3）的“坐标差”为 ；
②抛物线 的“特征值”为 ；
（2）某二次函数的“特征值”为﹣1，点 B（m，0）与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点，且点 B 与点 C 的“坐标差”相等．
①直接写出 m＝ ；（用含 c 的式子表示）
②求此二次函数的表达式．
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 M（2，3）为圆心，2 为半径的圆与直线 y＝x 相交于点 D、E，请直接写出⊙M 的“特征值”为 ．
【答案】（1）①2；②4；
（2）①m＝−c；②；
（3）1＋2．
【解析】
【分析】（1）①②根据“坐标差”，“特征值”的定义计算即可；
（2）因为点B与点C的“坐标差”相等，推出B（−c，0），把（−c，0）代入，得到：，推出c＝1−b，因为二次函数（c≠0）的“特征值”为−1，所以的最大值为−1，可得 ＝−1，解得b＝3，由此即可解决问题；
（3）如图，设M（2，3），作MK⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．
【小问1详解】
①点A（1，3）的“坐标差”为＝3−1＝2，
故答案为2；
②设P（x,y）为抛物线上一点，
坐标差＝，最大值为4，
所以抛物线的“特征值”为4
故答案为4．
【小问2详解】
①由题意：0−m＝c−0，可得m＝−c.
②∵C（0，c），
又∵点B与点C“坐标差”相等，
∴B（−c,0），
把（−c,0）代入y＝−x2＋bx＋c,得到：0＝−c2−bc＋c,
∴c＝1−b,
∵二次函数（c≠0）的“特征值”为−1
所以的最大值为−1，
∴＝−1，
解得b＝3，
∴c＝−2，
∴二次函数的解析式为．
小问3详解】
如图，设M（2，3），作MK⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．
作TF⊥x轴于E交MJ于F．
易知△TMF是等腰直角三角形，
∵TF＝FM＝，EF＝KM＝3，EK＝FK＝M＝，
∴OE＝OK−EK＝2−，TE＝3＋，
半径为2的圆的“特征值”为3＋−（2−）＝1＋2．
故答案为1＋2．
【点睛】本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题．
（1）设计方案
先一个符合题意的草图，如图2，
再分析实现目标的具体方法．
（2）设计作图步骤，完成作图
作法：如图3，
①以点C为圆心、为半径画弧；
②再以点D为圆心、为半径画弧，两弧交于点F；
③连接与．
∴四边形即为所求．
请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹
（3）推理论证
证明：∵___________，___________
∴四边形DBCF是平行四边形．（___________）（填推理依据）
成绩x
X＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
1
2
a
8
4
统计量
平均数
中位数
众数
成绩
79.7
b
72