51，江苏省无锡市宜兴市桃溪中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题

这是一份51，江苏省无锡市宜兴市桃溪中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. ﹣5的绝对值是（ ）
A. 5B. ﹣5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：|﹣5|=5．
故选A．
2. 函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x-2≥0，
解得x≥2．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．
3. 下列调查中，适合用普查方式的是（ ）
A. 检测某城市空气质量B. 检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况
C. 检测一批节能灯的使用寿命D. 检测某批次汽车的抗撞能力
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和普查的区别．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查；据此逐一判断，即可求解．
【详解】解：A、检测某城市空气质量，适合用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
B、检测神舟十三号载人飞船的零部件质量，适合用普查方式，故本选项符合题意；该试卷源自 每日更新，享更低价下载。C、检测一批节能灯的使用寿命，适合用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
D、检测某批次汽车的抗撞能力，适合用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
故选：B
4. 如图，▱ABCD中，∠B＋∠D＝100°，则∠A＝（ ）
A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°
【答案】D
【解析】
【分析】四边形ABCD是平行四边形，由“平行四边形对角相等”可得∠B＝∠D，又由∠B+∠D＝100°，即可求得∠B的度数，然后根据平行四边形的性质“平行四边形邻角互补”即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠B+∠D＝100°，
∴∠B＝∠D＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝130°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
5. 某双塔是十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为（ ）
A. 100°B. 120°C. 135°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和外角的知识，解题的关键是了解多边形的外角和．首先利用外角和求得外角的度数，然后根据互补求得每个内角的度数即可．
【详解】解：多边形外角和为，
正八边形每个外角为，
正八边形每个内角的度数为，
故选：C．
6. 下列选项中可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反证法，证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题叫做反证法．根据反证法的要求举一个反例即可．
【详解】解：用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：，
∵，但是，
∴B正确；
故选：B．
7. 如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为，则点是（ ）

A. 的外心B. 的内心C. 的重心D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，解题的关键是根据翻折变换的性质得出为角平分线的交点．根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等．
【详解】解：如图：过点作于点F，于点M，于点N，

由题意得：，，
为角平分线的交点，
，
点到三边的距离相等．
点是的内心．
故选：A．
8. 反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（ ）
A. B. 0C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质；由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，即可判断．
【详解】解：根据题意，，
解得，
故选：D．
9. 一次函数（）的图像过点，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移，根据题意，将一次函数（）的图像向右平移2个单位得到，结合一次函数（）的图像过点，得到一次函数（）的图像过点，根据不等式写出解集即可．
【详解】根据题意，将一次函数（）的图像向右平移2个单位得到，
∵一次函数（）的图像过点，
∴一次函数（）的图像过点，
∵，
∴不等式的解集是，
故选C．
10. 如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②在P点运动过程中，可能为；③若E是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】由“”可证，可得，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由三角形的外角可得不可能为135°，故②错误；由，可得，当时，有最小值为，即有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得的值为或，故④正确，即可求解．
【详解】解：连接，过点P作交于H，如图所示：
∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B，点C，点F三点共线，
∴在P点运动过程中，F点始终在射线上，故①正确；
假设，
∵
∴，
则点P与点C重合，
此时不存在，故②错误；
取的中点N，连接，如图所示：
∵点N是的中点，点E是中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点P是线段上一点，
∴当时，有最小值，
∵，
∴此时，
∴有最小值为，故③正确；
∵，
∴，
当点P是中点时，，则是等腰三角形，
当时，是等腰三角形，
此时，
∴为等腰三角形时，的值为或；故④正确；
综上分析可知，①③④正确，
故选：B．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11. 的立方根是__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据立方根的定义进行求解即可得．
【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
12. 民之所盼，我之所呼．人民网发布了2月份参与全国两会的第22次调查人数共计超过581万人次，其中数据“5810000”用科学记数法可表示为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】数据“5 810 000”用科学记数法可表示．
故答案为：．
13. 方程的两根分别为，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再由进行求解即可．
【详解】解：∵方程的两根分别为，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 请写出一个图象经过的一次函数解析式________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】设函数，，为常数），由图象经过点得到，根据k的取值即可得到答案．
【详解】解：设函数，，为常数），
图象经过点，
∴．
这样满足条件的函数可以为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
15. 已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为_____________cm2．
【答案】18π
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】底面周长=6π，
圆锥的侧面积=×6π×6=18πcm2．
故答案为：18π
考点：圆锥的侧面积
16. 古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图尺，尺，问井深是多少？如图，设井深为尺，根据题意可列方程__________．（不需要化简）

【答案】
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据，得出，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】根据题意可知尺，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
17. 如图，在中，，．点M是平面内的一点，．将线段绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取的中点N，连接，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由动点产生的圆外一点到圆上的点的距离问题，三角形中位线定理；取的中点为，连接，由三角形中位线定理得，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，当、、三点共线，在线段上时，最小，当、、三点共线，在线段上时，最大，据此即可求解；找出动点的运动轨迹是解题的关键．
【详解】解：如图，取的中点为，连接，
是的中点，
，
线段绕点A按顺时针方向旋转一周，
点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，
如图，当、、三点共线，在线段上时，最小，
此时
；
如图，当、、三点共线，在线段上时，最大，
此时
；
的取值范围是，
故答案：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点，定点、，连结．
（1）点A是否在点P的运动路径上：_________；（填“是”或“否”）
（2）若点P只是在第一象限内运动，过点P作于Q，当取得最大值时，点P的坐标是________．
【答案】 ①. 是 ②.
【解析】
【分析】（1）当时，求出纵坐标即可做出判断；
（2）过点P作轴，交于E，先求出一次函数的解析式，再根据勾股定理求出的长，根据三角形内角和可得出，根据解直角三角形的计算求出，可知当最长时，最长，根据，则，表示出，可求出当时，最大为1，即可得出最后结果．
【详解】解：（1），，
当时，，
点A在点P的运动路径上，
（2）如图，过点P作轴，交于E，
设直线的解析式为：
，，
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
在中，，
，
，
在中，，
当最长时，最长，
，则，
，，
，
当时，最大为1，此时，
故答案为：是；．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，函数值的求解，二次函数的最值求解，解直角三角形的应用，勾股定理，一次函数解析式的求解，三角形内角和定理正确作出辅助线，判断出当最长时，最长是解答本题的关键．
三、解答题：（本大题共10小题，共96分）
19. 计算：
（1）计算： ；
（2）化简：．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算和整式的运算．熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式的乘法法则，0指数幂，负整数指数幂性质，多项式乘多项式法则，完全平方公式，是解决问题的关键．
（1）根据的正弦值，二次根式的乘法法则，0指数幂和负整数指数幂性质化简；
（2）根据多项式乘多项式法则与完全平方公式解答．
【小问1详解】

；
【小问2详解】
．
20. （1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）无解；（2）
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元一次不等式组的方法和步骤．
（1）先去分母，将分式方程化为整式方程求解，最后进行检验即可；
（2）分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可解答．
【详解】（1）解：，
去分母得，
移项、合并得，，
经检验：是方程的增根，
∴原方程无解
（2）解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组解集是．
21. 如图，中，点F为延长线上一点，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）若求度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据，即可证明；
（2）先由，得结合角的运算以及全等三角形的性质，列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵
∴
【小问2详解】
解：∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
22. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来，某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）图1中的______，本次调查数据的中位数是______，本次调查数据的众数是______；
（2）将不完整的条形统计图补充完整；
（3）若该校共有名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不少于的人数．
【答案】（1），3，3
（2）见解析 （3）人
【解析】
【分析】（1）用劳动时间为1小时的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出的值，最后根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
（2）根据（1）所求，补全统计图即可；
（3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解．
【小问1详解】
解：人，
∴参与调查的学生人数为40人，
∴，
∴，
人，
∴课外劳动时间为2小时的人数为8人，
∵参与调查的学生人数一共有40人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第20名和第21名的劳动时间分别为
∴中位数为，
由条形统计图可知，劳动时间为的人数最多，
∴众数为
故答案为：，3，3；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：（人）
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮面向全国青少年进行太空科普授课．航天员演示了四个太空实验：A．球形火焰实验；B．奇妙“乒乓球”实验；C．动量守恒实验；D．又见陀螺实验．
（1）若小明从以上4个实验中随机选取1个实验的录像进行回看，则所选的是B实验的概率是______；
（2）若小明从以上4个实验中随机选取2个实验的录像进行回看，求小明选择B和D这2个实验的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了由概率公式求概率，树状图法求概率，
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明选择B和D这2个实验的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：小明从以上4个实验中随机选取1个实验的录像进行回看，所选的是B实验的的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小明选择B和D这2个实验的结果有2种，
小明选择B和D这2个实验的概率．
24. 如图，的半径是2，是的内接三角形．

（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在上找一点D，使；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连结、、，四边形是平行四边形，则_______；、、围成的封闭图形的面积是_______．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】本题考查了作图-角平分线，圆周角定理，扇形的面积：
（1）作的角平分线交于点D，由同弧所对的圆周角相等可得；
（2）证明为等边三角形即可求得，再根据三角形的面积和扇形的面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：如图，作的角平分线交于点D，则
【小问2详解】
解：如图，设、交于点E，

四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
平分，
由（1）知平分，
与同一直线上，
为的直径，
，
为等边三角形，
；
，
，
为等边三角形，的半径是2，
，
，
、、围成的封闭图形的面积为，
故答案为：，．
25. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨．
（1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别微运货物多少吨？
（2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？
【答案】（1）每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨；（2）购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元．
【解析】
【分析】（1）设每台A型机器人每天分别微运货物x吨，每台B型机器人每天分别微运货物y吨，根据“每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据这些机器人每天搬运的货物不低于1800吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：（1）设每台A型机器人每天分别微运货物x吨，每台B型机器人每天分别微运货物y吨，根据题意得：
，
解得：．
答：每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨．
（2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据题意得：
100m+80（20-m）≥1800，
解得：m≥10．
设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，则w=3m+2（20-m）=m+40，
∵k=1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=10时，w有最小值，且最小值为w=10+40=50（万元），
此时20-m=10．
所以，购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式是解题的关键．
26. 如图，是的弦，是的切线，连接交于点，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，如图所示，由切线的性质及垂直定义，等量代换得到，再由对顶角相等及等腰三角形性质得到，即可得证；
（2）过作于，如图所示，由等腰三角形性质，结合勾股定理求出相关线段长，再由得到相似比，代值求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：是等腰三角形，
理由如下：
连接，如图所示：
，则，
，
，
∵,
∴,
，
∴，
，
是等腰三角形；
【小问2详解】
解：过作于，如图所示：
，
设的半径为，则在中，，，由勾股定理可得，
在中，，，由勾股定理可得，
，，
，
，即，解得，
的半径为．
【点睛】本题考查圆综合，涉及等腰三角形判定与性质、圆的性质、切线性质、垂直定理、勾股定理、三角形相似的判定与性质等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关几何判定与性质求解是解决问题的关键．
27. 如图，在矩形中，，F、G分别为边上的动点，连接，沿将四边形翻折至四边形，点E落在上，交于点H，连接交于点O．
（1）写出与之间的位置关系是：______；
（2）求证：；
（3）连接，若， ，求的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）3
【解析】
【分析】（1）由折叠性质得，，进而得到；
（2）过点G作于点M，则四边形为矩形，证明，即可求解；
（3）过点P作，交的延长线于点K．得，借助已知锐角三角函数值，得出与的关系，在中，由勾股定理列出方程求得各边长度，再根据（2）得出，进而求得和的长即可．
【小问1详解】
解∶由折叠性质得，，
∵，
∴
；
故答案为：
【小问2详解】
证明：如图1，过点G作于点M，则四边形为矩形，
∴．
由（1）得 ，
∵，
，
，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图2，过点P作，交的延长线于点K．
由折叠的性质得：，
∴，
且，
，
∵，
，
∵，
∴，
∴可设 ，则，
∴，
∴．
∵，
∴，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得或（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，难度较大，关键在于构造直角三角形充分利用相似三角形和解直角三角形的知识以及勾股定理、方程思想解决问题．
28. 抛物线（b、c为常数）与x轴交于、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点．点P在该抛物线上且在x轴上方，设其横坐标为m．
（1）直接写出b，c的值：_____，______；
（2）连结、．当时，求m的值；
（3）过点P作x轴的平行线与直线交于点Q，两点的距离记为d．请直接写出根据d的不同取值所对应的点P个数情况．（补充说明：当两点重合时，记）
【答案】（1）2，3 （2）
（3）当时，m值只有1个，故点P只有1个，当时，m的值只有2个，故点P只有2个，当时，m的值只有3个，故点P只有3个
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）求出，得到直线的表达式为，即可求解；
（3）利用待定系数法求直线的表达式为，再分当时，点P在点Q的左侧，当时，点P在点Q的右侧两种情况讨论，最后画出图象，分析图象即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于，与y轴交于点，
∴，
解得，，
故答案为：2，3；
【小问2详解】
解：如图，作点A关于y轴对称点，连接，过点A作于点N，
则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴直线的表达式为，
联立方程组得，，
解得，（舍）或，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
设直线的表达式为，
得，，
解得，，
∴直线的表达式为，
当时，，即，
当时，点P在点Q的左侧，，
当时，点P在点Q的右侧，，
如图所示：点、、、，
故当时，m的值只有1个，故点P只有1个，
当时，m的值只有2个，故点P只有2个，
当时，m的值只有3个，故点P只有3个．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的交点、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．