江苏省无锡市江阴市周庄中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题

这是一份江苏省无锡市江阴市周庄中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 计算的结果是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：（x-2）（2+x）=x2-22=x2-4，
故选A．
考点：平方差公式．
3. 下列函数中，自变量的取值范围是的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件判断即可．
【详解】A、x为全体实数，故本选项错误；
B、，解得，故本选项错误；
C、，解得，故本选项错误；该试卷源自 每日更新，享更低价下载。D、，解得，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，注意分母不能为0．
4. 五边形的内角和为【 】
A. 720°B. 540°C. 360°D. 180°
【答案】B
【解析】
【详解】根据多边形的内角和定理，五边形的内角和为：（5－2）×180°=540°．故选B．
5. 反比例函数与一次函数的图像的一个交点是，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数的交点问题，把代入即可求得m的值，从而得到交点的坐标，然后把交点的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k的值．
【详解】解：把代入得：，
把代入得：．
故选：D．
6. 如图是一个圆锥的主视图，则该圆锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了圆锥的侧面积，勾股定理，过点A作于点C，然后利用勾股定理求出，得到底面半径，底面周长，然后利用圆锥的侧面积公式求解即可．
【详解】过点A作于点C，
∵圆锥的轴截面是一个底边长为3，高为2的三角形，
∴，
∴底面半径，底面周长，
∴圆锥的侧面积．
故选C．
7. 如图，A、B、C三点在上，连接，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，掌握圆的相关性质是解题关键．在圆上取一点，连接、，由圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补，即可求出的度数．
【详解】解：如图，在圆上取一点，连接、，
，，
，
四边形为圆内接四边形，
，
，
故选：C．

8. 下面a、b的取值，能够说明命题“若a＜b，则＜”是假命题的是（ ）
A. a＝2，b＝3B. a＝－2，b＝3C. a＝－5，b＝－3D. a＝－3，b＝5
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算各选项中a、b的绝对值，然后再比较即可作出判断．
【详解】A、｜a｜=2，｜b｜=3，且｜a｜<｜b｜，所以说明a、b满足命题的结论；
B、｜a｜=2，｜b｜=3，且｜a｜<｜b｜，所以说明a、b满足命题的结论；
C、｜a｜=5，｜b｜=3，但｜a｜>｜b｜，所以说明a、b不满足命题的结论，故为假命题；
D、｜a｜=3，｜b｜=5，且｜a｜<｜b｜，所以说明a、b满足命题的结论．
故选：C
【点睛】本题验证所给的值是否满足命题的结论，从而判断命题的真假．判断一个命题是假命题，只要举一个反例，它满足命题的条件，但不满足命题的结论即可．
9. “一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x=﹣2实数根的情况是 （ ）
A. 有三个实数根B. 有两个实数根C. 有一个实数根D. 无实数根
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由得，，即是判断函数与函数图象的交点情况.
因为函数与函数的图象只有一个交点
所以方程只有一个实数根
故选C.
考点：函数图象
点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.
10. 如图，在锐角中，，于点D．若，则的长为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点C作于点E，则，可得是等腰直角三角形，，再由勾股定理可得，再证明，可得，设，则，可得，可求出x的值，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于点E，则，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据相似三角形得到是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，其中第18题有2空，第一空1分，第二空2分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 无锡地表水较丰富，外来水源补给充足．市区储量为6349万立方米，用科学记数法表示为 立方米．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：6349万，
故答案为：．
12. 分解因式：=____.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可．
【详解】．
故答案为：
13. 数学中很多图形拥有对称之美，请你在所学习的几何图形中，写出一个既是中心对称图形又是轴对称图形的图形：_____．
【答案】圆（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形”与中心对称图形的概念“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”求解．
【详解】解：圆既是中心对称图形又是轴对称图形的图形，
故答案为：圆（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是熟记轴对称图形和中心对称图形的概念．
14. 二元一次方程组的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法求解方程组即可．
【详解】解：
②-①得：，
解得：，
将代入②得，
解得：，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．
15. 一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为____米．
【答案】
【解析】
【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到的水平距离是3x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为，
∴水平距离为3x，
由勾股定理得：
解得：x=．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解三角形的应用---坡度坡角问题，我们需要记住坡度指的是坡面的铅直高度和水平宽度的比．
16. 图，的3个顶点都在上，直径，，则的长度是 ．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形，掌握圆的相关性质是解题关键．连接，由同弧所对的圆周角相等，得到，由直径得到，然后解直角三角形即可．
【详解】解：连接．
，
，
又为直径，
，
．
故答案为：1．
17. 如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积的计算，矩形的性质，利用勾股定理列式求出，根据旋转的性质可得，然后根据扇形的面积的面积列式计算即可得解．
【详解】解：在矩形中，∵，
∴，
由旋转的性质得，，
∴在运动过程中所扫过的面积．
又的面积为
∴在运动过程中所扫过的面积为，
故答案为：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，是的外接圆，则圆心的坐标为_____，若点是其外接圆上任意一点，则的最大值为_____．

【答案】 ①. ； ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了外接圆的性质，两点间的距离，一元二次方程的根的判别式，由，，都在上，得点在轴上，设，根据两点间的距离即可求出的值，根据外接圆上的点到圆心的距离为，得到，设，则，再转化为一元二次方程的根的判别式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，

∵，，都在上，
∴点在轴上，设，
∴，，
∴，解得：，
∴圆心，
∴外接圆的半径为，
则可得外接圆上的点到圆心的距离为，
∴，
设，则，
∴，整理得：，
∴，即，
∴，
解得：，
∴的最大值为，即的最大值为，
故答案为：；．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质，绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值化简，再计算，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，二次根式的混合运算，分式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20. （1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）利用配方法求此一元二次方程即可；
（2）利用解一元一次不等式的方法分别解不等式组中的不等式，再求不等式组的解集．
【详解】（1）
解：
或
即：
（2）
解：由①移项合并得：
由②去括号得：
移项合并得：
解得：
∴该不等式的解集为
【点睛】本题主要考查一元二次方程和不等式组的解法，熟练掌握配方法及求不等式组解集的方法是解决本题的关键．
21. 如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接．
（1）求证：；
（2）试判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；
（2）四边形是菱形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据证，即可得出结论；
（2）利用（）中全等三角形的对应边相等得到．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到，从而得出结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵是的中点，是边上的中线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
由（）知，，
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，是的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平形四边形的判定及性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握平形四边形的判定及性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
22. 明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，他们可随机选择一个人口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同．
（1）他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为______．
（2）用树状图或列表法求她们两人选择相同入口进入植物园的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率计算公式进行求解即可；
（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到他们两人选择相同入口进入植物园的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有A、B、C、D四个入口，进入每个入口的概率相同，
∴他们其中一人进入植物园时，从入口处进入的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：
由表格可得一共有16种等可能性的结果数，其中他们两人选择相同入口进入植物园的结果数有4种，
∴她们两人选择相同入口进入植物园的概率．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．
23. 为调查无锡市民对某政策的了解情况，某小区随机抽取部分市民进行问卷，结果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型，分别记为、、、．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．
（1）本次问卷共随机调查了 名市民，扇形统计图中 ．
（2）请根据数据信息补全条形统计图．
（3）扇形统计图中“B类型”所对应的圆心角的度数是 ．
（4）若某社区有3000人，请你预估该社区约有多少人不了解政策？
【答案】（1）50，32；
（2）见解析； （3）；
（4）人
【解析】
【分析】（1）A类型的人数除以A的占比即可求出总人数，再根据C类型的人数求出m的值即可；
（2）先求出B类的人数，据此补齐条形统计图即可；
（3）根据圆心角公式求出扇形统计图中“B类型”所对应的圆心角即可；
（4）总人数乘以样本中选择“非常了解”、“比较了解”的人的占比即可．
【小问1详解】
解：（人），；
故答案：50，32；
【小问2详解】
解：（人），
补全条形统计图如下：
；
小问3详解】
解：B类型所对应圆心角度数为，
故答案为：；
【小问4详解】
解：不了解政策的人数：（人）．
【点睛】本题考查了统计的问题，掌握条形统计图的性质、饼状图的性质、圆心角公式是解题的关键．
24. （1）我们把邻边之比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知正方形，请用无刻度直尺和圆规作出黄金矩形，使得点、分别在线段、上．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（）的基础上，若以为边作正方形，使得点、分别在线段、上，则矩形是黄金矩形吗？为什么？
【答案】（1）见解析；（2）矩形是黄金矩形，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，尺规作图，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（）作的垂直平分线交于点，连接，在上取，然后在上取，过作垂线交于点，四边形即为所求；
（）由正方形的性质，，由（）得，从而，即可得解．
【详解】（1）如图，四边形即为所求．
（2）解：矩形是黄金矩形，理由如下：
如下图，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，
由（）得，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴矩形是黄金矩形，．
25. 如图，是圆内接三角形，过圆心作，连接，过点作，交的延长线于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，求半径的长度．
【答案】（1）见解析；
（2）2．
【解析】
【分析】（1）根据，可得出，根据平行线的性质可得，即可得出是的切线；
（2）根据圆周角定理可得，得出，即可证明，根据相似三角形的性质，结合可求出的长，根据勾股定理即可得答案．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：由（）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴由勾股定理得，
解得：（负值舍去），
∴半径的长度为．
【点睛】本题考查平行线的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质及勾股定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；有两个角对应相等的两个三角形相似；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
26. 某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．
【答案】（1），两种纪念品每件的进价分别是元和元
（2）①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32
【解析】
【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
（2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值．
【小问1详解】
解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，
由题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
当时：；
∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元；
【小问2详解】
解：①设利润为，由表格，得：
当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当售价为元时，利润最大为：元；
当，，
∵，
∴当时，利润最大为元；
综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元．
②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，
∴A型纪念品的件数小于100件，
∴，此时该商场购进型纪念品为件，
∴购进型纪念品为件，
∵A型纪念品的件数不小于50件，
∴，
∴，
设总利润为y元，根据题意得：
，
∴
，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴当时，y有最大值，
∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键．
27. 如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点，点是抛物线对称轴上一动点，直线交轴于点，且．
（1）请直接写出，两点的坐标：______，______；
（2）当顶点与点关于轴对称时，．
①求此时抛物线的函数表达式；
②在抛物线的对称轴上是否存在点，使．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）①
②或
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的解析式配方后可得对称轴，根据平行线分线段成比例定理可得点坐标，由对称性可得点坐标；
（2）①根据的面积可得的长，表示点和点的坐标，根据两点的距离公式可列方程，解方程可得结论；
②如图2，当点在的下方时，连接，根据顶点与点关于轴对称，结合已知可证得，在此基础上求出直线的解析式和直线的解析式，进而求出点的坐标；当点在上方时，连接，设，，，，每个点的坐标易求出，可得，的长，所以有，易知是的平分线，因此有，然后过作轴，垂足为，由勾股定理可求出，根据等量代换进而求出点的坐标．
【小问1详解】
∵
∴这个抛物线的对称轴是：直线
∴
如图1所示，
∵轴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
根据抛物线的对称性得
故答案为：，
【小问2详解】
①如图1，
将代入二次函数中得：
∴
∵
∴
∵顶点与点关于轴对称，
∴，即
∵
∴
∴
设直线的解析式为：
∴
∴
∴直线的解析式为：
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴此时抛物线的函数解析式为：；
②如图2，当点在的下方时，连接，
∵顶点与点关于轴对称，
∴
∵
∴
∴
由①得：
∴
设直线的解析式为
∵，
∴
∴
∴直线的解析式
设直线的解析式为：
∵
∴
当时，
∴
如图3，当点在的上方时，连接
设，
∵
∴
∵，
∴，
由勾股定理得
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∵，，
∴
过作轴，垂足为，
在中
∴
∴或(舍去)
∴
综上所述，在抛物线的对称轴上，存在点或，使．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了一次函数解析式和二次函数解析式的确定，函数图象的平移，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法和一次函数与二次函数的图象与性质是解本题的关键．
28. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与坐标原点重合，点A的坐标，点C在x轴正半轴上，点E从A出发以每秒1个单位长度向B运动，点F从C出发以每秒2个单位长度向O运动，当点F运动到点O时，点E也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当以为直径的圆与相切时，求t的值；
（2）求证：在E、F的运动过程中，直线过定点，记为点Q，并求出定点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，将沿翻折，得，（点C的对应点是点），当是直角三角形时，求t的值．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3）或．
【解析】
【分析】（1）设的中点为G，当与相切于点H时，连接，则，求出，，由得到，解方程即可得到答案；
（2）求出直线解析式为，则，当时，，解得，即可证明结论和求出定点的坐标；
（3）分和两种情况分别画出图形，分别进行解答即可．
【小问1详解】
设的中点为G，当与相切于点H时，连接，则，
∵点E从A出发以每秒1个单位长度向B运动，点F从C出发以每秒2个单位长度向O运动，
∴
∵四边形是正方形，点A的坐标，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴点H是的中点，
∴是梯形的中位线，
∴，
∵
∴，
解得或，
∵点F运动到点O时，，，
∴。
即当以为直径的圆与相切时，t的值为；
【小问2详解】
由题意可知，
∵四边形是正方形，点A的坐标，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为，
则
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
当时，，解得，
∴在E、F的运动过程中，直线过定点，记为点Q，定点Q的坐标的坐标为；
【小问3详解】
当时，如图，作轴于点N，
∵Q的坐标的坐标为，点C的坐标是，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
连接，作于点K，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，，
则，
在中，，
∴，
解得，
当时，如图，作轴于点T，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
解得
综上可知，当是直角三角形时，求t的值为或．
【点睛】此题考查了圆的切线的性质、正方形的性质、平行线分线段成比例定理、一次函数的图象和性质、勾股定理、无理方程、梯形中位线的性质等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键．A
B
C
D
A
A，A
B，A
C，A
D，A
B
A，B
B，B
C，B
D，B
C
A，C
B，C
C，C
D，C
D
A，D
B，D
C，D
D，D
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100