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江苏省无锡市梁溪区无锡金桥双语实验学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（中考零模）（原卷版+解析版）
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这是一份江苏省无锡市梁溪区无锡金桥双语实验学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（中考零模）（原卷版+解析版），文件包含江苏省无锡市梁溪区无锡金桥双语实验学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题中考零模原卷版docx、江苏省无锡市梁溪区无锡金桥双语实验学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题中考零模解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
一、选择题
1. 的倒数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．
【详解】的倒数是，
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、（a3）2=a6，正确；
B、a2•a4=a6，故此选项错误；
C、a6÷a2=a4，故此选项错误；
D、3a2-a2=2a2，故此选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、该图形是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
4. 一组数据：2，﹣1，0，3，﹣3，2.则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 0，2B. 1.5，2C. 1，2D. 1，3
【答案】C
【解析】
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3、4个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1，得到这组数据的众数．
【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列，
第3、4个两个数的平均数是，
所以中位数是1；
在这组数据中出现次数最多的是2，
即众数是2，
故选：C．
【点睛】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
5. 正十边形的外角和的度数为（ ）
A. 1440°B. 720°C. 360°D. 180°
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的外角和定理即可得到结果；
【详解】因为多边形的外角和是．
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，准确记忆是解题的关键．
6. 下列事件中，为必然事件的是（ ）
A. 小明买彩票中奖B. 任意抛一只纸杯，杯口朝下
C. 在一个没有红球的袋子里摸到红球D. 任选一个三角形的两边，其和大于第三边
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】、小明买彩票中奖是随机事件，此选项不符合题意；
、任意抛一只纸杯，杯口朝下是随机事件，此选项不符合题意；
、在一个没有红球的袋子里摸到红球是不可能事件，此选项不符合题意；
、任选一个三角形的两边，其和大于第三边是必然事件，此选项符合题意；
故选：．
7. 在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是，则袋中原有黑球（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】首先设袋中的黑球有x个，根据题意得,解此分式方程即可求得答案．
【详解】设袋中黑球有x个，根据题意，得：
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，
所以袋中黑球有4个，
故选C．
【点睛】考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜，
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
9. 如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中．
①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系；
②若为定值，当r变化时，d随r变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；
③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．
其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为，因此为反比例函数关系；
（2）d与r是的邻边和斜边，因此是化简后即正比例函数关系；
（3）三角形面积为×底×高，底为，高为，直接代入即可．
【详解】①，所以与n满足的函数关系是反比例函数关系，正确；
②，所以，所以d与r满足的函数关系是正比例函数关系，正确；
③，所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确．
故选D
【点睛】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂题意，求出其中的函数关系式．
10. 如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④当E是的中点时，；
⑤当时，．
其中正确结论的序号是（ ）
A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①②④⑤D. ①②③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．根据正方形的性质证明，可以判断①；然后证明，可以判断②；由，，根据正方形对角线上的点到，边上的距离相等，即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而可以判断⑤．
【详解】在正方形中，，，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
在正方形对角线上，
到，的距离相等，
，
，
，故③正确；
设正方形的边长为，
，
当是的中点时，．
由勾股定理得：
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当是的中点时，，故④正确，
当时，，
，，
，
，
，
中边上的高与中边上的高相等，，
，
设，则，，
，
，
当时，，
，
，
，
，故⑤不正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④，
故选：A．
二、填空题
11. 分解因式： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式 ，再运用完全平方公式分解．
【详解】解：
．
故答案为：．．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12. 中国空间站在轨平均高度约389000m．用科学记数法表示这个数据是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义计算求值即可；
【详解】解：∵389000=，
故答案为：；
【点睛】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于1的数表示成a×10n 的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
13. 反比例函数的图像经过、两点，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，直接把代入可求出的值，进而代入解答即可．
【详解】把代入得，
解得，
把代入得：，
故答案为：．
14. 如图，的弦、的延长线相交于点，，，则_____．
【答案】##24度
【解析】
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半、三角形的外角性质，根据圆周角定理，求得的度数，结合三角形外角性质即可求出的度数，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
15. 在中，，，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到一个几何体，则该几何体的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出直角三角形斜边的长，然后再求出斜边上的高，最后根据扇形面积公式进行求解即可．
【详解】解：过点C作于点D，
∵，，，
∴，
∴，
∴该几何体的表面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式，准确计算．
16. 在中，，，若O为的内心，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，三角形内心，锐角三角函数的定义，设，，求出，由三角形面积求出，由勾股定理求出，则可得出答案．
【详解】如图，点为的内心，，，，
则四边形是正方形，连接，
在中，，，
设，，
，
设内切圆半径为，则有，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17. 如图，在菱形中，，点E为上一点，将四边形沿着折叠，使得的对应边与交于点F，其中，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】连接，根据折叠额性质与菱形的性质证明，都是等边三角形，证明，得到，证明，求出，证明，再证明，，即可得出结果．
【详解】解：连接，
由折叠的性质得：，
在菱形中，，
，，
都是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
18. 已知：抛物线的顶点为P，以P为圆心，为半径作，A为圆上一动点，，则的最小值为___________．
【答案】####
【解析】
【分析】利用二次函数求出点P点的坐标，再判断点B与的位置关系，再根据点到圆上的最短距离即可求解．
【详解】解：，
，
以P为圆心，为半径作，A为圆上一动点，
点A到点P的距离恒等于，即
点到点的距离为：，
，
，
点在外，
的最小值为，
当点三点共线，且有最小值时，有最小值，最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查点到圆上的最短距离，点圆的位置，二次函数的性质，两点间距离，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）先进行三角函数值，零指数幂运算和二次根式的运算，再进行实数的运用即可；
（）先进行平方差公式和完全平方公式的计算然后合并同类项化成最简即可；
本题考查了实数的混合运算，整式的乘法运算及合并同类项，熟练掌握运用法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式，
，
；
【小问2详解】
解：原式，
，
．
20. （1）解方程：
（2）解不等式
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）移项后配方即可解答；
（2）分别解出两个不等式的解集，再求出其公共部分．
本题考查了解一元二次方程--配方法，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．本题考查了解一元一次不等式组，熟悉不等式的解法是解题的关键．
【详解】解：（1）
移项得：
配方得：
∴，解得：，
解：（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
21. 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，点M、N在对角线BD上，且．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质易得，，在根据已知条件，最后利用边角边即可完成求证．
（2）根据全等三角形的对应角相等，可得，最后根据内错角相等，两直线平行即可完成求证．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、平行线的判定，关键是灵活运用这些知识．
22. 学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生“平均每天参加体育活动的时间”进行了随机抽样调查，下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请回答：
（1）“平均每天参加体育活动时间为0.5~1小时”部分的扇形统计图的圆心角为___________度；
（2）请算出“0.5~1小时”与“1.5小时以上”人数，并补充条形统计图；
（3）该校有2000名学生，估计全校有多少学生平均每天参加体育活动时间在0.5~1小时．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）300
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．
（1）根据圆心角的度数该部分所占总体的百分比求解即可；
（2）分别得到“0.5~1小时”与“1.5小时以上”人数，再将条形统计图补充完整；
（3）0.5～1小时人数为总人数乘以其所占百分比，依此即可求解．
【小问1详解】
解：“平均每天参加体育活动时间为0.5~1小时”所占百分比为，
∴“平均每天参加体育活动时间为0.5~1小时”部分的扇形统计图的圆心角为，
故答案为：；
【小问2详解】
本次一共调查了（人）．
“0.5~1小时”人数为（人），
“15小时以上”人数（人），
将条形统计图补充完整为：
【小问3详解】
（人）．
答：估计全校可能有300名学生平均每天参加体育活动的时间在“0.5～1小时”之间．
23. 如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；
（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？
（2）小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）三根绳子选择一根，求出所求概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的情况数，即可求出所求概率．
【详解】（1）三种等可能的情况数， 则恰好选中绳子AA1的概率是；
（2）列表如下：
所有等可能的情况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有6种，
则P=．
24. 已知，如图，直角中，．
（1）在内画正方形，使得点D在上，E在上，F、G在上（尺规作图，不写画法，保留画图痕迹）；
（2）若，，则（1）中所画的正方形的边长为___________．
（3）仅用无刻度的直尺在（1）的图中作一个三角形，使它的面积是面积的一半，并把所作的三角形用阴影表示出来．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图复杂作图，正方形性质，相似三角形的判定与性质．
（1）先作的平分线交于点，再过点作于点，作于点，则四边形满足条件；
（2）设正方形为边长为，则，，证明得到，即，然后解方程求出即可；
（3）连接、，它们相交于点，则点的中点，则，，所以．
【小问1详解】
如图，四边形为所作；
【小问2详解】
设正方形为边长为，则，，
∵正方形，
∴，
，
，即，
解得，
即（1）中所画的正方形的边长为；
故答案为：；
【小问3详解】
如图，为所作．
25. 为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
【答案】（1）一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．
【解析】
【分析】（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件，根据4≤m≤10，且为整数，m为整数，即可得到答案．
【详解】解：（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，
由题意得：，解得：x=15，
经检验：x=15是方程的解，且符合题意，
∴15×4=60（元），15×3=45（元），
答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；
（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件，
∵4≤m≤10，且为整数，m为整数，
∴m=4，7，10，
答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．
【点睛】本题主要考查分式方程和不等式组的实际应用，准确找出数量关系，列出分式方程或不等式，是解题的关键．
26. 在菱形中，E为对角线上一动点（不与两端重合），过C、D、E三点作，其中，．
（1）连接，若，证明：为圆P的切线；
（2）当P在直线上时，求长；
（3）将位于右上方的弧沿着折叠，当折叠后的弧经过点B时，则的长为___________．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）3
【解析】
【分析】（1）连接与交于点G，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，由菱形的性质得到，即可得到，即可证明结论；
（2）延长交于点N，连接，与于点，过点作于点H，根据菱形的性质，结合解直角三角形得到，利用勾股定理求出，，利用菱形的性质求出，利用勾股定理求出，证明，求出，得到，证明，即可求解；
（3）令折叠后上的点M落在点B处，连接，由圆的内接四边形求出，证明，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接与交于点G，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
平分，
，
，
，
为圆P的半径，
为圆P的切线；
【小问2详解】
解：如图，延长交于点N，连接，与于点，过点作于点H，
在菱形中，，，，
，
，
令，，
，
，
（负值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，令折叠后上的点M落在点B处，连接，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定，菱形的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
27. 如图，在正方形中，P为上一动点，，，，作C关于的对称点，连接、．
（1）当时，求；
（2）连接交、于M、N，若，求y与x的函数关系式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，正方形性质，轴对称的性质；
（1）延长与交于点，利用勾股定理求出、的长即可；
（2）延长与交于点，利用勾股定理表示出的长度，再根据得到求解即可．
【小问1详解】
延长与交于点，设，，
∵正方形中，P为上一动点，，
∴，，，
∵作C关于的对称点，，
∴，，，
∴，，
在中，，即，
在中，，即，
两个方程相减得，
∴，
解得（舍去）
∴，，
∴；
【小问2详解】
延长与交于点，设，，
∵作C关于的对称点，，
∴，，，
∴，，
在中，，即，
在中，，即，
两个方程相减得，
∴，
解得（舍去）
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
整理得．
28. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴的负半轴交于点，与的正半轴交于点，与y轴正半轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第四象限内抛物线上一点，连接交轴于点，过作轴交抛物线于点，连接，设四边形的面积为，点的横坐标的，求与的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，过作轴交于点，连接交于点，点是上一点，连接，当，，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）与的函数解析式为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意设，则，运用韦达定理可得出点坐标，把其中一个代入解析式即可解答；
（2）如图所示，连接，过点作轴于点，作轴于点，根据题意得到点坐标，分别计算，最后根据即可求解；
（3）如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，所以四边形 、四边形是矩形，，用含的式子表示出、、的长，最后在中，利用勾股定理得：，即可解答．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴的负半轴交于点，与的正半轴交于点，，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，，
把，代入二次函数，解得，，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：如图所示，连接，过点作轴于点，作轴于点
∵抛物线与y轴正半轴交于点，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，则，解得，，，
∴，即，
∵点是第四象限内抛物线上一点，点的横坐标的，
∴，即，，，且，，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵点在第四象限，
∴，
∴与的函数解析式为．
【小问3详解】
解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴四边形，四边形是矩形，，
∵，且，
∴，则，且，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，，由勾股定理得，，
∴，解得，，
∴．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，函数图象与坐标轴的交点，解题关键是根据问题恰当作出辅助线．AB
AC
BC
A1B1
×
√
√
A1C1
√
×
√
B1C1
√
√
×
一、选择题
1. 的倒数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．
【详解】的倒数是，
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、（a3）2=a6，正确；
B、a2•a4=a6，故此选项错误；
C、a6÷a2=a4，故此选项错误；
D、3a2-a2=2a2，故此选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、该图形是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
4. 一组数据：2，﹣1，0，3，﹣3，2.则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 0，2B. 1.5，2C. 1，2D. 1，3
【答案】C
【解析】
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3、4个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1，得到这组数据的众数．
【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列，
第3、4个两个数的平均数是，
所以中位数是1；
在这组数据中出现次数最多的是2，
即众数是2，
故选：C．
【点睛】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
5. 正十边形的外角和的度数为（ ）
A. 1440°B. 720°C. 360°D. 180°
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的外角和定理即可得到结果；
【详解】因为多边形的外角和是．
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，准确记忆是解题的关键．
6. 下列事件中，为必然事件的是（ ）
A. 小明买彩票中奖B. 任意抛一只纸杯，杯口朝下
C. 在一个没有红球的袋子里摸到红球D. 任选一个三角形的两边，其和大于第三边
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】、小明买彩票中奖是随机事件，此选项不符合题意；
、任意抛一只纸杯，杯口朝下是随机事件，此选项不符合题意；
、在一个没有红球的袋子里摸到红球是不可能事件，此选项不符合题意；
、任选一个三角形的两边，其和大于第三边是必然事件，此选项符合题意；
故选：．
7. 在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是，则袋中原有黑球（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】首先设袋中的黑球有x个，根据题意得,解此分式方程即可求得答案．
【详解】设袋中黑球有x个，根据题意，得：
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，
所以袋中黑球有4个，
故选C．
【点睛】考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜，
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
9. 如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中．
①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系；
②若为定值，当r变化时，d随r变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；
③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．
其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为，因此为反比例函数关系；
（2）d与r是的邻边和斜边，因此是化简后即正比例函数关系；
（3）三角形面积为×底×高，底为，高为，直接代入即可．
【详解】①，所以与n满足的函数关系是反比例函数关系，正确；
②，所以，所以d与r满足的函数关系是正比例函数关系，正确；
③，所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确．
故选D
【点睛】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂题意，求出其中的函数关系式．
10. 如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④当E是的中点时，；
⑤当时，．
其中正确结论的序号是（ ）
A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①②④⑤D. ①②③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．根据正方形的性质证明，可以判断①；然后证明，可以判断②；由，，根据正方形对角线上的点到，边上的距离相等，即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而可以判断⑤．
【详解】在正方形中，，，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
在正方形对角线上，
到，的距离相等，
，
，
，故③正确；
设正方形的边长为，
，
当是的中点时，．
由勾股定理得：
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当是的中点时，，故④正确，
当时，，
，，
，
，
，
中边上的高与中边上的高相等，，
，
设，则，，
，
，
当时，，
，
，
，
，故⑤不正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④，
故选：A．
二、填空题
11. 分解因式： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式 ，再运用完全平方公式分解．
【详解】解：
．
故答案为：．．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12. 中国空间站在轨平均高度约389000m．用科学记数法表示这个数据是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义计算求值即可；
【详解】解：∵389000=，
故答案为：；
【点睛】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于1的数表示成a×10n 的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
13. 反比例函数的图像经过、两点，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，直接把代入可求出的值，进而代入解答即可．
【详解】把代入得，
解得，
把代入得：，
故答案为：．
14. 如图，的弦、的延长线相交于点，，，则_____．
【答案】##24度
【解析】
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半、三角形的外角性质，根据圆周角定理，求得的度数，结合三角形外角性质即可求出的度数，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
15. 在中，，，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到一个几何体，则该几何体的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出直角三角形斜边的长，然后再求出斜边上的高，最后根据扇形面积公式进行求解即可．
【详解】解：过点C作于点D，
∵，，，
∴，
∴，
∴该几何体的表面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式，准确计算．
16. 在中，，，若O为的内心，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，三角形内心，锐角三角函数的定义，设，，求出，由三角形面积求出，由勾股定理求出，则可得出答案．
【详解】如图，点为的内心，，，，
则四边形是正方形，连接，
在中，，，
设，，
，
设内切圆半径为，则有，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17. 如图，在菱形中，，点E为上一点，将四边形沿着折叠，使得的对应边与交于点F，其中，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】连接，根据折叠额性质与菱形的性质证明，都是等边三角形，证明，得到，证明，求出，证明，再证明，，即可得出结果．
【详解】解：连接，
由折叠的性质得：，
在菱形中，，
，，
都是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
18. 已知：抛物线的顶点为P，以P为圆心，为半径作，A为圆上一动点，，则的最小值为___________．
【答案】####
【解析】
【分析】利用二次函数求出点P点的坐标，再判断点B与的位置关系，再根据点到圆上的最短距离即可求解．
【详解】解：，
，
以P为圆心，为半径作，A为圆上一动点，
点A到点P的距离恒等于，即
点到点的距离为：，
，
，
点在外，
的最小值为，
当点三点共线，且有最小值时，有最小值，最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查点到圆上的最短距离，点圆的位置，二次函数的性质，两点间距离，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）先进行三角函数值，零指数幂运算和二次根式的运算，再进行实数的运用即可；
（）先进行平方差公式和完全平方公式的计算然后合并同类项化成最简即可；
本题考查了实数的混合运算，整式的乘法运算及合并同类项，熟练掌握运用法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式，
，
；
【小问2详解】
解：原式，
，
．
20. （1）解方程：
（2）解不等式
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）移项后配方即可解答；
（2）分别解出两个不等式的解集，再求出其公共部分．
本题考查了解一元二次方程--配方法，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．本题考查了解一元一次不等式组，熟悉不等式的解法是解题的关键．
【详解】解：（1）
移项得：
配方得：
∴，解得：，
解：（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
21. 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，点M、N在对角线BD上，且．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质易得，，在根据已知条件，最后利用边角边即可完成求证．
（2）根据全等三角形的对应角相等，可得，最后根据内错角相等，两直线平行即可完成求证．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、平行线的判定，关键是灵活运用这些知识．
22. 学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生“平均每天参加体育活动的时间”进行了随机抽样调查，下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请回答：
（1）“平均每天参加体育活动时间为0.5~1小时”部分的扇形统计图的圆心角为___________度；
（2）请算出“0.5~1小时”与“1.5小时以上”人数，并补充条形统计图；
（3）该校有2000名学生，估计全校有多少学生平均每天参加体育活动时间在0.5~1小时．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）300
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．
（1）根据圆心角的度数该部分所占总体的百分比求解即可；
（2）分别得到“0.5~1小时”与“1.5小时以上”人数，再将条形统计图补充完整；
（3）0.5～1小时人数为总人数乘以其所占百分比，依此即可求解．
【小问1详解】
解：“平均每天参加体育活动时间为0.5~1小时”所占百分比为，
∴“平均每天参加体育活动时间为0.5~1小时”部分的扇形统计图的圆心角为，
故答案为：；
【小问2详解】
本次一共调查了（人）．
“0.5~1小时”人数为（人），
“15小时以上”人数（人），
将条形统计图补充完整为：
【小问3详解】
（人）．
答：估计全校可能有300名学生平均每天参加体育活动的时间在“0.5～1小时”之间．
23. 如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；
（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？
（2）小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）三根绳子选择一根，求出所求概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的情况数，即可求出所求概率．
【详解】（1）三种等可能的情况数， 则恰好选中绳子AA1的概率是；
（2）列表如下：
所有等可能的情况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有6种，
则P=．
24. 已知，如图，直角中，．
（1）在内画正方形，使得点D在上，E在上，F、G在上（尺规作图，不写画法，保留画图痕迹）；
（2）若，，则（1）中所画的正方形的边长为___________．
（3）仅用无刻度的直尺在（1）的图中作一个三角形，使它的面积是面积的一半，并把所作的三角形用阴影表示出来．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图复杂作图，正方形性质，相似三角形的判定与性质．
（1）先作的平分线交于点，再过点作于点，作于点，则四边形满足条件；
（2）设正方形为边长为，则，，证明得到，即，然后解方程求出即可；
（3）连接、，它们相交于点，则点的中点，则，，所以．
【小问1详解】
如图，四边形为所作；
【小问2详解】
设正方形为边长为，则，，
∵正方形，
∴，
，
，即，
解得，
即（1）中所画的正方形的边长为；
故答案为：；
【小问3详解】
如图，为所作．
25. 为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
【答案】（1）一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．
【解析】
【分析】（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件，根据4≤m≤10，且为整数，m为整数，即可得到答案．
【详解】解：（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，
由题意得：，解得：x=15，
经检验：x=15是方程的解，且符合题意，
∴15×4=60（元），15×3=45（元），
答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；
（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件，
∵4≤m≤10，且为整数，m为整数，
∴m=4，7，10，
答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．
【点睛】本题主要考查分式方程和不等式组的实际应用，准确找出数量关系，列出分式方程或不等式，是解题的关键．
26. 在菱形中，E为对角线上一动点（不与两端重合），过C、D、E三点作，其中，．
（1）连接，若，证明：为圆P的切线；
（2）当P在直线上时，求长；
（3）将位于右上方的弧沿着折叠，当折叠后的弧经过点B时，则的长为___________．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）3
【解析】
【分析】（1）连接与交于点G，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，由菱形的性质得到，即可得到，即可证明结论；
（2）延长交于点N，连接，与于点，过点作于点H，根据菱形的性质，结合解直角三角形得到，利用勾股定理求出，，利用菱形的性质求出，利用勾股定理求出，证明，求出，得到，证明，即可求解；
（3）令折叠后上的点M落在点B处，连接，由圆的内接四边形求出，证明，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接与交于点G，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
平分，
，
，
，
为圆P的半径，
为圆P的切线；
【小问2详解】
解：如图，延长交于点N，连接，与于点，过点作于点H，
在菱形中，，，，
，
，
令，，
，
，
（负值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，令折叠后上的点M落在点B处，连接，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定，菱形的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
27. 如图，在正方形中，P为上一动点，，，，作C关于的对称点，连接、．
（1）当时，求；
（2）连接交、于M、N，若，求y与x的函数关系式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，正方形性质，轴对称的性质；
（1）延长与交于点，利用勾股定理求出、的长即可；
（2）延长与交于点，利用勾股定理表示出的长度，再根据得到求解即可．
【小问1详解】
延长与交于点，设，，
∵正方形中，P为上一动点，，
∴，，，
∵作C关于的对称点，，
∴，，，
∴，，
在中，，即，
在中，，即，
两个方程相减得，
∴，
解得（舍去）
∴，，
∴；
【小问2详解】
延长与交于点，设，，
∵作C关于的对称点，，
∴，，，
∴，，
在中，，即，
在中，，即，
两个方程相减得，
∴，
解得（舍去）
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
整理得．
28. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴的负半轴交于点，与的正半轴交于点，与y轴正半轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第四象限内抛物线上一点，连接交轴于点，过作轴交抛物线于点，连接，设四边形的面积为，点的横坐标的，求与的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，过作轴交于点，连接交于点，点是上一点，连接，当，，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）与的函数解析式为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意设，则，运用韦达定理可得出点坐标，把其中一个代入解析式即可解答；
（2）如图所示，连接，过点作轴于点，作轴于点，根据题意得到点坐标，分别计算，最后根据即可求解；
（3）如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，所以四边形 、四边形是矩形，，用含的式子表示出、、的长，最后在中，利用勾股定理得：，即可解答．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴的负半轴交于点，与的正半轴交于点，，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，，
把，代入二次函数，解得，，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：如图所示，连接，过点作轴于点，作轴于点
∵抛物线与y轴正半轴交于点，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，则，解得，，，
∴，即，
∵点是第四象限内抛物线上一点，点的横坐标的，
∴，即，，，且，，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵点在第四象限，
∴，
∴与的函数解析式为．
【小问3详解】
解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴四边形，四边形是矩形，，
∵，且，
∴，则，且，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，，由勾股定理得，，
∴，解得，，
∴．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，函数图象与坐标轴的交点，解题关键是根据问题恰当作出辅助线．AB
AC
BC
A1B1
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