辽宁省锦州市太和区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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（考试时间90分钟，试卷总分100分）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
2. 已知等腰三角形的顶角度数为，则底角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．
【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，顶角是，
其底角为．
故选：C．
3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A. 4cm、5cm、6cmB. 6cm、8cm、9cmC. 3cm、4cm、5cmD. 2cm、3cm、4cm
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，即较小两边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此逐项分析即可判断．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，符合题意；
D、，不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
4. 若，则下列选项中，一定成立是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质，直接利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵，
A、，故原不等式成立，符合题意，
B、，故原不等式不成立，不符合题意；
C、，故原不等式不成立，不符合题意；
D、，故原不等式不成立，符合题意；
故选：A．
5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式求解集，然后把解集表示在数轴上解题．
【详解】解：
，
在数轴上表示为：
故选B．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，能正确解不等式是解题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的平移．根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，计算即可得解．
【详解】解：∵向左平移3个单位长度后，再向下平移1个单位长度，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：C．
7. 如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（ ）
A. 的三条中线的交点B. 三边的垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条高所在直线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”判断即可．
【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则学校应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故选：B．
8. 如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，则线段的长度不可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：如图，过点D作于E，
是的角平分线，，
，
由垂线段最短可得，
，
．
故选：A．
9. 如图，直线的图象经过点，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察函数图象得到答案即可．
【详解】解：由图象可得：当x＞﹣1时，kx+b＞2，
所以不等式kx+b＞2的解集为x＞﹣1，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连接，则的长为（ ）
A. 6B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角直角三角形性质等知识；由旋转的性质及已知得是等边三角形，由含30度角直角三角形性质及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由勾股定理得．
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 命题“若中，，则”，若用反证法证明此命题时，应假设：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反证法，从命题结论反面出发进行假设进而得出答案．
【详解】解：命题“若中，，则”，
若用反证法证明此命题时，应假设：
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的第一步是解题关键．
12. 某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，设该护眼灯最多可降价x元，据题意可列不等式________．
【答案】
【解析】
【分析】根据利润率利润进价，标价进价降价利润即可求解．
【详解】解：由题意可列不等式：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查列一元一次不等式，找到题中的不等关系是解题的关键．
13. 已知不等式组的解集是，则a的值是_________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，根据不等式的解法先求得不等式的解，再求其公共解集，结合已知不等式组解集，即可列出关于a的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，则，
∵不等式组解集是，
∴，解得．
故答案为：0．
14. 如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点．，，垂足分别为，．则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要是全等三角形的判定与性质、角平分线与垂直平分线的性质问题；
连接，，证明推出，，证明，推出，可得结论．
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【详解】解：如图，连接，，
是的平分线，，，
，，
在和中，
，
，
，，
是的垂直平分线，
．
在和中，
，
，
，
．
，，
．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，点在边上，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，．当是等腰三角形时，的长为______．

【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，灵活运用分类讨论的思想是解答本题的关键．
根据题意，分两种情况：当时，当时，分别利用勾股定理列出式子，计算得到结果．
【详解】解：根据题意设：
，则，
当时，

根据题意得：，
在中，，
即，
解得：，即，
当时，作于点，如图，

由旋转的性质得：，，
，
，
，，
，
中，
，
，即，
，
解得：，
，
综上，的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共3个题，16题、17题各8分，18题6分，共22分）
16. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
【答案】（1），数轴表示见解析
（2），数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集：
（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【小问1详解】
解；
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
其解集在数轴上表示为：
【小问2详解】
解：，
去分母得：，
移项合并同类项得：，
解得：，
把解集数轴上表示出来，如下：
17. （1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组：，并求不等式组的正整数解．
【答案】（1），数轴表示见解析；（2）原不等式组的解集为，原不等式组的正整数解为
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组，数轴上表示不等式组的解集，求不等式组的整数解：
（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出不等式组的解集即可．
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出求整数解即可．
【详解】（1）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示如下：
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组的解集为．
原不等式组的正整数解为．
18. 某软件公司开发一种图书软件，前期投入的开发、广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费200元．如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套才能确保不亏本？
【答案】软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本
【解析】
【分析】设软件公司要售出x套软件才能确保不亏本，根据题意列出不等式即可进行求解.
【详解】设软件公司要售出x套软件才能确保不亏本，
则有：700x≥50000+200x，
解得：x≥100．
答：软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本．
【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式.
四、解答题（本大题8分）
19. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）的形状为 三角形；
（2）把向右平移5个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的；
（3）画出绕点A顺时针旋转的，并写出点的坐标．
【答案】（1）等腰直角
（2）见解析 （3）图见解析，点的坐标为
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理及勾股定理逆定理可得结论；
（2）根据平移的性质作图即可；
（3）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【小问1详解】
由勾股定理得，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
【小问2详解】
如图，即为所求．
【小问3详解】
如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换、平移变换、勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
五、解答题（本大题共2个题，每题8分，共16分）
20. 如图，在中，，平分，于点E，点F在上，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论．
【详解】解：∵平分，，，
∴，，
又，
∴，
∴．
21. 某服装厂生产一批西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案．甲种方案：买一套西装送一条领带；乙种方案：西装和领带均按定价的付款，某商场经理现要到该服装厂进货（只能选择两个方案中的一个进货），准备购买西装20套，领带条．
（1）按甲种方案花费______元，按乙种方案花费______元；（分别用含x的代数式表示）
（2）根据x的不同情况，经理选择哪种优惠方案进货花费少？
【答案】（1），
（2）当时，选择甲种优惠方案进货花费少；当时，选择两种优惠方案进货费用相同；当时，选择乙种优惠方案进货花费少
【解析】
【分析】（1）根据总价单价数量结合两种优惠方案，即可用含x的代数式表示出选择甲、乙两种优惠方案所需费用；
（2）分，和三种情况，可找出关于x一元一次不等式或一元一次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：按甲种方式花费元；
按乙种方式花费元．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：当时，，
解得：，
又∵，
∴；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：．
答：当时，选择甲种优惠方案进货花费少；当时，选择两种优惠方案进货费用相同；当时，选择乙种优惠方案进货花费少．
【点睛】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确理解题意．
六、解答题（本大题共2个题，22题10分，23题9分，共19分）
22. 如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图象分别与x轴交于点A、点B，两直线相交于点C．已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题：

（1）关于x的方程的解是______；
关于x的不等式的解集是______；
（2）直接写出：关于x的不等式组的解集是______；
（3）若点C坐标为，
①关于x的不等式的解集是______；
②请求出的面积．
【答案】（1）；
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案；
（2）根据图象找到两函数图象在x轴上方部分对应的x的范围即可；
（3）根据图象找到图象在图象上方所对应的x的范围即可；利用三角形面积公式求得即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数和的图象，分别与轴交于点、，
∴关于的方程的解是，
关于的不等式的解集，为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：根据图象可以得到关于的不等式组的解集；
故答案为：；
【小问3详解】
解：①∵点，
∴由图象可知，不等式的解集是；
②∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，正确利用数形结合解题是解题关键．
23. （1）观察推理：如图①，中，，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，，垂足分别为D、E．求证：；
（2）类比探究：如图②，中，，将斜边绕点A逆时针旋转至，连接，求的面积．
（3）拓展提升：如图③，等边中，，点O在上，且，动点P从点E沿射线以速度运动，连结，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．要使点F恰好落在射线上，求点P运动的时间t．

【答案】（1）见解析（2）8（3）
【解析】
【分析】（1）由可证；
（2）由可证，可得，由三角形的面积公式可求解；
（3）利用旋转的性质得，再证明得到，则，然后计算点P运动的时间t．
【详解】（1）证明：如图1，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图2，作于D，

，，
，
∵斜边绕点A逆时针旋转至，
，
即，
而，
，
在和中，
，
，
，
的面积；
（3）解：当点P在线段的延长线上时，点F恰好落在射线上，

，，
，
∵线段绕点O逆时针旋转得到线段，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
在和，
，
，
，
，
∴点P运动的时间．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．