辽宁省锦州市黑山县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份辽宁省锦州市黑山县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，探究题等内容，欢迎下载使用。

亲爱的同学，这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获． 我们一直投给你信任的目光．请认真审题，看清要求，仔细答题． 预祝你取得好成绩！
考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本题共10个题．每题2分，计20分．每小题的四个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内．）
1. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断选择即可．本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴一定成立，
故A不符合题意；
∵，
∴，
故B不符合题意；
∵，
∴，
故C不符合题意；
∵，
∴不一定成立，符合题意，
故D符合题意；
故选D．
2. 在下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D. 试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
3. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ）
A. ＜-1B. ≤2C. -1＜≤2D. ≤-1
【答案】A
【解析】
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法得出该不等式即可．
【详解】解：∵出是空心原点，且这线向左，
∴x<-1，
故选A．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键．
4. 下列命题：①等腰三角形两腰上高相等；②若，则；③全等三角形对应角相等；④直角三角形两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数有（ ）．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】先判断出原命题的正误，再把正确的命题写出其逆命题，判断出其正误即可．
【详解】解：①等腰三角形两腰上高相等，是真命题，
逆命题为：两边高相等的三角形是等腰三角形，是真命题；
②若，且，则，是假命题；
逆命题为：若，则，是真命题；
③全等三角形对应角相等，是真命题，
逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
④直角三角形两锐角互余，是真命题；
逆命题为：两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题．
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题与定理，掌握等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的两锐角互余，不等式的性质是解题的关键．
5. 中，，边的中垂线与直线所成的角为，则等于（ ）
A. B. 或C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质， 熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 ．由于的形状不能确定， 故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论 ．
【详解】解： 如图①， 当的中垂线与线段相交时， 则可得，
，
，
，
；
如图②， 当中垂线与线段的延长线相交时， 则可得，
，
，
，
，
．
底角为或．
故选：B．
6. 下列不等式中，解集不同的是（ ）.
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出每个选项中每一个不等式的解集，再比较即可．
【详解】A．不等式的解集是，的解集是，解集相同，故不符合题意；
B．的解集是，与相同，故不符合题意；
C．的解集是，与相同，故不符合题意；
D．的解集是，与不相同，故符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键．
7. 学完直角三角形的性质后，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸公园B之间的距离，在学校附近选一点C，测量出，利用测量仪器测得，则学校与公园之间的直线距离等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解三角形，根据题意得出，再利用勾股定理求解即可
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴即，
解得：，
∴，
故选：C
8. 小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（ ）
A. 210x+90（15﹣x）≥1800B. 90x+210（15﹣x）≤1800
C. 210x+90（15﹣x）≥1.8D. 90x+210（15﹣x）≤1.8
【答案】A
【解析】
【分析】根据跑步的路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可．
【详解】解：由题意可得
210x+90（15﹣x）≥1800，
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用，找出题目中的不等关系是解此题的关键．
9. 如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得三角形已知，则阴影部分的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用勾股定理求出，再利用平移变换的性质，可得结论．
【详解】解∶在中，，
，
阴影部分的周长．
故选∶A．
【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
10. 如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：是等边三角形；的值不变；；四边形 面积不变．其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．如图作于E，于F．只要证明，再证明，即可一一判断．
【详解】解：作于E，于F，如图所示：
，
，
，
，
，
平分，于E，于F，
，，
∴，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
是等边三角形，故正确；
，
定值，故正确；
，故正确；
M，N的位置变化，
的长度是变化的，故错误；
故选：C．
二、填空题（本题共5个题．每题2分，计10分请将正确的答案填写在横线上．）
11. 已知关于x的不等式的解集是，则a的值为_____________.
【答案】3
【解析】
【分析】解不等式x+1＜2a得x＜2a-1，得到2a-1=5，然后解方程即可．
【详解】解：解不等式x+1＜2a，得x＜2a-1．
∵不等式x+1＜2a的解集是x＜5，
∴2a-1=5．
∴a=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了不等式的解集，属于基础题，关键是掌握不等式的基本性质．
12. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转 到的位置，连接，则的长为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线，旋转的知识，解题的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用．连接，根据勾股定理求出，根据旋转的性质，，且，根据等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，则垂直平分，再根据勾股定理，求出，最后根据，即可．
【详解】解：连接，设与的交点为点，
∵，，
∴，
∵绕点逆时针旋转 到的位置，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解集是_____________．
【答案】x＜
【解析】
【分析】先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．
【详解】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，
解得m，
∴点A的坐标是（，3），
∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14. 如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长是______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查角平分线尺规作图，等腰三角形底边上三线合一，勾股定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，根据题意综合运用这些知识点是解题关键．
根据作图得到是的角平分线，结合可得，，根据勾股定理即可得到，根据F为的中点得到，即可得到答案．
【详解】解：∵以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，
∴是的角平分线，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
故答案为：．
15. 定义新运算：对于任意实数a，b都有：，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：，那么不等式的最小整数解为___________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查定义新运算，求不等式的整数解，根据新运算的法则，列出不等式，进而求出不等式的解集，确定最小整数解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
∴最小整数解为：0，
故答案为：0．
三、解答题（本题共2个题．16题每题4分，17题8分，计20分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．）
16. （1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式，并写出正整数解的个数．
（3）解不等式组，并写出x的非负整数解．
【答案】（1），数轴表示见解析；（2），5个；（3），非负整数解为0，1
【解析】
【分析】（1）根据一元一次不等式的解法，去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可，再按照数轴表示不等式解集的方法画出数轴即可得到答案；
（2）根据一元一次不等式的解法，去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可，再列举出满足解集的正整数解即可得到答案；
（3）根据一元一次不等式组的解法，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集，进而求出正整数即可得到答案．
【详解】解：（1），
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
，
在数轴上表示不等式解集为：
；
（2），
去分母得，
去括号得，
移项得，
，
满足题意正整数解为，共5个；
（3），
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，
的非负整数解为0，1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式及不等式组，涉及数轴表示不等式的解集、求不等式的正整数解、求不等式组的非负整数解等知识，熟练掌握一元一次不等式及不等式组的解法是解决问题的关键．
17. 嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成，请你解不等式组；
（2）王老师说：不等式组的解集是，请求常数“□”的取值范围．
【答案】（1）
（2）“□”的取值范围为大于等于
【解析】
【分析】（1）根据题意求不等式的解集即可；
（2）先求出各个不等式的解集，然后由不等式组的解集求解即可．
【小问1详解】
解：解不等式，得
解不等式，得
所以不等式组的解集是
【小问2详解】
设常数“□”为a，
解不等式，得
又因为不等式的解集为，
不等式组的解集为，
所以，
解得，．
∴“□”的取值范围为大于等于．
【点睛】题目主要考查求不等式组的解集及其相关参数，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题关键．
四、解答题（本题共1个题．18题计6分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．）
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，

（1）若点的坐标为，画出经过平移后得到的，并写出点的坐标；
（2）若绕着坐标原点按逆时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标．
【答案】（1）画图见解析，
（2）画图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质作图，可得出点的坐标．
（2）根据旋转的性质作图，可得出点的坐标．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
点的坐标为；
【小问2详解】
如图，即为所求．
点的坐标为．
【点睛】本题考查作图平移变换和旋转变换，熟练掌握平移和旋转变换的性质是解答本题的关键．
五、解答题（本题共3个题．19题6分，20题8分，21题8分，计22分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．）
19. 期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，甲种笔记本每本10元，乙种笔记本每本5元，两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，求最多能购买多少本甲种笔记本？
【答案】最多需要购买本甲种笔记本
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，读懂题意，设能购买本甲种笔记本，由班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，列出不等式求解即可得到答案，实际应用题中的取值是解决问题的关键．
【详解】解：设能购买本甲种笔记本，
根据题意得，
解得 ，
∴取最大整数为，
答：最多需要购买本甲种笔记本．
20. 如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，．
（1）求证：是的中点；
（2）求证．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（）连接，由直角三角形的性质可得，由是中线得，进而可得，即得，再根据三角形三线合一即可求证；
（）由等腰三角形的性质得，，再根据三角形外角性质即可求证；
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的中线，
∴是的中线，
∵高，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即是的中点；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21. 某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：
（1）分别写出甲、乙两商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式；
（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？
【答案】（1），
（2）当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是理解题意，根据题意，利用函数的思想解决问题，即可．
（1）根据题意，列出相应的函数关系式，即可；
（2）根据（1）中的函数关系式，列出相应的不等式，即可．
【小问1详解】
甲商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：；
乙商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：．
【小问2详解】
当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
答：当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠．
六、探究题（本题共2个题．22题10分，23题12分，计22分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．）
在学习了“三角形的证明”一章后，小颖对特殊三角形进行了如下研究：
如图1，和都是等边三角形．

22. 【探究发现】
（1）与是否全等?若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
【拓展运用】
23. （2）若B、C、E三点不在一条直线上，，，，求的长．
24. （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且和的边长分别为2和3，直接写出的长．
【答案】22. ，理由见解析
23.
24.
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）依据等式的性质可证明，然后依据可证明；
（2）由（1）知：，利用勾股定理计算的长，可得的长；
（3）过点A作于F，先根据平角的定义得，利用特殊角的三角函数可得和的长，最后根据勾股定理可得的长．
【22题详解】
解：全等，理由是：
和都是等边三角形，
，，，
，
，
和中，
，
，
【23题详解】
解：由（1）得：，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，，
，
；
【24题详解】
解：如图，过点A作于F，
B、C、E三点在一条直线上，
，
和都是等边三角形，
，
，
在中，，
，，，
在中，，
．
25. 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ．
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ．
①；②；③；④；
【问题拓展】
（3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ．
（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积．
【答案】（1）；（2）①④；（3）见解析；（4）
【解析】
【分析】（1）由题意知，，则，，，由，可得，求解作答即可；
（2）如图2，延长到，使，连接，证明，则，，，由，，可得，进而可证，则，，可判断①、④的正误；由，可知当时，，由，的关系未知，可判断②、③的正误；
（3）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得；
（4）如图4，由，，可得，，，由，可得，即，，由，根据，求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：；
（2）解：如图2，延长到，使，连接，
图2
∵，，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，①④正确，故符合要求；
∵，
∴当时，，
∵，关系未知，
∴②③错误，故不符合要求；
故答案为：①④；
（3）证明：如图3，延长到点P，使，连接，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵与互补，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4） 解：如图4，
图4
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质是解题的关键．商 场
优惠条件
甲商场
第一台按原价收费，其余每台优惠
乙商场
每台优