辽宁省锦州市北镇市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间80分钟 试卷满分100分
第一部分 选择题（共20分）
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过某桥洞时，我们看到如图所示的限制车高标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的定义．根据不等式的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
故选：D．
2. 如图，沿方向平移得到，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，先根据线段的和差关系得到，则由平移的性质可得．
【详解】解：∵，
∴，
由平移的性质可得，
故选：C．
3. 下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数并且未知数的次是1的不等式是一元一次不等式，据此求解即可．
【详解】解：根据一元一次不等式的定义可知，四个选项中只有C选项中的不等式是一元一次不等式，
故选：C．
4. 下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可得．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符题意；
D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，则此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
5. 若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，解得．
故选：A．
6. 已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是（ ）
A. 9B. 12C. 9或12D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】所给出的边2、5均可以作腰，也可以作底，分两种情况讨论，注意使用三角形三边的关系进行判断．
【详解】解：①若2为腰，则 ，不能构成三角形，此种情况舍去；
②若2为底，则 ，能构成三角形，故周长是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边的关系，解题的关键是注意分情况讨论．
7. 下列命题：①两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；②两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；③一条直角边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；④斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．其中真命题有（ ）
A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了判断命题真假，全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：．
【详解】解：①两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；
②两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，原命题是真命题；
③一条直角边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等，原命题是真命题；
④斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，原命题是真命题．
故选：D．
8. 若第二象限内点P的坐标为，则a的值可能（ ）
A B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了第二象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组，根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵是第二象限内的点，
∴，
∴，
∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选：A．
9. 如图1，已知三角形纸片，，，将其折叠，如图2所示，使点A与点B重合，折痕为，点E，D分别在，上，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，根据，可求得，结合折叠的性质，得到根据,选择即可．
【详解】．∵，,
∴，
折叠的性质，得到,
∴,
故选B．
10. 如图，在中，，平分，于点，有下列结论：①；②；③当时，是的中点；④当，时，．其中正确的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的性质可判定①；根据直角三角形两锐角互余可判断②；确定，继而得到，，由等腰三角形三线合一性质可判断③；设，证明，得，再根据勾股定理得，可判断④；可得答案．
【详解】解：∵平分，，即，
∴，
故结论①正确；
∵，即，
∴，
故结论②正确；
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴是边上的中线，即点是的中点，
故结论③正确；
∵，，，
∴，
设，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故结论④正确，
∴正确的有个．
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线性质，角平分线的定义，等腰三角形的三线合一性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理．掌握角平分线性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键．
第二部分 非选择题（共80分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式得解集，先解不等式得到，再由数轴可知，不等式得解集为，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：解不等式得，
由数轴可知，不等式得解集为，
∴，
∴，
故答案为：1．
12. 如图，等边的周长是9，D是边上的中点，E在的延长线上．若，则的长为 ___．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质．由等边三角形的三边相等且周长为9，求出的长为3，且；然后根据等边三角形的“三合一”的性质推知，再由等边对等角推知；最后由外角定理求出也为，根据等角对等边得到，都等于边长的一半，从而求出的值．
【详解】解：∵为等边三角形，D为边上的中点，
∴为的平分线，且，即，
又，
∴，
∴，即，
∴；
∵等边的周长为9，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 等腰三角形一边上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角的度数为________
【答案】或
【解析】
【分析】分为“高在三角形内部”和“高在三角形外部”两种情况讨论．
【详解】解：如图1：
∵，
∴；
如图2：
∵，
∴，
∴
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角的内角和定理，及分类讨论思想，熟知以上知识是解题的关键．
14. 已知一元一次不等式组的解集为．则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．根据不等式组取解集的方法确定出的范围即可．
【详解】解：解不等式，得，
因为一元一次不等式组的解集为．
所以．
故答案为：．
15. 如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵为直线上一动点，
∴，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形三边关系，三角形的面积与周长等知识，解题的关键是确定．
三、解答题（本题共8小题，共65分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 解不等式（组）
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组：
（1）按照去分母，去括号，移项， 合并同类项的步骤解不等式即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【小问1详解】
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：；
【小问2详解】
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为．
（1）画出向左平移6个单位长度后得到的；
（2）画出与关于原点O成中心对称．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称：
（1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可；
（2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
18. 关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式， 实数的性质等等，先利用加减消元法得到，则，进而求出，据此先计算算术平方根和去绝对值，再合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
19. 如图，在等腰中，，腰的垂直平分线交底于点，垂足为点．

（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形判定与性质、中垂线性质及含的直角三角形性质，数形结合，求出各个角度是解决问题的关键．
（1）由等腰三角形性质得到，再由中垂线的性质得到，最后再由等腰三角形性质即可得到答案；
（2）由（1）中所求各个角度，利用含的直角三角形性质结合条件即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
，
是的垂直平分线，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
，
是的垂直平分线，
，
在中，，，则，
．
20. 某中学为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，计划开展跳绳比赛．该校七年一班分两次购买跳绳，第一次购买20条长跳绳和30条短跳绳共花费590元，第二次购买10条长跳绳和10条短跳绳共花费260元．
（1）求长跳绳和短跳绳的单价各是多少元？
（2）若七年三班也准备购买同样的长跳绳和短跳绳共50条，且总费用不超过600元，则七年三班最多能购买长跳绳多少条？
【答案】（1）长跳绳和短跳绳的单价各是19元，7元
（2）七年三班最多能购买长跳绳20条
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式得实际应用：
（1）设长跳绳和短跳绳的单价各是x元，y元，根据第一次购买20条长跳绳和30条短跳绳共花费590元，第二次购买10条长跳绳和10条短跳绳共花费260元列出方程组求解即可；
（2）设七年三班购买长跳绳m条，则购买短绳条，根据购买费用不超过600元列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设长跳绳和短跳绳的单价各是x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：长跳绳和短跳绳的单价各是19元，7元，
【小问2详解】
解：设七年三班购买长跳绳m条，则购买短绳条，
由题意得，，
解得，
∵m是整数，
∴m的最大值为20，
答：七年三班最多能购买长跳绳20条．
21. 如图，D是的外角平分线上的一点，．
（1）求证：；
（2）若是等腰直角三角形，，，，与交于点F，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角：
（1）过点作于点，作于点，首先根据角平分线的性质定理证明，再利用“”证明，即可证明结论；
（2）首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质证明，进而可证明．
【小问1详解】
证明：如下图，过点作于点，作于点，
∴，
∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，即，
∴，
∴.
22. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来，为弘扬和传承中华民族的传统文化，强化劳动教育成果，锦江区某中学在端午节前夕，面向全体学生开展了包粽子比赛活动．已知A小组同学包的粽子个数y（个）与所用时间x（分）的关系如图2所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若B小组同学每分钟能包6个粽子，什么时候A小组同学包的粽子个数会超过B小组？
【答案】（1）
（2）20分钟后A小组同学包的粽子个数会超过B小组
【解析】
【分析】此题考查了一次函数和一元一次不等式的应用，读懂题意，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据图象分段用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出B组同学包的粽子个数y（个）与所用时间x（分）的函数解析式，再根据A小组同学包的粽子个数会超过B小组．列出不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：当时，设y与x之间的函数关系式为，
把代入解析式得：，
解得，
∴；
当时，设y与x之间的函数关系式为，
把，代入解析式得：，
解得，
∴，
综上所述，y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
根据题意B组同学包的粽子个数y（个）与所用时间x（分）的函数解析式为，
∴当A小组同学包的粽子个数超过B小组时，，
解得，
∴20分钟后A小组同学包的粽子个数会超过B小组．
23. 【阅读理解】如图，
（1）如图1，在四边形中，，E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
某同学给出了解决这个问题一种思路：如图2，延长交的延长线于点F，通过证明，得到，从而把，，转化到一个三角形中，由此即可判断，，之间的数量关系．请利用该同学的解题思路或用你自己的方法直接写出，，之间的数量关系；
（2）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长；
（3）如图4，是的中线，是的中线，且，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由见解析
（2）4 （3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中线的定义，垂直平分线的性质等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
（1）先判断出，推出，再通过等量代换证明，根据等角对等边得出，即可得出；
（2）延长，交于点．先利用证明，推出，，结合，可知是垂直平分线，进而可得；
（3）延长至F，使，先证，推出，，再证，由全等三角形的性质可得结论．
【小问1详解】
解：，理由如下：
延长交的延长线于点F，
，
，，
又点E是的中点，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，延长，交于点．
，
，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
是的垂直平分线，
；
【小问3详解】
解：，理由如下：
如图，延长至F，使，
是的中线，
．
在和中，
，
，
，．
，
，．
是的中线，
，
，
，，
，
和中，
，
，
；