2024年江苏省扬州市中考数学三模冲刺训练卷（原卷+解析）

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一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
1. 中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．
如果公元前500年记作年，那么公元2023年应记作（ ）
A．年．B．年．C．年．D．年．
【答案】C
【分析】根据相反意义的量进行求解即可．
【详解】解：公元前500年记作年，
公元前为“”，
公元后为“”，
公元2023年就是公元后2023年，
公元2023年应记作年．
故选：C．
2 . 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，而在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进一步对各个图形加以判断即可.
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项符合题意；
C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：B.
3 .如图，现将一块含有60°角的三角板的顶点放在直尺的一边上，
若∠2=50°，那么∠1的度数为（ ）

A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠2=50°，
∴∠3=50°，
∵∠1+∠3+60°=180°，
∴∠1=180°-60°-50°，
∴∠1=70°，
故选：C．
4 . 若点A(−1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函数y=（k为常数）的图象上，
则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A（-1，a），B（1，b），C（2，c）所在的象限，确定a、b、c大小关系．
【详解】解：∵k为常数，
∴k2+3＞0，
∴反比例函数y=（k为常数）的图象位于一三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
因此点A（-2，a）在第三象限，而B（1，b），C（2，c）在第一象限，
∴a＜0，b＞c＞0，
∴a＜c＜b，
故选：D．
5. 某校春季运动会比赛中，七年级六班和七班的实力相当，关于比赛结果，
甲同学说：六班与七班的得分比为4∶3， 乙同学说：六班比七班的得分2倍少40分，
若设六班得x分，七班得y分，则根据题意可列方程组（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设六班得x分，七班得y分，根据：六班与七班的得分比为4：3，六班比七班的得分2倍少40分，可列方程组．
【详解】解：设六班得x分，七班得y分，则根据题意可列方程组：
，
故选：A．
6 .赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，
若BF＝6，AE＝8，则AB的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】连接EF，设AE交BF于点O．证明四边形ABEF是菱形，再利用勾股定理求解．
【详解】解：连接EF，设AE交BF于点O．
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAG，
∴∠BAG＝∠AEB，
∴AB＝BE，
由作图可知：AB＝AF，
∴BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AO＝OE＝4，OB＝OF＝3，AE⊥BF，
∴AB＝，
故选：A．
8 .如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，以下结论：
①， ②， ③， ④当时，．
其中正确的结论的个数是（ ）

A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】由抛物线开口方向得a<0，利用对称轴在y轴的右侧得b>0，则可对①进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得c=1，a-b+c=0，则b=a+c=a+1，可得00，由此可对③进行判断；观察函数图象得到x>-1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，则可对④进行判断．
【详解】∵由抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b>0，
∴ab<0，故①正确；
∵点(0，1)和(−1，0)都在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴c=1，a−b+c=0，
∴b=a+c=a+1，
又∵a<0，
∴0∵a+b+c=a+a+1+1=2a+2，
又∵a<0，
∴2a+2<2，即a+b+c<2，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1，0)，抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(1，0)的右侧，
又∵抛物线开口向下，
∴x=1时，y>0，即a+b+c>0，
∴0∵x>−1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，
∴y>0或y=0或y<0，故④错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9.当x 时，二次根式在实数范围内有意义．
【答案】
【分析】根据被开方数大于等于零，构造不等式求解即可．
【详解】解：由题意，得x+1≥0．则x≥﹣1．
故答案是：≥﹣1．
10. 分解因式： ．
【答案】
【详解】试题分析：根据因式分解的步骤：一提二套三检查，可知.
11. 关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
【答案】0或8
【分析】一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，=（m﹣2）2﹣4（m+1）=0，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，
∴=（m﹣2）2﹣4（m+1）=0，即m2﹣8m=0，
解得：m=0或m=8．
故答案为：0或8．
12 .分式方程＝的解是 ．
【答案】x＝－6
【分析】去分母后化为整式方程求解后检验即可．
【详解】方程两边同时乘以x（x－3）得：
3x=2(x－3)
3x－2x=－6
x=－6
检验：当x=－6时，x（x－3）≠0
所以x=－6是原分式方程的解．
故答案为： x=－6
13 .某学习小组利用直立在地面上标杆测量直立在同一水平地面上的旗杆的高度（如图）．
同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是．
已知B、C、E、F在同一直线上，，则 ．

【答案】
【分析】由题意可得出，即得出，再根据，即可证，得出，代入数据，即可求出，即旗杆的高度为．
【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴旗杆的高度为．
故答案为：．
14.如图，在中，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；
③作射线，交于点D
若点D到的距离为1，则的长为 ．

【答案】
【分析】过点D作于点E，由尺规作图AD平分，可求，然后证明∠EDB=∠B，可得DE=BE=1，在Rt△DEB中，由勾股定理得出， 即可得出答案．
【详解】解:过点D作于点E，
由作图步骤知，AD平分，
，点D到的距离为1，
∵
∴∠B=∠CAB=45°，
∴∠EDB=180°-∠DEB-∠B=45°=∠B，
∴DE=BE=1，
在Rt△DEB中，由勾股定理
∴BC=DC+BD=1+．
故答案为1+．
如图，的半径为6，作正六边形，点B，F在上，
若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ．
【答案】
【分析】根据正六边形的外角和，即可求得内角∠A的度数，进而根据边长等于⊙A的半径，根据弧长公式求得弧FB的长，再根据底面圆的周长就是弧FB的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边长为6，
∴∠A=180°-=120°，AB=6
∴弧FB的长为：
∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，
∴弧FB的长即为圆锥底面的周长，
设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=4π
解得r=2
∴圆锥的高
故答案为：
16 . 如图，某校数学兴趣小组的同学测量校园内一棵树的高度，
他们在这棵树的正前方一旗台的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为，
朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．
已知A点的高度，台阶AC的坡度为，且B，C，E三点在同一直线上，
则树高为 m．（测倾器的高度忽略不计）

【答案】6
【分析】在中利用坡比和的长，根据勾股定理即可求得BC和AC的长；如图：过点A作于F，可得四边形为矩形，设，在中表示出的长度，求出的长度，然后在中表示出的长度，根据代入解方程求出x的值即可．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，
∴；
如图，过过点A作于F，
则四边形为矩形，
∴米，
设，
在中， ，
在中， ，
∴，
∵，
∴，解得（米）．
故答案为6．
17 .某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，
甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，
该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，
那么从开始，经过___________分钟时，当两仓库快递件数相同．

【答案】20
【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
18 .如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，
折痕为，则线段的长是____________

解：将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，
则：，，，
∴，
设，则：，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴；
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】
（1）；
（2）
【分析】（1）先计算负整数指数幂、化简二次根式及特殊角的三角函数，然后计算加减即可；
（2）先计算分式的除法，然后计算加减法即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20. 解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有的整数解．

【答案】1【分析】先求出不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
【详解】解：
解不等式①得x＞1，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集是1不等式组的解集在数轴上表示如图，
∴不等式组的整数解为：2,3,4．
21. 在学生居家学习期间，学校为学生设置了线上健美操、球类、跑步、踢毽子活动项目，
为了了解学生对这些项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生．
对他们最喜爱的项目（每人只选一项）进行了问卷调查，统计并绘制成两幅统计图．

（1）在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）估计该校1800名学生中有多少人最喜爱球类活动？
【答案】（1）80人；（2）图见解析；（3）810人．
【分析】(1)利用体操的人数和百分比可求出一共抽查的学生总数；
(2)利用一共抽查的学生总数和踢毽子的百分比可求出踢毽子的人数，再补全图象即可；
(3)用该校学生总数乘以最喜爱球类活动的分率计算即可求解．
【详解】（1）（人）
答：一共抽查了80人．
（2）（人），如下图所示：

（3）（人）．
答：估计全校有810人最喜欢球类活动．
22 .某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选种），
在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，
请结合图中所给的息解答下列问题：

（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角为 度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，
请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
解：（1）这次统计共抽查的学生数是：20÷20%＝100（名），
在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角为：360°×＝108°；
故答案为：100，108；
（2）短信的人数有：100×5%＝5（名），
微信的人数有：100﹣20﹣5﹣30﹣5＝40（人），补全统计图如下：

（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%＝40%，
则该校共有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：2000×40%＝800人；
（4）根据题意画图如下：
共有9种等情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
则甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：＝．
23 .在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可；
（2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
在△AEF与△DEB中，
∴；
（2）由（1）可知，，
∵D是BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵△ABC为直角三角形，
∴，
∴四边形ADCF是菱形．
24 .如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）若点是轴上一点，且满足的面积是，请求出点的坐标．
【答案】（1），；（2）或；（3）点坐标为或．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k，从而求出点B坐标，再通过待定系数法求一次函数解析式．
（2）通过观察图象交点求解．
（3）设点P坐标为（m，0），通过三角形PAB的面积为10及三角形面积公式求解．
【详解】解：（1）将代入得，
解得，反比例函数解析式为．
，解得，
所以点坐标为，把，代入得：
，解得，
一次函数解析式为．
（2）由图象可得当或时式．
故答案为：或．
（3）设点坐标为，一次函数与轴交点为，
把代入得，解得，
点坐标为．
，
，即，
解得或．
点坐标为或．
25. 如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．

（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．
【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD •AB＝2×3＝6，
∴AC＝
某动物园在周年庆来临之际，推出、两种纪念章，
已知每个种纪念章的进价比每个种纪念章的进价多4元；
购进6件种纪念章和购进10件种纪念章的费用相同，
且种纪念章售价为13元/个，种纪念章售价为8元/个．
每个种纪念章和每个种纪念章的进价分别是多少元？
(2) 根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进、两种纪念章共400个，
这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)每个A种纪念章的进价为10元，每个B种纪念章的进价为6元；
(2)该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进A纪念章100个，B纪念章300个，最大利润为900元．
【分析】（1）设每个A种纪念章的进价为x元，则每个B种纪念章的进价为元，由等量关系列出方程即可求解；
（2）设购进A种纪念章a个，则购进B种纪念章(400−a)个，利润为w元，由题意知，，利润，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个A种纪念章的进价为x元，则每个B种纪念章的进价为元，
由题意得，，
解得：，
∴，
答：每个A种纪念品的进价为10元，每个B种纪念品的进价为6元；
（2）解：设购进A种纪念章a个，则购进B种纪念章(400−a)个，利润为w元，
由题意知，，
解得，，
，
∵，
∴w随着a的增大而增大，
∴当时，w最大，值为900，
∴（个），
答：该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进A纪念章100个，B纪念章300个，最大利润为900元．
27.如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段上，．
(1)观察猜想：如图2，将绕点A逆时针旋转，连接，的延长线交于点F．当的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，
①的值为 ；
②的度数为 度；
(2)类比探究：如图3，继续旋转，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)，45
(2)成立，理由见解析
(3)的长为或．
【分析】（1）如图所示，设与交于O，求得，，，证明，据此求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）分两种情形：如图3-1和图3-2所示，分别求出，根据（1）（2）的方法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，设与交于O，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由于点E与点F重合，
∴，
故答案为：，45；
（2）解：设与交于O，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：如图3-1所示，当于O时，
∵和都是等腰直角三角形，，，
∴同（1）可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴；
如图3-2所示，当时，延长交于O．
同理可得，，，
∴；
综上所述，的长为或．
28. 如图抛物线与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线的对称轴上有一点P，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标；
(3)点F是第一象限抛物线上的一个动点，当点F运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时F点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，P点坐标为或或，理由见解析
(3)当点F运动到时，△CBF的面积最大，最大值为4，此时
【分析】（1）将，代入，利用待定系数法即可求解；
（2）由可知对称轴为直线，，设，分两种情况：①当时，②当时，分别进行讨论即可求解；
（3）令，则，可得，可求得直线BC的解析式为，如图，过点E作轴交抛物线于点F，设，则，得，由，可知当时，最大为2，此时的面积最大，即可求得答案．
【详解】（1）解：将，代入，
，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）存在点P，使是以为腰的等腰三角形，理由如下：
∵，
∴对称轴为直线，
∵，，
∴，设，
当时，，解得或（舍去），
∴；
当时，，解得或，
∴或；
综上所述：P点坐标为或或；
（3）当点E运动到位置时，的面积最大，理由如下：
令，则，
解得或，
∴，设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线BC的解析式为，
如图，过点E作轴交抛物线于点F，
设，则
∴，
∵，
∴最大时，的面积最大
∴当时，最大为2，此时的面积最大，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为4，此时．