冲刺2024年江苏省无锡市中考数学真题重组卷01（含解析）

这是一份冲刺2024年江苏省无锡市中考数学真题重组卷01（含解析），共39页。试卷主要包含了计算，2，方差为，不满足题意；，4，方差为，满足题意．，1×10-5千克．等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
本试卷满分150分，试题共28题，选择10道、填空8道、解答10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·江苏扬州·统考）下列各式中，计算结果为的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏盐城·统考）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠﹣1C．x≠1D．x≠2
3．（2023·江苏扬州·统考）若一组数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，则x的值可能是（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．（2023·江苏南通·统考二模）如图，在中，，．按照如下步骤作图：
①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
②作直线，交点；
③以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；
④连接．
下列说法错误的是( )
A．B．C．D．
5．（2023·江苏宿迁·模拟）在△ABC内取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点 （ ）
A．高B．角平分线C．中线D．垂直平分线
6．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在中，为直径，弦，，连接，则等于（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·江苏南通·统考二模）若关于x的不等式组恰有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考三模）如图，在直角坐标系中，点，点A在第一象限（横坐标大于2），轴于点B，，双曲线经过中点D，并交于点E．若，则点E的坐标为（ ）

A．B．C．D．
9．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）如图，在正三角形中，，，，则的面积是（ ）

A．B．C．D．
10．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该p抛物线对称轴上一点，则的最小值为（ ）
A．B．25C．30D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在横线上
11．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考模拟预测）分解因式：﹣= ．
12．（山东省菏泽市定陶区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）一粒米的质量是0.000021千克，0.000021用科学记数法表示为 ．
13．（2023·江苏盐城·校考二模）如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为

14．（2023·江苏泰州·校考三模）已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ．
15．（2023年江苏省南通市海门市中考一模数学试题）中国古代数学著作《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程 ．
16．（2023·江苏南通·统考一模）如图，在中，，．延长到D，使，连接CD，则 ．

17．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图所示，，，以为底边向上构造等腰直角三角形，连接并延长至点P，使，则长的取值范围为 ．
18．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．

解答题:本大题有10个小题,共96分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.（8分，4分/题）（2023·江苏泰州·校考三模）（1）计算：
（2）计算：
20．（8分，4分/题）（2023·江苏苏州·校考二模）（1）解方程：．
（2）（2023·江苏盐城·校考三模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
21．（10分）（2023·江苏苏州·统考一模）如图，四边形是平行四边形，延长，使得，连接．
(1)求证：；
(2)连接，已知，，当______°时，四边形是菱形．
22．（10分）（2023·江苏盐城·统考二模）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“绿”“色”“盐”“城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再换球．
(1)若从中任取一个球，则球上的汉字刚好是“盐”的概率为________；
(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“绿色”或“盐城”的概率．
23．（10分）（2023·江苏泰州·校考三模）年月日起，公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某校小交警社团在交警带领下，从月日起连续天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，并将数据绘制成图表如下：
年月日月日骑乘人员头盔佩戴率折线统计图
年月日骑乘人员头盔佩戴情况统计表
（1）根据以上信息，小明认为月日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为．你是否同意他的观点？请说明理由；
（2）相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？
（3）求统计表中的值．
24．（10分）（2023·江苏宿迁·统考二模）已知是四边形的对角线，．点沿运动，到达点时停止运动．点在线段运动，且始终保持．射线交线段于点．

(1)如图1，当点在线段上时；
①求证：．
②若，求的度数．
(2)如图2，若点在线段上；是线段中点，在图2中，仅用无刻度直尺在线段上作出点．
(3)请求出点运动的路径长．
25．（10分）（2023年江苏省南通市崇川初级中学中考三模数学试题）如图，为外一点，，是的切线，，为切点，点在上，连接，，．

26．（10分）（2023·江苏苏州·苏州高新区第二中学校考二模）2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．
(1)甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
(2)这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
27．（10分）（2023·江苏苏州·苏州高新区第二中学校考二模）抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，顶点P在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
(3)如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在延长线上，，连接并延长到点D，使．交x轴于点E，与均为锐角，，求点M的坐标．
28．（10分）（2023·江苏南通·统考一模）如图，矩形中，．E为边上一动点，连接．作交矩形的边于点F，垂足为G．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)点O为矩形的对称中心，探究的取值范围．
答案解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·江苏扬州·统考）下列各式中，计算结果为的是（ D ）
A．B．C．D．
【分析】根据同底数幂的乘方和除法运算法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则即可求解．
【解析】解：A．，不符合题意
B．，不符合题意
C．，不符合题意
D．，符合题意
故选：D
2．（2023·江苏盐城·统考）使分式有意义的x的取值范围是（D）
A．x≠0B．x≠﹣1C．x≠1D．x≠2
【分析】利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解析】解：∵使分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故选：D．
3．（2023·江苏扬州·统考）若一组数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，则x的值可能是（D ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】利用方差定义判断即可．
【解析】解：5，6，7，8，9，这组数据的平均数为7，方差为；
数据2，3，4，5，x的方差比这组数据方差大，则有，
当时，2，3，4，5，2的平均数为3.2，方差为，不满足题意；
当时，2，3，4，5，4的平均数为3.6，方差为，不满足题意；
当时，2，3，4，5，6的平均数为4，方差为，不满足题意；
当时，2，3，4，5，8的平均数为4.4，方差为，满足题意．
故选：D
4．（2023·江苏南通·统考二模）如图，在中，，．按照如下步骤作图：
①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
②作直线，交点；
③以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；
④连接．
下列说法错误的是(D)
B．C．D．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据题意可得：，是的垂直平分线，从而可得，进而可得，然后利用角的和差关系可得，从而利用三角形的外角性质可得，进而可得，再根据等量代换可得，从而可得，进而可得，即可判断A、B，然后证明，从而利用相似三角形的性质可得，即可判断C，根据等腰三角形的性质相似三角形的性质，可得即可判断D．
【解析】解：，，
，
由题意得：，是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，故A正确；
，
，
，
，故B正确；
，，
，
，
，故C正确；
设，则，
解得：(负值舍去)
又∵
∴，故D选项错误，
故选：D．
5．（2023·江苏宿迁·模拟）在△ABC内取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点 （B）
A．高B．角平分线C．中线D．垂直平分线
【分析】三角形的基本性质
【解析】解：∵到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，
∴点P应是△ABC的三条角平分线的交点．
故选B．
6．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在中，为直径，弦，，连接，则等于（B）

B．C．D．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，再根据平行线的性质即得答案．
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵弦，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
7．（2023·江苏南通·统考二模）若关于x的不等式组恰有一个整数解，则实数的取值范围是（B）
A．B．C．D．
【分析】求解不等式组的解集，根据整数解情况，确定参数的取值范围．
【解析】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
恰有一个整数解，
整数解为2，
，
故选B．
8．（2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考三模）如图，在直角坐标系中，点，点A在第一象限（横坐标大于2），轴于点B，，双曲线经过中点D，并交于点E．若，则点E的坐标为（B ）

B．C．D．
【分析】设的坐标为，根据，；得到，的坐标；根据是的中点，，得的坐标为，根据点在反比例函数图象上，代入，求得相关未知数的值，即可求得．
【解析】解：设的坐标为，则，，
∵，
∴，
∵是的中点，，
∴的坐标为，
∵点、在上，
∴，
联立可得，
故，
∴；
故选：B．
9．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）如图，在正三角形中，，，，则的面积是（A）

B．C．D．
【分析】作于，于，交延长线于，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由等边三角形的性质求出的长，得到的长，由三角形的面积公式即可求解．
【解析】解：作于，于，交延长线于，

是等边三角形，
，，
∵，
，
设，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，
∵，，，
，
的面积．
故选：A．
10．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该p抛物线对称轴上一点，则的最小值为（ A）
B．25C．30D．
【分析】连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD、OA、OD，在证明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，进而可得3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，根据求出AN，AC+CM最小值即为AN，则问题得解．
【解析】解：连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图，
令y=0，得方程，解得x=0或者x=6，
∴A点坐标为(6,0)，即OA=6，
将配成顶点式得：，
∴B点坐标为(3,4)，
∴BD=4，OD=3，
∵CM⊥OB，AN⊥OB，
∴∠BMC=∠ANO=90°，
根据抛物线对称轴的性质可知BD⊥OA，
∴∠BDO=90°，
在Rt△BDO中，利用勾股定理得，
∵∠OBD=∠CBM，∠BDO=90°=∠BMC
∴△OBD∽△CBM，
同理可证得△OBD∽△OAN，
∴，，
∴，即3BC=5MC，
∴3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，
∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，
∴AC+CM最小值为AN，如图所示，
∵，
∴，
∴AC+CM最小值，
∴即3BC+5AC=5(AC+CM)=24，
故选：A．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在横线上
11．11．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考模拟预测）分解因式：﹣=．
【分析】利用平方差公式分解即可．
【解析】
故答案为：
12．（山东省菏泽市定陶区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）一粒米的质量是0.000021千克，0.000021用科学记数法表示为千克．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000021千克=2.1×10-5千克；
故答案为：2.1×10-5千克．
13．（2023·江苏盐城·校考二模）如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为

【分析】根据扇形的面积公式可知，，进而可得扇环形的面积．
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
14．（2023·江苏泰州·校考三模）已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ．
【分析】设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，根据绕点逆时针旋转的对应点为，可得是等边三角形，故，，从而可得，，记知，，又，可求出，，再用待定系数法可得答案．
【解析】解：设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，如图：

绕点逆时针旋转的对应点为，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，，
设直线解析式为，将，，，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
故答案为：．
15．（2023年江苏省南通市海门市中考一模数学试题）中国古代数学著作《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程．
【分析】根据每三人乘一车，最终剩余辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【解析】解：设有辆车，则可列方程．
故答案是：．
16．（2023·江苏南通·统考一模）如图，在中，，．延长到D，使，连接CD，则 ．

【分析】过点作，交于，由平行线分线段成比例定理得出，与平行线的性质得出，再由三角函数的定义即可得出结果．
【解析】解：过点作，交于，如图，

∵，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
17．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图所示，，，以为底边向上构造等腰直角三角形，连接并延长至点P，使，则长的取值范围为．
【分析】以为斜边作等腰直角三角形，延长至点E．使，连接．利用等腰直角三角形的性质得出利用相似三角形的性质求出，再利用三角形中位线的性质求出，由是等腰直角三角形，，得出垂直平分，进而求出，继而利用三角形的三边关系即可求出答案．
【解析】】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，延长至点E．使，连接、．
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
18．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．

【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可．
【解析】解：如图，过点C作，垂足为D，取，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，而一定，
∴当的面积最大时，最大，
∵，
∴点D在以为直径的圆上，
∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时，则为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
．
解答题:本大题有10个小题,共96分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.（1）计算：
（2）计算：
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）分别计算零次幂、开平方、负整数指数幂和特殊角三角函数值，最后进行加法运算即可；
（2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分进行分式的减法运算．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
20．（2023·江苏苏州·校考二模）（1）解方程：．
【答案】，
【分析】方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解．
【解析】解：方程两边同时乘以得：
，
整理得：，
解得：，，
检验：当，时，，
原方程的根为，．
（2）．（2023·江苏盐城·校考三模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【分析】先分别解两个不等式 ，在数轴上标出解集，然后写出解集即可．
【详解】解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
在数轴上分别表示这两个不等式的解集如图
∴不等式组的解集为：．
21．（10分）（2023·江苏苏州·统考一模）如图，四边形是平行四边形，延长，使得，连接．
(1)求证：；
(2)连接，已知，，当______°时，四边形是菱形．
【答案】(1)证明见解析 (2)10
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，即可解决问题；
（2）根据三角形外角的性质得到，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：当时，四边形是菱形．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
故答案为：10．
22．（10分）（2023·江苏盐城·统考二模）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“绿”“色”“盐”“城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再换球．
(1)若从中任取一个球，则球上的汉字刚好是“盐”的概率为________；
(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“绿色”或“盐城”的概率．
【答案】(1) (2)取出的两个球上的汉字恰能组成“绿色”或“盐城”的概率为
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）先根据题意列出表格，然后根据概率公式进行计算即可．
【解析】（1）解：∵一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“绿”“色”“盐”“城”的四个小球，
∴从中任取一个球，则球上的汉字刚好是“盐”的概率为．
故答案为：．
（2）解：将标有汉字“绿”、“色”、“盐”、“城”的四个小球分别记为A，B，C，D，记取出的两个球上的汉字恰能组成“绿色”或“盐城”的事件为事件M．
用列表法表示为：
由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有4种，即、、、，
∴．
答：取出的两个球上的汉字恰能组成“绿色”或“盐城”的概率为．
23．（10分）（2023·江苏泰州·校考三模）年月日起，公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某校小交警社团在交警带领下，从月日起连续天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，并将数据绘制成图表如下：
年月日月日骑乘人员头盔佩戴率折线统计图
年月日骑乘人员头盔佩戴情况统计表
（1）根据以上信息，小明认为月日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为．你是否同意他的观点？请说明理由；
（2）相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？
（3）求统计表中的值．
【答案】（1）不同意，理由见解析；（2）应该对骑电动自行车骑乘人员加大宣传引导力度，理由见解析；（3）．
【分析】（1）根据本次调查是从月日起连续天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，可知数据代表比较单一，没有普遍性，据此判断即可；
（2）由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员戴头盔率比摩托车骑乘人员头盔佩戴率要低很多，据此判断即可；
（3）由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员不戴头盔率为55%，则有，据此求解即可．
【解析】解：（1）不同意。
由题目可知，本次调查是从月日起连续天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，数据代表比较单一，没有普遍性，故不能代表月日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率；
（2）由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员戴头盔率比摩托车骑乘人员头盔佩戴率要低很多，故应该对骑电动自行车骑乘人员加大宣传引导力度；
（3）由折线统计图可知，年月日骑电动自行车骑乘人员戴头盔率为45%，则骑电动自行车骑乘人员不戴头盔率为：1-45%=55%，
∴
∴．
24．（10分）（2023·江苏宿迁·统考二模）已知是四边形的对角线，．点沿运动，到达点时停止运动．点在线段运动，且始终保持．射线交线段于点．

(1)如图1，当点在线段上时；
①求证：．
②若，求的度数．
(2)如图2，若点在线段上；是线段中点，在图2中，仅用无刻度直尺在线段上作出点．
(3)请求出点运动的路径长．
【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 (3)
【分析】（1）①可证明，从而；②设，可表示出，在中，由三角形内角和定理列出，进而求得结果；
（2）作出点关于的对称点，进而得出点；
（3）可推出，从而点在的垂直平分线上运动，当点从点运动到点时，点的运动路径是，；可推出，从而点、、、共圆，所以点在等边三角形的外接圆上运动，当点从运动到点时，点运动的路径是，根据弧长公式，进一步得出结果．
【解析】（1）解：①证明：，，，
，
；
②设，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理得，
，
，
；
（2）如图1，

（Ⅰ）连接，交于点，
（Ⅱ）连接，并延长，交于点，
（Ⅲ）作射线，交于点，
则点就是所求作的点；
（3）如图2，

当点在上时，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
点在的垂直平分线上运动，
当点从点运动到点时，点的运动路径是，，
如图3，

，
，
，
，
，
点、、、共圆，
点在等边三角形的外接圆上运动，
当点从运动到点时，点运动的路径是，
连接，，作于点，
，
，
，
，
点运动的路径长为：．
25．（10分）（2023年江苏省南通市崇川初级中学中考三模数学试题）如图，为外一点，，是的切线，，为切点，点在上，连接，，．

(1)求证：；
(2)连接，若，的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)10
【分析】（1）过作于，得，根据切线的性质可得，根据同角的余角相等可得，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）连接，延长交于，根据切线的性质得到，，根据矩形的性质可得，，根据勾股定理即可得到答案．
【解析】（1）证明：过作于，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，延长交于，
，
，是的切线，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，，
，，
，
．
26．（10分）（2023·江苏苏州·苏州高新区第二中学校考二模）2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．
(1)甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
(2)这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
【答案】(1)甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元
(2)购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大
【分析】（1）设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，找出等量关系，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设新购甲种商品m件，则乙种商品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元,根据题意即可得到w与x之间的函数关系式；再根据m的取值与一次函数的性质即可求解．
【解析】（1）解：设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，
由题意得，
解得．
答：甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元．
（2）设新购甲种纪念品m件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元．
由题意可得：，解得
∴
．
∵，
∴w随m的增大而减小，且，
∴当时，w有最大值，此时．
答：购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大．
27．（10分）（2023·江苏苏州·苏州高新区第二中学校考二模）抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，顶点P在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
(3)如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在延长线上，，连接并延长到点D，使．交x轴于点E，与均为锐角，，求点M的坐标．
【答案】(1) (2)（2，），（，）或（，）
(3)（－4，）
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）先根据题意判断出三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，得出当P在直线BC下方的抛物线上时，面积取最大值时满足题意，求出最大面积后得到直线BC下方的P点坐标，再根据△BCP的面积求出BC上方P点坐标即可；
（3）过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，根据平行线性质求出MQ=PD，证明△MEQ≌△DEP，得PQ=2PE，设OP=x，用x表示出PB，PE的长度，再根据得出PB=2PE，代入求出x值，进而求得Q点坐标及M点坐标．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
即抛物线解析式为．
（2）解：由题意知，三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，
设直线BC下方抛物线上有一点P，过P作平行于BC的直线l，作直线l关于BC对称的直线MN，由图知，直线MN与抛物线必有两个交点，根据平行线间距离处处相等知，当三角形BCP面积取最大值时即直线l与抛物线只有一个交点时，符合题意的P点只有三个，
由B（4,0），C（0，-4）知直线BC解析式为：y=x-4，
过P作PH⊥x轴于H，交BC于E，
则S△BCP=S△PCE+S△PBE
=
=2PE，
设P（m，），则E（m，m-4），
∴S△BCP=
=，
∴当m=2时，△BCP面积取最大值，最大值为，
此时，直线BC下方抛物线上的P点坐标为（2，），
同理，设直线BC上方抛物线上P点横坐标为n，则：
，
解得：n=或n=，
即P（，）或（，），
综上所述，满足题意的P点坐标为（2，），（，）或（，）．
（3）解：过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，垂足分别为H、P、Q，如图所示，
则NH∥PD∥MQ，
∴，，
∴PD=2HN，QM=2HN，
即PD=QM，
∵∠MEQ=∠PED，
∴△MEQ≌△DEP，
∴QE=PE，
设OP=x，则BP=4-x，PH=BH=，
∴OH=OP+PH=x+=，OQ=2OH=4+x，PQ=4+2x，PE=2+x，
∵，
∴，
即PB=2PE，
∴4-x=2（2+x），
解得：x=0，
即P点为坐标原点，D在y轴上，
∴OQ=4，即Q（－4,0），
∴M（－4, ）．
28．（10分）（2023·江苏南通·统考一模）如图，矩形中，．E为边上一动点，连接．作交矩形的边于点F，垂足为G．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)点O为矩形的对称中心，探究的取值范围．
【答案】(1)见解析 (2)1或 (3)
【分析】（1）根据矩形的性质，进行角度的等量代换，即可解答；
（2）分类讨论，即①当点F在上时②当点F在上时两种情况，利用正切的概念，即可解答；
（3）取的中点H，连接，则，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得,再根据中位线的性质求得，即可求得的最小值，再结合题意可得，当G与A重合时，最长，求出此时的长，即可解答．
【解析】（1）证明：如图1，四边形是矩形，，
，
，
；
（2）解：∵四边形是矩形，
．
①如图1，当点F在上时，．
，
，
∴，即，
；
如图2，当点F在上时，．
同（1）可证，
，
∴，即，
，
或；
（3）解：如图3，取的中点H，连接，
则．
，
，
∵点O为矩形的对称中心，
∴点O为的中点．
．
，
，
∴，
当G与A重合时，最长，此时，
∴．
第1球
第2球
A
B
C
D
A
B
C
D