2024年江苏省淮安市盱眙县第一中学中考数学冲刺模拟试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 下列各数中，不是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查无理数的识别，无限不循环小数叫做无理数，常遇到的无理数有三类：开方开不尽的数的方根，如等；特定结构的数，如；特定意义的数，如．由此可得答案．
【详解】解：A、属于开不尽的平方根，是无理数，不符合题意；
B、是分数，不是无理数，符合题意；
C、是无限不循环小数，是无理数，不符合题意；
D、是无限不循环小数，是无理数，不符合题意；
故选B．
3. 下列整数中，与最接近的是（ ）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是掌握估算无理数的时候运用“夹逼法”．
由于，由此根据算术平方根的概念可以找到接近的整数，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴与最接近的是1．
故选：C．
4. 三边都不相等的三角形有两边长分别为3和5，第三长是奇数，则其周长为（ ）
A. 15B. 13C. 11D. 15或13或11
【答案】A
【解析】
【分析】本题可先求出第三边的取值范围，找出其中三边都不相等，且为奇数的数，即为第三边的长，再将三者相加即可得出周长的值．
【详解】解：设第三边长为x．
根据三角形的三边关系，则有5−3＜x＜5＋3，
即2＜x＜8，
因为三边都不相等，第三边长是奇数，
所以x＝7，
所以周长＝3＋5＋7＝15．
故选：A．
【点睛】考查了三角形的三边关系，根据三角形三边长关系，得到第三边长的范围，是解题的关键．
5. 下表中记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加金钥匙选拔赛成绩平均分和方差．要从中选择一名成绩较好且发挥稳定的同学去海安市参加决赛,最合适的同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数选择较高，方差选择较小的更加稳定，可直接进行排除选项．
【详解】解：由表格可得：
，，
∴丙同学的平均分最高，且最稳定，
∴最适合去参加决赛的同学是丙；
故选C．
【点睛】本题主要考查方差及平均数，熟练掌握方差及平均数如何做决策是解题的关键．
6. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE＝（ ）
A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°
【答案】C
【解析】
【分析】连接AD，由圆周角定理可得，∠ADE=∠ACE，再根据直径所对的圆周角是直角即可解答．
【详解】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ADE与∠ACE是同弧所对的圆周角，
∴∠ADE=∠ACE，
∴∠ACE+∠BDE=∠ADB=90°．
故选：C．
【点睛】此题比较简单，考查的是圆周角定理，只要连接AD便可直接解答．
7. 如图，四边形中，，平分，，，，则四边形的面积为（ ）
A. 50B. 56C. 60D. 72
【答案】A
【解析】
【分析】据勾股定理求出DC，根据角平分线的性质得出DE=DC=5，根据勾股定理求出BE，求出AE，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】过作，交的延长线于，则，
，平分，
，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
四边形的面积
，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形面积，角平分线的性质等知识点，能求出DE=DC是解题的关键．
8. 在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程（米）与各自所用时间（秒）之间的函数图像分别为线段和折线，则下列说法不正确的是（ ）

A. 甲的速度保持不变B. 乙的平均速度比甲的平均速度大
C. 在起跑后第180秒时，两人不相遇D. 在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
【答案】B
【解析】
【分析】A、由于线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面．
【详解】解：A、∵线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故不选A；
B、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选B；
C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故不选C；
D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴乙是在甲的前面，故不选D．
故选：B．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 如果分式有意义，那么x的取值范围是____________．
【答案】x≠1
【解析】
【详解】∵分式有意义，
∴，即.
故答案为.
10. 如图，菱形中，， E、F 分别是、的中点，若此菱形的边长为4，则_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定是解题的关键．
连接，由菱形性质得，又，则是等边三角形，得出，由、分别是、的中点，得出是的中位线，即可得出结果．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
、分别是、的中点，
是的中位线，
，
故答案为：2．
11. 如图，直线，的顶点在直线上，边与直线相交于点．若是等边三角形，，则＝__°
【答案】
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC=60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】如图，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠BDC=60°，
由三角形的外角性质可知，∠1=∠2-∠A=40°，
故答案为40．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质，掌握三角形的三个内角都是60°是解题的关键．
12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于________．（结果保留π）
【答案】．
【解析】
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=1，AB=2，
∴∠ABC=30°，
∴∠A=60°，
又∵AC=1，
∴弧CD的长为
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长的计算；含30度角的直角三角形．
13. 设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，再根据点到对称轴的距离从小到大为B，C，A，依据抛物线开口向上，则点到对称轴的距离越小，对应的y值越小，即可得到、、的大小关系．
【详解】
抛物线对称轴为直线
，，
到对称轴的距离从小到大为B，C，A
抛物线开口向上
到对称轴的距离越小，对应的y值越小
、、的大小关系为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，能够根据抛物线开口向上，得到点到对称轴的距离越小，对应的y值越小的性质是解题的关键．
14. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB=______．

【答案】8
【解析】
【详解】∵AB=AC， AF⊥BC，∴∠AFB=90°，BF=CF，又∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠BEA=90°，∴EF= BC=3，又∵D为AB中点，∴DE=DF= AB，∵DE+DF+EF=11，∴DE+DF=8，∴AB=8.
15. 如图，正方形OABC的边长为8，A、C两点分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y＝的图像经过点Q，若S△BPQ＝S△OQC，则k的值为______．
【答案】－36
【解析】
【分析】利用正方形的性质证△BPQ∽△OQC，再由面积比求出相似比得到BQ与QO的比值，利用勾股定理求出BO的长，进而求出点Q的坐标，用待定系数法即可求出k值．
【详解】解：在正方形OABC中，
∵AB//CO，
∴△BPQ∽△OQC，
∵S△BPQ＝S△OQC，
∴△BPQ与△OQC的相似比为1：3，
即BQ：QO＝1：3，
在Rt△ABO中，由勾股定理得，
，
∴OQ=，
∴Q点坐标为（-6，6），
∴k＝＝-36
故答案为-36．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似的判定和性质、勾股定理、待定系数法等知识.将相似三角形的面积比转化为相似比是解题的关键．
16. 如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点B落在边上点H处，再将右侧余下部分折叠，使与直线重合，折痕为．若，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，依据折叠性质可得：，，，，，，再利用矩形性质，可证明四边形是菱形，由，运用三角函数定义可求得，进而可证是等边三角形，且，由，求得，再由，即可得到答案；
【详解】解：连接，由折叠可得，
，，，，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴ 四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴A是等边三角形，
∵，，，，
在中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查了折叠变换的性质，矩形性质，菱形判定和性质，等边三角形判定和性质，三角函数应用，灵活应用相关性质定理和判定定理是解本题的关键．
三、解答题（本大题共11题，共102分）
17. （1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂、立方根、特殊角的三角函数值、解二元一次方程组，熟练掌握各运算法则和消元法是解题关键．
（1）先计算负整数指数幂、立方根、特殊角的三角函数值，再计算乘法与加减法即可得；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可得．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
由②①得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
则方程组的解为．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，先利用分式的运算法则和混合运算顺序得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
19. 如图，在中，过点C作，E是的中点，连接并延长，交于点F，交的延长线于点G，连接，求证：四边形是平行四边形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，根据平行线的性质可得，再证，推出，结合即可证明四边形是平行四边形．
【详解】证明：，
，
E是的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
20. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
【答案】（1）20%；（2）能
【解析】
【分析】（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)2，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可；
（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可．
【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x．
根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
21. 某校为加强学生安全意识，组织全校学生参加安全知识竞赛． 从中抽取部分学生成绩进行统计，绘制以下两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息，解决下列问题：
（1）填空： ______， _______；
（2）补全频数直方图；
（3）该校共有2000名学生，若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
【答案】（1）75，54；
（2）见解析 （3）人．
【解析】
【分析】本题考查了频数（率）分布直方图、扇形统计图，用样本估计总体，读懂题意，熟悉相关信息是解题的关键．
（1）先由A组人数及其所占百分比求出总人数，再用C组的百分比乘以总人数得到C组的人数，用总人数乘以B组所占的百分比求出B组的人数，再用乘以E组人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以B组所占百分比求出B组的人数，再补全直方图即可；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【小问1详解】
∵被调查的总人数为（人），
∴，
则B组人数为（人），
则E组人数为，
∴，
故答案为：75，54；
【小问2详解】
B组人数为：（人），
补全直方图如下：
【小问3详解】
该校安全意识不强的学生约有（人）．
22. 甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．
（1）若从甲医院的2名医生中选择1名作为领队，刚好选到男性的概率是_______；
（2）若从4名支援的医护人员中随机选派2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自不同所医院的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵甲医只有1男1女两名医护人员，
∴从甲医院的2名医生中选择1名作为领队，刚好选到男性的概率是．
【小问2详解】
解：将甲、乙两所医院护人员分别记甲1，甲2，乙1，乙2（注1表示男医护人员，2表示女医护人员），树状图如下：
由树状图得，共有12种等可能的结果，满足要求的有4种，
∴P（2名医生来自同一所医院）=．
23. 如图，为推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从A，B两地向C地新建，两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东方向上，在B地北偏西 方向上，的距离为，求新建管道的总长度．（结果精确到，参考数据 ）

【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形应用方向角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
作于点，然后根据锐角三角函数，即可求得的长，本题得以解决．
【详解】解：作于点，

由题意可得，
，，
设，
则，，
，，
，
解得，
，，
，
答：新建管道的总长度是．
24. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）DE与⊙O相切，理由见解析；（2）阴影部分的面积为2π﹣．
【解析】
【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；
（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
【详解】（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵BE=3，
∴BD==6，
∵sin∠DBF=，
∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
∴sin60°=，
∴DO=2，
则FO=，
故图中阴影部分的面积为：．
【点睛】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键．
25. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
【答案】（1）y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y最大值=4500；（3）70≤x≤90.
【解析】
【分析】(1) 根据题目已知条件, 可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数, 并可以进一步写出二者之间的关系式; 然后根据单位利润等于单位售价减单位成本, 以及销售利润等于单位利润乘销量, 即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式.
(2) 根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值, 即可计算出每天的销售利 润及相应的销售单价.
(3) 根据开口向下的抛物线的图象的性质,满足要求的x的取值范围应该在﹣5（x﹣80）2+4500=4000的两根之间,即可确定满足题意的取值范围.
【详解】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用.
26. （1）【感知】如图1，在等边三角形的外角内引射线，作点关于的对称点点在 内，连接，、分别交于点、．求的度数．

（2）【类比探究】如图2，把（1）中的“等边三角形”改为“等腰直角三角形，其余条件不变．

①________；
②猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展】如图3，点为射线上的点，且，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，在内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交 于点、，当点为的重心时，求线段的长．

【答案】（1） ； （2）①；②结论：．证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可．
（2）如图2中，①利用圆周角定理解决问题即可．
②结论：．如图中，连接，在上取一点，使得，连接．证明，推出，推出可得结论．
（3）如图3中，连接，，在上取一点，使得．构造相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：如图中，
点是点关于的对称点，
，，．
等边三角形中，，，
，得．
在中，，
．
在中，，
．
（2）解：①如图中，，
点是的外接圆的圆心，
，
，
．
故答案为．
②结论：．
理由：如图2中，连接，在上取一点，使得，连接．

，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如图中，连接，，在上取一点，使得．

，
，则是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
同②法可证，，
∴，
∴，
∴．
即．
∵点为的重心，
∴，
∴
又∵
∴
∴
过点作于点，

设，则,，
∵
∴
在中，
，
即
解得：(负值舍去)
∴
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，重心的定义，等边三角形的性质，勾股定理；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交，两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图，抛物线对称轴与x轴交于点K，与线段交于点M，点R在对称轴上，其纵坐标为12，连接，已知点N为线段上一动点，连接，将沿 翻折到 ．
①当的中点G落在抛物线上时，直接写出点G的坐标；
②当与重叠部分（如图中的）为直角三角形时，求出此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）
①点G的坐标为或或
②当或或时，为直角三角形
【解析】
【分析】（1）将，代入，求出，即可；
（2）①设的中点是P，依题意，点P关于直线对称的点其轨迹在以点M为圆心，以为半径的圆上，设点，根据及两点距离公式列关于的方程，解这个方程，从而求得点G的坐标；
②分三种情况讨论：当时，为直角三角形，，，直线的解析式为，由边的关系可求，，从而可求的坐标；当时，为直角三角形，与重合；当时，也是直角三角形．
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
①如图，设的中点是P，依题意，点P关于直线对称的点其轨迹在以点M为圆心，以为半径的圆上，

点G在抛物线上，
设点，
由（1）得直线的解析式为，
，
，即，
，
，
整理得，
或或，
将，，分别代入，
得到，，，
或或，
故答案为：点G的坐标为或或；
②情况1：当时，为直角三角形，
对称轴，
，，
，
直线的解析式为，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
情况2：当时，为直角三角形，
，，
与重合，
；
情况3：当时，也是直角三角形，此时．
综上所述：当或或时，为直角三角形．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，翻折变换，直角三角形的性质，两点距离公式等，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关数学知识分析和解决问题．
甲
乙
丙
丁
平均分x
90
87
90
87
方差S2
12.5
13.5
1.4
1.4