江苏省南京市2023-2024学年中考数学模拟冲刺训练卷(含解析)

这是一份江苏省南京市2023-2024学年中考数学模拟冲刺训练卷(含解析)，共32页。试卷主要包含了全卷满分120分，分解因式，的平方根是 等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．的倒数是（ ）
A．2B．C．D．
2．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列调查方式适合用普查的是（ ）
A．检测一批LED灯的使用寿命
B．检测一批家用汽车的抗撞击能力
C．测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况
D．中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率
5．在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶，可得方程，则题目中“…”表示的条件是（ ）
A．速度比原计划增加，结果提前到达B．速度比原计划增加，结果晚到达
C．速度比原计划减少，结果提前到达D．速度比原计划减少，结果晚到达
6．如图，在矩形中，，，为中点，动点从点开始沿方向运动到点停止，动点从点开始沿方向运动，与点同时出发，同时停止；这两点的运动速度均为每秒个单位；若设他们的运动时间为（s），的面积为，则与之间的函数关系的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．分解因式： ．
8．新型冠状病毒的直径大约为 米， 用科学记数法表示为 ．
9．的平方根是 ．
10．一组数据2，4，，2，4，10的众数是2，则这组数据的平均数是 ；中位数是 ；方差是 .
11．分式方程的解为 ．
12．如图，已知点D为斜边上的中点，交于点F，，若，，则的长为 ．
13．如图，点在半圆上，延长直径至点，使是的切线，若，，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
14．如图，已知点P在直线上，点P的坐标为，将点P向下平移a个单位，再向左b平移个单位，得到点，且点也在该一次函数上，则 ．
15．已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限．
16．已知抛物线（是常数且）．
（1）该抛物线的对称轴为直线 ；
（2）该抛物线经过和两点，当，时，均有，则的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：．
（2）化简求值：，其中．
18．解方程组：
19．如图，在平行四边形中，点E为边的中点，于点F，G为的中点，分别延长，交于点H，求证：．

20．中考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西方向距离米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东方向的公路前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（）
21．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为，宽为的大长方形中，求图中小长方形的长和宽各是多少？
22．陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现每天1080元的利润？

23．阅读与思考
下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日 星期六
借助物理知识用吸管制作乐器
根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作：
①分别剪出不同长度的吸管．
②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率．
③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表：
④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出．
我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系．
再次查阅资料得到了表的数据：
根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器．
任务：
(1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第 组．
(2)根据小晋画出的图象，猜想是的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为 （系数保留整数）．
(3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长度．（结果精确到）
24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，是格点三角形，点，均为格点（网格线的交点）．
(1)画出关于直线对称的；
(2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出．
25．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，，且的长分别是一元二次方程的两根．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点P是y轴上的点，点Q是第一象限内的点．若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出Q点的坐标．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点．
(1)如图1，若点的坐标为，求抛物线的表达式和点的坐标；
(2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形．
①在（1）的条件下，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，已知点和点是图形上的点．设，当时，请直接写出的取值范围．
27．综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．
(1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
组别
第组
第组
第组
第组
第组
第组
音调
频率
参考答案：
1．D
【分析】本题考查倒数，乘积是1的两个数互为倒数，由此可解．
【详解】解：的倒数是，
故选D．
2．A
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据几何体的主视图是从几何体的正面看到的图形，据此进行作答即可．
【详解】
解：依题意，的主视图是从几何体的正面看到的图形，即看到的图形是：
，
故选：A．
3．B
【分析】运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故选项A错误，不符合题意；
B. ，故选项B正确，符合题意；
C. 与不是同类项，不能合并，故选项C错误，不符合题意；
D. ，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查调查分类，涉及抽样调查和全面调查定义与区别，一般地，具有破坏性、涉及面广，无法普查、普查意义或价值不大的采取抽样调查；对于精度要求较高的调查、事关重大的采取普查，逐项判定即可得到答案，熟记普查与抽查的特征与区别是解决问题的关键．
【详解】解：A、检测一批LED灯的使用寿命，具有破坏性，适合抽查，不符合题意；
B、检测一批家用汽车的抗撞击能力，具有破坏性，适合抽查，不符合题意；
C、测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况，每一个环节都事关重大，适合普查，符合题意；
D、中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率，涉及面广，无法普查，适合抽查，符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查分式的实际运用，理解题目中的数量关系，分式方程表示的含义，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键．根据设汽车原计划需行驶，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解．
【详解】解：设汽车原计划需行驶，则表示原计划的速度，
∴表示的是在原计划的速度上提高，
∴表示实际的速度，
∴A符合题意，
故选：．
6．A
【分析】先求出点P在上运动是时间为6秒，点Q在上运动是时间为4秒，再根据中点的定义可得，然后分①点Q在上时，表示出，再根据的面积为，列式整理即可得解；②点Q在上时，表示出，再根据的面积为，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可．
【详解】解：∵点P、Q的速度均为每秒1个单位，
∴点P在上运动的时间为（秒），点Q在上运动的时间为（秒），
∵E为中点，
∴，
①如图1，点Q在上时，，
则，
的面积为，
②如图2，点Q在上时，，
则，
的面积为，
，
综上所述，，
函数图象为对称轴为直线的抛物线的一部分加一条线段，只有A选项符合．
故选：A．
【点睛】属于动点问题的函数图象，考查三角形的面积公式，二次函数的图象与性质等，综合性比较强，难度较大．
7．
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握常用的因式分解方法是解题关键．先提公因式，然后用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
8．
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：．
故答案为．
9．
【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
先求得，根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：，
∴的平方根是，
故答案为：．
10． 4 3 8
【分析】本题主要考查方差、平均数、中位数、众数，解题的关键是掌握方差、平均数、中位数、众数的定义．先根据众数的概念求出的值，将原数据重新排列，再由平均数、中位数和方差的定义列式计算即可．
【详解】解：数据2，4，，2，4，10的众数是2，
，
这组数据为2，2，2，4，4，10，
所以这组数据的平均数为，
中位数为，
方差为，
故答案为：4、3、8
11．
【分析】此题考查了分式方程的解法，方程两边都乘以化为整式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：
方程两边都乘以得，
，
解得，
检验：当时，，
所以，是方程的解，
所以，原分式方程的解是．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，
过点D作，交于点M，先得出是的中位线，证明，即有，即可得，则有，再证明，根据，可得，，在中，有，∵，即，设，可得方程，解方程问题随之得解．
【详解】过点D作，交于点M，如图，

∵点D为斜边上的中点，
∴，
又∵，
∴点M为上的中点，
∴，且是的中位线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
整理：，
∴，
∴，或者，
∵，，
∴，即，
∴，即，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形的面积公式，连接，由切线的性质定理得出，解直角三角形得出，再根据计算即可得解．
【详解】解：如图，连接，
，是的切线，
，
，
，
，
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化平移，利用一次函数图象上点的坐标特征及坐标的平移，找出关于的一元一次方程是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值，进而可得出点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，结合点的坐标，可得出，解之即可得出的值．
【详解】解：点在直线上，
，
解得：，
点的坐标为．
当时，，
解得：，
点的坐标为，，
，
．
故答案为：．
15．三
【分析】根据抛物线对称轴的位置得到，根据抛物线与轴的交点位置得到，然后根据各象限内点的坐标特征进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左； 当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．
【详解】解：∵二次函数
∴
抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴
、异号，即，
抛物线与轴的交点在轴的下方，
，
点在第三象限．
故答案为：三．
16． ； 或．
【分析】（）根据抛物线的对称轴公式即可求解；
（）根据抛物线的对称性即可求解；
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（）该抛物线的对称轴为直线，
故答案为：；
（）∵，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴为直线，当，时，均有，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
17．（1）；（2），2
【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂的意义、分式的化简求值、因式分解；熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的意义、分式的化简求值是解决问题的关键．
（1）根据负整数指数幂，绝对值，平方根和立方根性质，零指数幂的意义进行计算，即可得出结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）
；
（2）解：
，
当，
原式．
18．
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
①+②得，
解得．
将代入②，得．
所以
19．见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点为边的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
为的中点，
是的中位线，
，
，即，
．
20．消防车不需要改道行驶，理由见详解
【分析】本题主要考查方位角与含角的直角三角形的性质的综合运用，掌握方位角的数量关系，勾股定理，垂线段最短的知识是解题的关键．
如图，作，根据方位角可得是含角的直角三角形，根据勾股定理可求出的值，结合垂线段最短即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
则，
∵，，
∴，
∴，则，
在直角中，，
∴，
∴由勾股定理得：，
∵消防车的警报声传播半径为400米，且，
∴消防车不需要改道行驶．
21．图中小长方形的长和宽各是、
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形列出二元一次方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
答：图中小长方形的长和宽各是、．
22．销售价格为元或元时，餐馆能实现每天1080元的利润
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目数量关系，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
根据题意，设提高了元，用含的式子表示出销售价格，利润，销售份数，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设提高了元，则销售价格为元，利润为（元），少买份，
∴，整理得，，
∴，
解得，，，
∴销售价格为元或元时，餐馆能实现每天的利润．
23．(1)
(2)反比例；
(3)音调“”对应吸管的长度为
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式．
（1）根据表中数据，可与的乘积接近的定值，从而可得答案．
（2）根据散点图判断，根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系，由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，故系数保留整数时，即可得到．
（3）由题可得，音调“”对应频率为，即，将代入，
可得吸管的长度．
【详解】（1）根据表中数据，可发现吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，而第三组相差太多，故第三组数据错误．
（2）根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系，
由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，
故在反比例函数中（系数保留整数），
故与的函数关系式为，
故答案为：反比例、．
（3）由题可得，音调“”对应频率为，即，
将代入，
可得吸管的长度，
答：音调“”对应吸管的长度．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换和旋转变换，熟练掌握和运用轴对称变换和旋转变换作出图形是解决本题的关键．
（1）利用网格特点和轴对称的性质，分别画出A、B、C关于的对称点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质，分别画出，的对应点即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
25．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，解一元二次方程，勾股定理，菱形的性质：
（1）先利用因式分解法解方程得到，则，据此利用待定系数法求解即可；
（2）先利用勾股定理求出，再分如当四边形为菱形时， 当四边形是菱形时，两种情况根据菱形的性质求解即可．
【详解】（1）解：解方程得或，
∵，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴，
如图所示，当四边形为菱形时，则，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴；
如图所示，当四边形是菱形时，则，
∴
综上所述，点Q的坐标为或．
26．(1)；
(2)①存在点的坐标为：或；②的取值范围为．
【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，综合性较强，难度较大．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①根据，可得，，即，由翻折得到，分两种情况：当时，当时，根据三角形面积公式建立方程求解即可；
②由，得抛物线的顶点为，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，得，分两种情况：当时，当时，分别求出的范围即可．
【详解】（1）解：将代入抛物线，得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，得，
；
（2）解：①存在点，使得，理由如下：
如图：
在中，令得：，
解得：，，
，，
，
，
顶点为，
过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到，
图象形的函数表达式为，
若轴上方的图形上存在点，使得，则，
当时，将 代入 得，
解得（舍去），；
，
当时，将 代入得，解得；
，
综上，存在点，使得，点的坐标为：或；
②在中，令，
得，
，
直线，
，
抛物线的顶点为，
将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，得，
点和点是图形上的点，
当时，，，
即点在轴左侧，点在轴右侧，如图，
，，
，
，
，
；
当时，，，
即点、均在轴右侧，
，，
，
，
，
，
此不等式组无解，即不成立；
综上，的取值范围为．
27．(1)，证明见解析；
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤．
（1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论；
（2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解；
【详解】（1）解：猜想，证明如下：
在中，，，，的中点分别为D，E，
∴，，
，则，
，，
，
，
，
将绕点A逆时针旋转，连接，，
根据旋转的性质可得：
，
，
，
，
；
（2）解：，分别取，的中点D，E，
，，
，
，
∴当所在直线经过点B时，，
，
在中，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，
，
解得：；