2024福建省中考数学三模冲刺练习卷（原卷+解析）

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1 ．2024的倒数是（ ）
A．B．2024C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”．
【详解】解：2024的倒数．
故选：A．
2. 如图所示，该立体图形的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可.
【详解】从上面看是一个正方形，正方形的左下角是一个小正方形，故C正确;
故选:C
3 . 2023年的10月1日，约名市民及游客齐聚天安门广场，
参加国庆节升国旗仪式，将数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
4 . 如图，直线，点B在直线a上，，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）

A．40°B．50°C．80°D．140°
【答案】B
【分析】由平角的定义和两直线平行同位角相等即可求出．
【详解】解：如图可得： ，
，
，
（两直线平行同位角相等）．
故选B．
5 . 在平面直角坐标系中，若将点绕原点O顺时针旋转得点Q，则点Q的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立坐标系，根据旋转定义即可找到点Q的坐标．
【详解】解：如图所示，建立坐标系，点，将点绕原点O顺时针旋转得点Q，则点Q坐标为，
故选：C．

6.下列为某班级研究性学习小组学员出勤次数如表所示：
研究性学习小组学员出勤次数的众数、中位数分别是（ ）
A．5，6B．5，5C．6，5D．8，6
【答案】A
【分析】根据众数的定义和中位数的定义，对表格进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵根据表格可得：5出现的次数最多，
∴研究性学习小组学员出勤次数的众数是5，
∵研究性学习小组共有学员为：（人），
∴将出勤次数按从小到大进行排列后，第10个数和第11个数的平均数即为中位数，
∴中位数为：，
综合可得：研究性学习小组学员出勤次数的众数、中位数分别是5，6．
故选：A．
7. 如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=63°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．63°B．126°C．116°D．117°
【答案】B
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE=63°，
∴∠A=∠DCE=63°，
由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=126°，
故选：B．
8. 如图，在平行四边形中，为的中点，延长至点，使，
连接交于点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】∵平行四边形中，为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
如图，在ABC中，∠C=90°，∠B =30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，
分别交AB、AC于点M，再分别以点M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧交于点P，
连接AP并延长交BD于点D，则下列说法正确的是（ ）
①AD是的平分线；②；③；④

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：①证明：连接NP，MP，
在△ANP与△AMP中，
∵，
∴△ANP≌△AMP（SSS），
则∠CAD=∠BAD，
故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；
②证明：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，∠ADC=60°，故此选项正确；
③证明：∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B，故此选项正确；
④证明：∵在Rt△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD，
∴BC=BD+CD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD，
∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确；
故选D．

10 . 如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，
同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．
设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），
则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，分三段（，，）分别求解与的解析式，从而求解．
【详解】解：当时，分别在线段，

此时，
，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；
当时，分别在线段，
此时，底边上的高为，
，为一次函数，图象为直线；
当时，分别在线段，
此时，底边上的高为，
，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；
结合选项，只有B选项符合题意，
故选：B
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】根据提取公因式法，运用平方差公式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12 .已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，
一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，
据此把代入原方程求出k的值即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
故答案为：3．
13 . 如图，菱形的对角线，相交于点，点为的中点，
若，则菱形的边长是_______

【答案】6
【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出菱形边长．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵点E为的中点，，
∴，
故答案为：6
14. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．
若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料厘米，
则此圆弧所在圆的半径为 厘米．

【答案】36
【分析】利用弧长公式求解即可．
【详解】解：设圆弧所在圆的半径为，
由题意，得，
解得，
∴圆弧所在圆的半径为36厘米．
故答案为：36
15. 如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，
若米，则点到直线距离为_________

【答案】米
【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，
根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：设点到直线距离为米，
在中，，
在中，，
由题意得，，
解得，（米，
故答案为 米
16. 如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，
连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，
连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于 ．

【答案】
【分析】根据折叠可得四边形ABNM是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，可得三边的比为3：4：5，设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，通过PG=HN，列方程解方程，进而求出PF的长，从而可求PE的长．
【详解】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：
四边形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5， CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=8-5=3，
在中，
∴MF=5-4=1，
在中，设EF=x，则ME=3-x，
由勾股定理得， ，
解得：，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
又∵∠FGP=∠CNF=90°
∴，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，
四边形ABNM是正方形，

∴GN=PH=BH=4-3m，HN=5-（4-3m）=1+3m=PG=4m，
解得：m=1，
∴PF=5m=5，
∴PE=PF+FE=，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.计算：．
【答案】2
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：


．
18. 解不等式组：
【答案】
【分析】分别求出不等式组中各不等式的解集，再取公共部分即可．
【详解】解：解不等式，
，
解得:．
解不等式，
，
解得：．
所以原不等式组的解集是：．
19. 如图，，点F、E在上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明，然后利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据分式的运算法则和混合运算顺序进行化简，再把x的值代入计算即可．
【详解】解：原式
当时，．
如图，在中，，以为直径作，交于点F，
过C点作交延长线于点D，E为上一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠A=∠ABC，∠D=∠EBD，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABC，∠D=∠DBE，推出∠CBE=90°，于是得到结论；
（2）连接BF，根据圆周角定理得到BF⊥AC，根据三角函数的定义得到BF=4，设CF=x，列出关于x的方程并求解，再根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵AC=BC，EB=ED
∴∠A=∠ABC，∠D=∠EBD
∵CD⊥AC
∴∠A+∠D=90°
∴∠ABC+∠EBD=90°
∴∠CBE=90°
∵BC是⊙O的直径．
∴BE是⊙O的切线．
（2）解：连接BF
∵BC是⊙O的直径．
∴∠BFC=∠BFA=90°
在Rt△ABF中，tanA=
∴BF=4
设CF=x，则AC=BC=x+2
在Rt△BCF中，
即
∴x=3
∴CF=3，BC=5
∵∠ACB=∠AFB=90°
∴BF∥CD
∴∠1=∠2
又∵∠CFB=∠EBC=90°
∴△CFB∽△EBC
∴
∴
∴BE=
22 .第31届世界大学生运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，
某校开展了“热爱体育，喜迎大运”系列活动，增设篮球、足球、柔道、射击共四个课外活动项目．
为了解全校1800名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，
对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，
并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：

(1)参加问卷调查的同学共______名，补全条形统计图；
(2)估计该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数；
(3)学校准备组建一支校足球队，某班甲、乙、丙、丁四名同学平时都很喜欢足球运动，
现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中乙、丙两名同学的概率．
【答案】(1)60，补全条形统计图见详解.
(2)该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数约为540人.
(3).
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用喜爱足球的人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的同学的人数，用参加问卷调查的同学的人数分别减去喜爱篮球、足球、射击的人数，求出喜爱柔道的人数，补全条形统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用1800乘以参加问卷调查的同学中喜爱篮球运动的人数的百分比，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中乙、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：参加问卷调查的同学共（名）
喜爱柔道的人数为（名），补全条形统计图如图所示；
（2）解：（人），
∴该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数约为540人；
（3）画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中乙、丙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中乙、丙两名同学的概率为．
23. 如图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，
已知，，，该车的高度，
如图，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险请说明理由
(结果精确到，参考数据：，，，
【答案】(1)
(2)没有碰头的危险，理由见解析
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点于，根据正弦的定义求出，进而求出车后盖最高点到地面的距离；
（2）过点作于点，根据题意求出，根据余弦的定义求出，再求出点到地面的距离，比较大小证明结论．
【详解】（1）解：如图，作于，
在中，，，
，
，
点到地面的距离为：，
答：车后盖最高点到地面的距离约为；
（2）没有碰头的危险，
理由如下：如图，过点作于点，
在中，，
则，
，
，
，
，
点到地面的距离为：，
，
没有碰头的危险．
如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，
且点的坐标为，直线经过点、．
(1)抛物线解析式为______，直线解析式为______；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式及自变量的取值范围，并求出的最大值；
(3)已知点为抛物线对称轴上的一个动点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)，的最大值为
(3)点的坐标为：或
【分析】（1）抛物线解析式为，即可求解；
（2）设，，则，求出，由二次函数的性质即可求解；
（3）分是斜边、是斜边两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：直线经过点，
时，，
，
设抛物线解析式为，
抛物线与轴交于，
，
解得：，
抛物线解析式为；
设直线的函数解析式为，
直线过点，，
，解得，
；
故答案为：，；
（2）解：设，，
，


，
，
当时，有最大值，最大值；
即关于的函数解析式为，的最大值为；
（3）解：设点，
则，，，
当是斜边时，
则，
解得：；
当是斜边时，
同理可得：，
故点的坐标为：或．
25 .在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k•BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．

【答案】（1）k＝1，理由见解析；（2）①k值发生变化，k＝，理由见解析；②tan∠EAC＝．
【分析】（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答；
（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）k＝1，
理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝DB，即k＝1；
（2）①k值发生变化，k＝，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴，∠DAB＝∠EAC，
∴△EAC∽△DAB，
∴，即EC＝BD，
∴k＝；
②作EF⊥AC于F，
设AD＝DE＝a，则AE＝a，
∵点E为DC中点，
∴CD＝2a，
由勾股定理得，AC＝，
∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，
∴△CFE∽△CAD，
∴，即，
解得，EF＝，
∴AF＝，
则tan∠EAC＝．
出勤次数
4
5
6
7
8
学员人数
2
6
5
4
3