2023-2024学年北京市汇文中学垂杨柳分校九年级（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年北京市汇文中学垂杨柳分校九年级（上）月考数学试卷（10月份），共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣1＝0的一个根是0，则m的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．1或﹣1
2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，方程应变形为（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
3．（2分）关于方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
4．（2分）抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
5．（2分）函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
6．（2分）将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（0，2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＝0时，y有最大值为0
8．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
9．（2分）已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y1）和B（3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定
10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线G的开口向下
B．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2
C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）
D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
二、填空题（本题共33分，每题3分）
11．（3分）请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 ．
12．（3分）若抛物线y＝ax2（a≠0）经过A（1，3），则该抛物线的解析式为 ．
13．（3分）y＝+2的对称轴 ，顶点 ．
14．（3分）若关于x的方程mx2+2x+1＝0有两个不等实数根，则m的取值范围是 ．
15．（3分）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
17．（3分）若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a b（填“＞”，“＜”或“＝”）．
18．（3分）2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为 （不增加其它未知数）．
19．（3分）二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
则这个二次函数的对称轴为直线x＝ ，m＝ （m＞0）．
20．（3分）如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．
21．（3分）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q（m，y2）是抛物线上的两点，且y1＜y2，则m的取值范围是 ．
三、解答题（本题共47分，第22题每小题20分，25题5分，第23题8分，24题6分，26题8分）
22．（20分）解方程：
（1）4x2＝81；
（2）2x2﹣3x﹣1＝0；
（3）x（x﹣4）＝﹣1﹣2x；
（4）（y﹣1）2+3（y﹣1）＝0．
23．（8分）已知一个二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
（1）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）该二次函数的对称轴是 ；顶点坐标是 ；
（3）当﹣3＜x＜1时，直接写出y的取值范围． ．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象也经过点A，B，结合图象，直接写出不等式kx+b＞x2+px+q的解集．
25．（5分）已知关于x的方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）如果该方程的两个实数根均为正数，求m的最小整数值．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，y1），（2，y2），（3，y3）在抛物线y＝x2﹣2tx+t2+1上．
（1）抛物线的对称轴是直线（用含t的式子表示）；
（2）当y1＝y2，求t的值；
（3）点（m，y3）（m≠3）在抛物线上，若y2＜y3＜y1，求t取值范围及m的取值范围．
2023-2024学年北京市汇文中学垂杨柳分校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共20分，每题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x＝0代入方程求解可得m的值．
【解答】解：把x＝0代入方程x2+x+m2﹣1＝0，
得m2﹣1＝0，
解得：m＝±1，
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．
2．【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
故选：D．
【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．
3．【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3，
∴其顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
5．【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．
【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
6．【分析】根据“上加下减”的规律进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：y＝x2﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
7．【分析】直接利用二次函数的性质分别判断得出答案．
【解答】解：二次函数y＝2x2，当x＝0时，y＝0，故它的图象不经过点（0，2），故选项A错误；
它的图象的对称轴是直线 y轴，故选项B错误；
当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C正确；
当x＝0时，y有最小值为0，故选项D错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键．
8．【分析】利用抛物线的对称性确定（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y＝2上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，
∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），
当﹣3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
9．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（0，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝（x﹣2）2+1图象上的两点，
∴y1＝5，y2＝2．
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键．
10．【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由表格可知，
该函数的对称轴是直线x＝＝﹣，故选项B错误，
该抛物线开口向上，在x＝﹣时，取得最小值，故选项A错误，
当x＞﹣时，y随x的增大而最大，故选项D错误，
当x＝0时，y＝4，则抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4），故选项C正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本题共33分，每题3分）
11．【分析】令抛物线的对称轴为y轴，二次项系数为1，则抛物线的解析式可设为y＝x2+m，然后把已知点的坐标代入求出m即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝x2+m，
把（0，﹣2）代入得m＝﹣2，
所以满足条件的抛物线解析式为y＝x2﹣2．
故答案为y＝x2﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
12．【分析】把把A（1，3）代入y＝ax2（a≠0）中，可得a＝3，即可得出答案．
【解答】解：把A（1，3）代入y＝ax2（a≠0）中，
得3＝a×12，
解得a＝3，
所以该抛物线的解析式为y＝3x2．
故答案为：y＝3x2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题目所给条件代入计算是解决本题得关键．
13．【分析】根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：y＝+2的对称轴是y轴，顶点（0，2），
故答案为：y轴，（0，2）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程mx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＜1且m≠0．
故答案为：m＜1且m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
15．【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3，
故答案为：x＝1或x＝3．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．
17．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝1，然后比较两个点离直线x＝1的远近得到a、b的大小关系．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，
∴点（3，b）离直线x＝1远，点点（0，a）离直线x＝1较近，
∴a＜b，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．【分析】若这种商品的年平均增长率为x，根据现在生产1吨某产品的成本是3000元，两年后生产1吨药品的成本是5000元可列方程．
【解答】解：设这种商品的年平均增长率为x，
3000（1+x）2＝5000．
故答案为：3000（1+x）2＝5000．
【点评】本题考查增长率问题，发生了两年变化，知道现在为3000，两年后为5000，设出增长率即可列出方程．
19．【分析】利用表中数据可抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝，利用待定系数法求得二次函数的解析式，把y＝﹣6代入即可求得m的值．
【解答】解：∵x＝0，y＝6；x＝1，y＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c＝6，
∵抛物线y＝ax2+bx+6过点（﹣1，4）和（1，6），
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6，
把y＝﹣6代入得，﹣6＝﹣x2+x+6，
解得x＝4或x＝﹣3，
∵m＞2，
∴m＝4，
故答案为：，4．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求函数的解析式，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．
20．【分析】开口向下的抛物线的顶点坐标即为沙包在飞行过程中距离地面的最大高度，根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：∵h＝﹣（t﹣6）2+5为开口向下的抛物线，
∴当t＝6时，h最大＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，即可求得点P（5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，y1），根据点的坐标特征即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝3，函数图象开口向上，
∴点P（5，y1）关于直线x＝3的对称点为（1，y1），
∵y1＜y2，
∴m＜1或m＞5，
故答案为：m＜1或m＞5．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
三、解答题（本题共47分，第22题每小题20分，25题5分，第23题8分，24题6分，26题8分）
22．【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）将原方程整理后，利用因式分解法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）原方程整理得：x2＝，
直接开平方得：x＝±，
即x1＝，x2＝﹣；
（2）由方程可得a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝；
（3）原方程整理得：x2﹣4x＝﹣1﹣2x，
即x2﹣2x+1＝0，
因式分解得：（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1；
（4）原方程因式分解得：（y﹣1）（y﹣1+3）＝0，
即（y﹣1）（y+2）＝0，
解得：y1＝1，y2＝﹣2．
【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
23．【分析】（1）根据描点，连线得出图象；
（2）观察图象得出对称轴和顶点坐标即可；
（3）根据图象可知在自变量取值范围内的函数图象都在x轴下方，进而得出答案．
【解答】解：（1）描点，连线，如图所示．
（2）观察图象可知对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣4）；
故答案为：x＝﹣1；（﹣1，﹣4）；
（3）观察图象可知﹣3＜x＜1时，﹣4≤y＜0．
故答案为：﹣4≤y＜0．
【点评】本题主要考查了画二次函数图象，确定抛物线的对称轴和顶点坐标，确定函数值的取值范围等，从图象中获取信息是解题的关键．
24．【分析】（1）把A、B的坐标代入y＝x2+px+q，根据待定系数法求得即可；
（2）根据图象即可求得一次函数图象在二次函数图象上方的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）由图象可知，不等式kx+b＞x2+px+q的解集为0＜x＜2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．
25．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m﹣4）2≥0，进而可证出：无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可求出原方程的两个根，结合该方程的两个实数根均为正数，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】（1）证明：a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，
∴无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣mx+2m﹣4＝0，
即（x﹣2）[x﹣（m﹣2）]＝0，
解得：x1＝2，x2＝m﹣2．
∵该方程的两个根均为正数，
∴m﹣2＞0，
∴m＞2，
∴m可以取的最小整数值为3．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．
26．【分析】（1）利用对称轴公式即可求解；
（2）根据抛物线的对称性即可求解；
（3）利用二次函数的性质即可得出关于m的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2tx+t2+1，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝t；
（2）∵点（﹣2，y1），（2，y2），（3，y3）在抛物线y＝x2﹣2tx+t2+1上，且y1＝y2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0，
∴t＝0；
（3）∵点（m，y3）（m≠3）在抛物线上，
∴抛物线对称轴为直线x＝t＝，
∵y2＜y3＜y1，
∴＜t＜，即，
∴＜＜，即﹣2＜m＜2．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
m
…
y
…
0
4
6
6
4
…
﹣6
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…