2021-2022学年北京市东城区汇文中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市东城区汇文中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列式子中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列曲线中，表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是(    )

A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角

5. 点和点都在直线上，则与的关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点，所形成的四边形是(    )

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

8. 平行四边形一边长是，这个平行四边形的两条对角线可以是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

9. 现有四块正方形纸片，面积分别是，，，，从中选取三块按如图的方式组成图案，若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是(    )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

10. 已知：如图，正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点点，不与线段，的端点重合且，连接，，在点，运动的过程中，有下列四个结论：
    始终是等腰直角三角形；
    面积的最小值是；
    至少存在一个，使得的周长是；
    四边形的面积始终是．
    所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 使有意义的的取值范围是______．
12. 如图，在数轴上点表示的实数是______．

13. 如图，由四个直角边分别为和的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为______．

14. 如图，平行四边形的周长是，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长是______．

15. 如图，在矩形中，，，点在边，且，若过点的直线将该矩形的面积平分，且与矩形的另一边交于点，则线段的长为______．

16. 园林队在某公司进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积平方米与工作时间小时的关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为______平方米．

17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且，，则直线的解析式为______．

18. 含角的菱形，，，，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，，和点，，，，，分别在直线和轴上．已知，，则点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______为正整数．

三、解答题（本大题共8小题，共46分）

19. 计算：；
    计算：．
20. 已知与成正比例，且当时，．
    求与的函数关系式；
    判断点是否在该函数的图象上．
21. 已知：如图，在平行四边形中，点、在上，且．
    求证：四边形是平行四边形．

22. 如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点．
    求证：≌；
    若，，求的长．

23. 已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
    求，两点的坐标；
    在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
    点在轴上，若的面积等于，则点的坐标为______．

24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．

25. 如图，正方形中，点是延长线上一点，连接，过点作于点，连接．
    求证：．
    作点关于直线的对称点，连接，．
    依据题意补全图形；
    用等式表示线段，，之间的数量关系并加以证明．
26. 对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“距离”，记作特别的，当图形，有公共点时，记作一次函数的图象为，与轴交点为，在中，，，．
    求点，______；当时，求______；
    若，直接写出的取值范围______；
    函数的图象记为，若，则的取值范围是______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，即可判断．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
D、能表示是的函数，故此选项符合题意；
故选：．
根据函数的定义解答即可．
此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．
 

3.【答案】 

【解析】解：一次函数，，，
该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：．
利用特殊四边形的性质进而得出符合题意的答案．
此题主要考查了多边形，正确掌握多边形的性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数可知，，随的增大而增大，
，
．
故选：．
由一次函数可知，，随的增大而增大，由此即可得出答案．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数中，当时随的增大而增大是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：菱形的面积，
故选：．
因为菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、、、分别是、、、的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
故选：．
根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若邻边互相垂直，那么所得四边形是矩形．
本题考查的是三角形中位线定理以及正方形的判定，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
A、若，，
则，，
，
不能组成三角形，
故本选项错误；
B、若，，
则，，
，
不能组成三角形，
故本选项错误；
C、若，，
则，，
，
不能组成三角形，
故本选项错误；
D、若，，
则，，
，
能组成三角形，
故本选项正确．
故选D．
由平行四边形的对角线互相平分，可分别求得与的长，然后由三角形三边关系判定能否组成三角形，继而可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：四块正方形纸片，面积分别是，，，，，
四块正方形纸片的边长分别是，，，，
由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
当选取的三块纸片的面积分别是，，，，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，，围成的三角形是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，，围成的三角形不是直角三角形；
故选：．
根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围成的三角形是直角三角形，即可解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，，相交于点，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是等腰直角三角形；
故正确；
当时，最小，此时，
面积的最小值是，
故错误；
，
，
假设存在一个，使得的周长是，
则，
由得是等腰直角三角形，
．
，的最小值是，
存在一个，使得的周长是．
故正确；
由知：≌，
，
故正确；
故选：．
易证得≌，则可证得结论正确；
由的最小值是到的距离，即可求得的最小值，根据三角形面积公式即可判断选项错误；
利用勾股定理求得，即可求得选项正确；
证明≌，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
当被开方数为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【解答】
解：根据二次根式的意义，得
，解得．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出斜线的长是解题关键．
根据勾股定理，可得斜线的长，即可得答案．
【解答】
解：由勾股定理，得
斜线的长为，
则点表示的数为，
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：四个全等的直角三角形的直角边分别是和，
阴影部分的正方形的边长为，
阴影部分面积为．
故答案为：．
求出阴影部分的正方形的边长，即可得到面积．
本题考查了“赵爽弦图”，正方形的面积，熟悉“赵爽弦图”中小正方形的边长等于四个全等的直角三角形中两直角边的差是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：平行四边形的周长为，
．
是中点，是中点，
，，，
周长．
故答案为：．
根据平行四边形的性质可知，以及，再根据中位线性质可知与关系，从而可求整体值，最后加上即可．
本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，解题的技巧是通过平行四边形的周长得出两邻边和，找到并转化到所求三角形三边长．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，，
，，，

过点的直线将该矩形的面积平分，，
，
过作于，
则，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
根据矩形的性质得出，，，根据面积平分得出，根据矩形的判定得出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，，求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了矩形的性质和判定定理，勾股定理等知识点，能熟记矩形的性质定理是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：休息后小时内绿化面积为平方米．
休息后园林队每小时绿化面积为．
故答案为：
根据休息后小时的绿化面积平方米，即可判断；
本题考查函数的图象，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得到，，由已知条件得到，设直线的解析式为，列方程组即可得到结论．
此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质以及利用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出其中心对称点的坐标．
 

18.【答案】  ，   

【解析】解：过点作轴于点，
含角的菱形，，，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，，，
，
则，
，，
，
同理可得出：，则，
则点的坐标是：
故答案为：，，
利用菱形的性质得出是等边三角形，进而得出坐标，进而得出，即可得出，的坐标．
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质和锐角三角函数关系等知识，得出点坐标变化规律是解题关键．
 

19.【答案】解：原式
；

原式


． 

【解析】直接化简二次根式，再合并得出答案；
直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：设，
把，代入得，
解得，
，
即与之间的函数关系式为；
当时，，
点不在该函数的图象上． 

【解析】利用正比例函数的定义设，然后把已知对应的值代入求出，从而得到与之间的函数关系式；
通过一次函数图象上的坐标特征进行判断．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
 

21.【答案】证明：如图，连接设对角线交于点．
四边形是平行四边形，
，．
，，
．
四边形是平行四边形． 

【解析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形式平行四边形，可得证明结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

22.【答案】证明：矩形沿对角线折叠，点落在等处，
，，
在和中，

≌．

设，
≌，
，
四边形是矩形，
，，，
在中，则有，
解得，
． 

【解析】根据证明三角形全等即可．
设，在中，利用勾股定理构建方程即可解问题．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】或． 

【解析】解：令，则，
令，则，
所以，点的坐标为，
点的坐标为；
如图：
；
设，
、，

的面积，

解得或，
所以点的坐标为或．
故答案为：或．
分别令，求解即可；
根据两点确定一条直线作出函数图象即可；
设，根据三角形的面积求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
． 

【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解本题的关键．
 

25.【答案】证明：如图中，设交于点．

四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
；

解：如图中，


结论：．
理由：在线段上截取，使得．
，
，
，
∽，
，，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
根据等角的余角相等证明即可；
根据题意画出图形即可；
结论：利用截长补短法，构造相似三角形解决问题即可；
 

26.【答案】   或   

【解析】解：将代入得，
，
点，点到点的距离，
即，
当时，，直线与平行，
如图，作直线，

三角形为等腰直角三角形，，
，
故答案为：，．
若，则直线与三角形有交点，
当直线经过点时，将代入得，
解得，

满足题意，
当直线经过点时，将代入得，
解得，

满足题意，
故答案为：或．
将代入得，
直线与轴交点为，
如图，当时，设直线与轴交点为，与轴交点为，作于点，

直线，
当时，，
点坐标为，
，
当时，设直线与轴交点为，与轴交点为，作于点，

同理，当时，，
，
，
时符合题意．
故答案为：．
将代入直线解析式求出点坐标，然后结合图象求解．
分别求出直线经过点，时的值，结合图象求解．
由与平行，结合图象分别求出时的值，进而求解．
本题考查一次函数的综合应用，解题关键是理解题意，掌握一次函数的性质，掌握一次函数与方程的关系，通过数形结合求解．