湖南省永州市宁远县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（时量：120分钟 满分：120）
一、选择题（每题3分，共30分．将答案填在表格内）
1. 的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义，即可求解，
本题考查了相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键．
【详解】解：的相反数是2024，
故选：．
2. 下图中表示函数和在同一平面直角坐标系中的图像是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一次函数图像及反比例函数图像，根据a的取值分别确定一次函数及反比例函数图像所在的象限，即可得到答案
【详解】当时，的图像过第一，三，四象限；的图像在第一，三象限；故C错误，D错误；
当时，的图像过第一，二，四象限；的图像在第二，四象限；故A错误，B正确；
故选：B
3. 信号的传播速度为，将300000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
详解】解：．
故选：A．
4. 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆个数为（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可．
【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆，
∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆，
∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点），
故选B．
5. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据主视图是从几何体的前面看到的图形，即可作答．
【详解】解：依题意，该几何体的主视图是
故选：A．
6. 关于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 函数图象的对称轴是直线
B. 函数的有最小值，最小值为
C. 点在函数图象上，当时，
D. 函数值y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．由于，由此可以确定二次函数的对称轴、顶点坐标，最大或最小值及图象的增减性．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，故A不正确；
函数有最大值，最大值为，故B不正确
当，y随x增大而增大，当，y随x的增大而减小，故D不正确；
当时，，故C正确．
故选：C．
7. 下列图形是圆柱侧面展开图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了几何体的展开图，对几何体的正确认识以及运用空间想象能力是解题的关键．
【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．
故选：D．
8. 在不透明的袋子里装有颜色不同的6个红球和6个白球，每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率最有可能接近的数值为（ ）
A. 1.25B. 0.98C. 0.52D. 0.03
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了概率的意义，一般地，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率，记为．明确概率的意义是解答的关键．
【详解】解：由题意可知摸到白球的概率，
则白球的频率稳定在0.5附近，
故选：C．
9. 如图，是的直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，正确作出辅助线、构造圆周角是解答的关键.
如图：连接，根据圆周角定理得到，然后利用互余的定义即可求出的度数．
【详解】解：如图：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
10. 诸葛亮的《诫子书》中有“非学无以广才”，将这六个字写在一个正方体的六个面上，如图是该正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“非”字所在的面相对的面上的汉字是（ ）
A. 学B. 广C. 才D. 以
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查正方体相对两个面上的文字的知识；找出正方体的相对面上的汉字解题即可．
【详解】解：由正方体的展开图特点可得：“非”和“才”相对；“学”和“以”相对；“无”和“广”相对；
故选：C．
二、填空题（共24分）
11. 若代数式有意义，则m的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出关于的不等式，进而得出答案．
【详解】解：要使式子有意义，
则且，
解得：且．
故选：且
12. 分解因式： __________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再用完全平方公式求解即可得到答案；
详解】解：，
故答案为：．
13. 如图，在正六边形中，，是正六边形的一条对角线，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形、多边形的内角与外角等知识点．根据正多边形的性质得出，求出度数，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：六边形是正六边形，
，，
，
过作于，则，，
，
，
，
故答案为：．
14. 抛物线的顶点在轴上，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点纵坐标为，即可求解．
【详解】解：∵，，顶点在x轴上
∴顶点纵坐标为0，即
解得
故答案为：16．
15. 数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥侧面展开图的圆心角为________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：（分米），
设圆心角的度数是n度．则 ，
解得：．
故答案为：．
16. 如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板周长为，则投影三角板的周长为________．
【答案】50
【解析】
【分析】由三角板与其投影的相似比为2∶5，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板周长为，相似三角形的周长比等于相似比，
∴投影三角板的周长为50cm．
故答案为：50．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
17. 清明时节雨纷纷，这是__________事件．（选填“必然”、“随机”和“不可能”）
【答案】随机
【解析】
【分析】本题考查随机事件，解题的关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：清明时节雨纷纷，这是随机事件．
故答案为：随机．
18. 如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为_______．

【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，交于点，则，依题意，得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，

∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．
∴，
在中，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
三、解答题（共66分）
19. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】根据绝对值的化简，锐角三角函数，零指数幂，二次根式的计算，即可求解，
本题考查了，实数的混合运算，特殊角三角函数，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
21. 新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为米，宽为米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为，求和减少的长度是多少？
【答案】米
【解析】
【分析】考查了一元二次方程的应用，设和减少的长度为米，根据题意列出方程求解即可，
理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
【详解】解：设和减少的长度为米，
根据题意，得，
解得：（不合题意，舍去），，
答：和减少的长度为米．
22. 某校对A《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒传》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生(每名学生必选且只能选这四大名著中的一部)并将得到的信息绘制了下面两幅尚不完整的统计图∶
根据所给信息，回答下列问题．
（1）本次一共调查了_______名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用画树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．
【答案】（1）50 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、补全条形统计图、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据喜欢C《西游记》人数和所占的百分比计算即可得出答案；
（2）先计算出喜欢B《红楼梦》的人数，再画出图形即可；
（3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：本次一共调查了名学生，
故答案为：；
【小问2详解】
解：喜欢B《红楼梦》的人数为：（名），
补全条形统计图如图所示：
；
【小问3详解】
解：列表得：
共有12种等可能出现的结果，其中恰好选择《三国演义》和《红楼梦》的共有种，
故恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．
23. 如图，为了测量风景区中一座塔的高度，某数学兴趣小组在斜坡上的点处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，用皮尺测得坡的长15米，已知坡的坡比为，请你帮助该数学兴趣小组计算这座塔的高度．
【答案】这座塔的高度为米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点分别作地面和的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，利用坡比的定义结合勾股定理求得，，在中，利用正切函数的定义即可求解．
【详解】解：过点分别作地面和的垂线，垂足分别为，如图，
∵，∴四边形是矩形，
∴，，
∵坡的坡比为，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∵的长15米，
∴，解得，
∴，，
在中，，，
∴，
∴（米），
答：这座塔的高度为米．
24. 如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．

（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，由是直径，得，再证，从而有，于是即可证明结论成立；
（2）由圆周角定理求得，在中，解直角三角形得，从而利用扇形及三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，

∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式以及解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，切线的判定以及扇形的面积公式是解题的关键．
25. 阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB
在中，
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图2，过点作于点，
在中，，
在中，，
，
；
【小问2详解】
解：如图3，过点作于点，
，，
，
在中，
又，
即，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
26. 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．
【解析】
【分析】（1）直接将，两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点的坐标，接着表示出Q点和M点的坐标后，求出线段PQ和QM的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值；
（3）先利用锐角三角函数证明出，进而得到F点的其中一个位置，在BC另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF与y轴的交点，进而求出BF的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F点的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）∵经过点A，
∴，
∴，
∴直线：；
设，则，
∵抛物线对称轴为：，且Q点和M点关于对称轴对称，
∴M点横坐标为，
∴；
又∵，
∴，
当时，的值最小，为；
∴该矩形周长的最小值为；
（3）存在，或；
由（2）可知，，
∵抛物线的函数表达式为：；
且，
∴顶点D坐标为，
如图4，作DE⊥QM，
因为，，
∴；
又∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，
∴
令，解得：，；
∴,,
∴,
∴，
∴当F点在点A处时，能使得，此时;
如图5，在BC另一侧，当时，，
过C点作CN⊥BH，垂足为点N，
由角平分线的性质可得：CN=CO=2，
∴BN=BO=4，
由勾股定理可得：且,
即，且；
解得：，;
∴
设直线BH的函数解析式为：，
∴，
∴，
∴直线BH的函数解析式为：，
联立抛物线解析式与直线BH的函数解析式，得：
解得：（与B点重合，故舍去），或，
∴，
综上可得，抛物线上存在点，使得，或．
【点睛】本题综合考查了待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离、求函数的最大或最小值、勾股定理、三角函数等内容，解决本题的关键是能结合图形理解题意，能牢记和熟练运用相关公式进行计算等，本题计算量较大，对学生的综合分析思维能力要求也较高，属于压轴题类型，本题蕴含的思想有分类讨论的思想和数形结合的思想等．